幾類線性規(guī)劃問題的解法分析

魏上茗

線性規(guī)劃問題經(jīng)常出現(xiàn)在高考數(shù)學試題中.此類問題通常會要求同學們從實際問題中抽象出二元一次不等式，在了解二元一次不等式的幾何意義的基礎上，畫出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，并求出最優(yōu)解.但問題中的目標函數(shù)經(jīng)常會有所變化，常見的形式有直線型、分式型、平方型，且解法各不相同.下面結(jié)合實例，談一談三類線性規(guī)劃問題的解法.

一、直線型目標函數(shù)

直線型的目標函數(shù)一般形如 z =ax + by（ab ≠0），這類問題通常要求根據(jù)二元一次不等式組，求目標函數(shù) z =ax + by（ab ≠0）的最值.求解此類線性規(guī)劃問題，一般需將函數(shù) z =ax + by 轉(zhuǎn)化為直線的斜截式方程：y =-? x + ，根據(jù)二元一次不等式組畫出可行域后，在可行域內(nèi)討論直線的截距的最值.通過求直線的截距的最值來間接求出 z 的最值.

由于直線的截距有正有負，所以取最值的情形有所不同.當 b >0時，截距 z b 取最大值，此時 z 也取最大值，當截距 z b 取最小值時，z 也取最小值;當 b <0時，截距 z b 取最大值，此時 z 取最小值，當截距 z b 取最小值時，z 取最大值.

例2.某養(yǎng)雞場有1萬只雞，用動物飼料和谷物飼料混合喂養(yǎng).每天每只雞平均吃混合飼料0.5kg，其中動物飼料不能少于谷物飼料的15.動物飼料每千克0.9元，谷物飼料每千克0.28元，飼料公司每周僅能保證供應谷物飼料50000kg，問怎樣混合飼料，才使成本最低.

解：

本題是一道實際應用問題.解答此類線性規(guī)劃問題，需首先仔細讀題，根據(jù)題意設出變量，建立關(guān)于變量的不等關(guān)系式以及目標函數(shù).而本題中的目標函數(shù)為直線型，所以需將其轉(zhuǎn)化為直線的截距式，在可行域內(nèi)尋找直線的截距取最小值時的點，即可解題.一般地，線性目標函數(shù)的最優(yōu)解一般會在可行域的頂點或邊界處取得，我們可以重點研究可行域的頂點或邊界上的點.

二、分式型目標函數(shù)

分式型目標函數(shù)一般形如 z = y - b x - a .求解此類線性規(guī)劃問題，需根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義：已知點（a， b）與可行域內(nèi)的點（x，y）連線的斜率.當斜率取最大值時，z 取最大值;當斜率取最小值時，z 取最小值.而直線的斜率 k = tana 受傾斜角 a 影響：（1）當傾斜角 a 為銳角時，斜率 k 大于0，a 越大，斜率 k 越大;（2）當傾斜角 a 為鈍角時，斜率 k 小于0，且 a 越大，斜率 k 越大.在求斜率的最值時，需在可行域的第一、二象限內(nèi)討論直線的傾斜角的變化情況.

本題的可行域在第一象限，所以只需討論直線的傾斜角在（0，90°）范圍內(nèi)的變化情況，可將直線 y = zx 繞著原點旋轉(zhuǎn)，在可行域內(nèi)找出直線的傾斜角最大或最小，即斜率取最值時的點，即可解題.

三、平方型目標函數(shù)

平方型目標函數(shù)形如 z =（x - a）2 +（y - b）2，其幾何意義是可行域內(nèi)的動點（x，y）與已知點（a，b）之間的距離.可根據(jù)兩點間的距離公式或點到直線的距離公式來求目標函數(shù)的最值，需要注意的是最終結(jié)果應該是距離的平方.

本題中的直線2y -1=0與 x 軸平行，而點（-1，0）在 x 軸上，可根據(jù)平行線之間距離的性質(zhì)求目標函數(shù)的最小值.

一般地，根據(jù)代數(shù)式的幾何意義可知平方型目標函數(shù) x 2+ y2表示點（x，y）與原點（0，0）間的距離，平方型目標函數(shù)（x - a）2 +（y - b）2表示點（x，y）與點（a，b）間的距離.在求目標函數(shù)的最值時，只需明確其幾何意義，根據(jù)平面幾何中的公式進行求解即可.

可見，雖然目標函數(shù)的形式不同，但是其求解的思路基本一致：第一步，根據(jù)題意構(gòu)建二元一次方程組和目標函數(shù);第二步，根據(jù)約束條件畫出可行域;第三步，判定目標函數(shù)的類型：直線型、分式型、平方型，明確其幾何意義;第四步，結(jié)合平面幾何知識，尋求動直線的縱截距的最值、動直線的斜率的最值、動點與已知點之間的距離的最值;第五步，求得目標函數(shù)的最值.解答線性規(guī)劃問題，關(guān)鍵要會根據(jù)二元一次不等式組畫出可行域，明確目標函數(shù)的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合，求得問題的答案.