怎樣求解與三角形有關(guān)的問題

陳燁

與三角形有關(guān)的問題經(jīng)常出現(xiàn)在解三角形、三角函數(shù)、解析幾何試題中，其常見的命題形式是根據(jù)已知條件求三角形的邊和角的大小、判斷三角形的形狀、求三角形的面積及其最值.解答與三角形有關(guān)的問題，通常要靈活運用正余弦定理、勾股定理、三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式、輔助角公式以及三角函數(shù)的圖象、性質(zhì).下面結(jié)合實例，談一談與三角形有關(guān)的三類問題的解法.

一、求三角形邊、角的大小

求三角形的邊、角大小問題在解三角形中比較常見，通常要求根據(jù)已知的邊、角及其關(guān)系，或某個角的三角函數(shù)值求三角形的邊長、角的大小.在解題時，需根據(jù)題意，利用正余弦定理進行邊角互化，或結(jié)合圖形添加合適的輔助線，構(gòu)造出規(guī)則的三角形，如正三角形、等腰三角形、直角三角形，再根據(jù)三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式進行求解.

本題是一類創(chuàng)新題，可從三個條件中任選兩個進行求解.若選條件①②，則需根據(jù)已知條件，利用正弦定理將題目中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，并使其向特殊角靠攏，這樣，就可以根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求得三角形的三個角的大小，進而求得 b，c 的大小.

求三角形邊角的大小，除了要靈活運用正余弦定理，還需借助三角函數(shù)知識.同時還要注意挖掘隱含條件：（1）三角形的內(nèi)角和為180o ;（2）三角形中的大角對大邊，小角對小邊.

二、判斷三角形的形狀

常見的三角形有直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、銳角三角形、鈍角三角形.在判斷三角形的形狀時，往往要借助正弦、余弦定理，將題目中的邊角關(guān)系統(tǒng)一為邊的關(guān)系式或角的關(guān)系式，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義、輔助角公式求得三個角的大小或關(guān)系式，從而明確三角形的三個角、三條邊之間的關(guān)系，以便判斷出三角形的形狀.

解答本題，需先將根據(jù)已知關(guān)系和余弦定理，求得 cosC 的表達(dá)式，然后借助基本不等式求得 cosC 的取值范圍，進而確定角 C 的最大值，求得三角形中三個角的大小，這樣，便可根據(jù)三個角之間的關(guān)系和正三角形的特點判斷出該三角形的形狀.

由于已知條件中給出了三角形的三個角之間的關(guān)系，所以要判斷△ ABC 的形狀，需重點研究角之間的關(guān)系.根據(jù)兩角和的正弦公式和特殊角的值sin0=0，判斷出 A = B ，即可判斷出三角形的形狀.判斷三角形的形狀，必須明確各種三角形的特點，如直角三角形中有一個角為直角，等邊三角形的三邊相等，等腰三角形的兩腰相等，銳角三角形的三個角為銳角，鈍角三角形中有一個角為鈍角.

三、求三角形的面積

求三角形的面積問題比較常見，通常要用到三角形面積公式 S =1 2 ah 或 S =1 2 ab sin C .若容易求得三角形的高和底邊長，則可根據(jù)公式 S =1 2 ah 求三角形的面積;若容易求得一個角的三角函數(shù)，則可根據(jù)公式 S =1 2 ab sin C 求解.無論運用哪種公式來求三角形的面積，都需靈活運用正余弦定理、勾股定理、三角函數(shù)的定義來求出三角形的邊或角的關(guān)系式.

根據(jù)已知關(guān)系式和正弦定理可快速求得角 B 以及 a、b 的關(guān)系式，便可根據(jù)余弦定理求得 a 的大小，最后根據(jù)公式 S =1 2 acsin B 求得△ ABC 的面積.

由于已知三角形的兩個角的三角函數(shù)值，所以可考慮運用公式 S△ABC =1 2 acsin B 來求三角形的面積.根據(jù)誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦公式求得角 B 的正弦值和 a 的大小，將其代入面積公式即可解題.

由此可見，解答與三角形有關(guān)的問題，不僅要靈活運用正余弦定理、勾股定理進行邊角互化，還需靈活運用三角函數(shù)中的基本公式進行三角恒等變換.這就要求我們熟練掌握解三角形、三角函數(shù)的有關(guān)知識，靈活運用數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想.