怎樣解答分配問(wèn)題

高睿

把若干元素按照一定的規(guī)則分配給若干人或?qū)ο蟮膯?wèn)題，就是分配問(wèn)題.分配問(wèn)題的命題形式多樣，解法獨(dú)特.下面重點(diǎn)談一談兩類(lèi)分配問(wèn)題的解法.

一、相同元素的分配問(wèn)題

把相同的 n 個(gè)元素分配給 m 個(gè)不同的對(duì)象，若n > m ，且每個(gè)對(duì)象至少分得1個(gè)元素，則需采用隔板法求解，即將 m -1個(gè)隔板插入 n -1個(gè)間隙中（ n 個(gè)元素之間可形成 n -1個(gè)間隙），則共有 C種分法;若n < m ，且每個(gè)對(duì)象至多分得1個(gè)元素，則需從 m 個(gè)對(duì)象中選取 n 個(gè)，每個(gè)對(duì)象得1個(gè)元素，共有 C m（n）種分法.

例1.將10個(gè)相同的球放進(jìn)7個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放1個(gè)球，一共有幾種放法？

解析：由于球多，盒子少，且球是無(wú)差別的，因此本題本質(zhì)上是一個(gè)分配問(wèn)題，可以用隔板法求解.

第一步，將10個(gè)球排成1排，其中間可形成9個(gè)空隙;第二步，在9個(gè)空隙中任意插入6個(gè)隔板，這樣就將10個(gè)球分成7部分，如圖所示（圖中圓圈代表相同的10個(gè)球，V代表空隙，虛線代表隔板，該圖表示在從左到右的7個(gè)盒子中依次放入1，2，1，1，1，1，3個(gè)球，這是其中1種放法），故共有 C 9（6）=84種放法.

例2.將5個(gè)相同的球放進(jìn)7個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子只能放1個(gè)球，則一共有幾種放法？

解析：將5個(gè)相同的球放進(jìn)7個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子只能放1個(gè)球，相當(dāng)于在7個(gè)盒子中選擇5個(gè)盒子，將5個(gè)球放進(jìn)去，且每個(gè)盒子放1個(gè)球.

因?yàn)楦鱾€(gè)盒子均有所不同，所以只要選出5個(gè)盒子，在每個(gè)盒子中放入1個(gè)球即可，一共有 C 7（5）= 21種放法.

解答相同元素的分配問(wèn)題時(shí)，要明晰元素 n 與分配對(duì)象 m 的個(gè)數(shù)之間的大小關(guān)系，n < m 和 n > m 屬于2種不同的情形.

二、不同元素的分配問(wèn)題

不同元素的分配問(wèn)題分為不同元素的定向分配問(wèn)題和不同元素的不定向分配問(wèn)題.對(duì)于不同元素的定向分配問(wèn)題，只需分步討論元素的選取方法數(shù)和定向分配給對(duì)象的方法數(shù)，即可根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理解題;對(duì)于不定向分配問(wèn)題，需先選定分配的對(duì)象，再安排元素的分法，在解題時(shí)要避免重復(fù)計(jì)數(shù).

例3.將6本不同的書(shū)分配給甲、乙、丙3個(gè)人，要求甲1本，乙2本，丙3本，則一共有多少種分法.

解析：題目中的分配對(duì)象很明確，本題屬于定向分配問(wèn)題.將書(shū)分配完，需分3步進(jìn)行，首先從6本書(shū)中選出1本分給甲，有 C16種方法，然后從剩下的5本書(shū)中選出2本分給乙，有 C25種方法，再將剩下的3本分給丙，有 C33種方法，所以共有 C16 C25 C33 =60種分法.

例4.將6本不同的書(shū)分配給甲、乙、丙3個(gè)人，每人2本，則一共有多少種分法.

解析：題目中的分配對(duì)象不明確，本題屬于不定向分配問(wèn)題.將書(shū)分配完，需分3步進(jìn)行，先從6本書(shū)中選出2本分給甲，有 C26種方法，然后從剩下的4本書(shū)中選出2本分給乙，有 C24種方法，再將剩下的3本分給丙，有 C22種方法，共有 C26 C24 C22 =90種方法.

例5.將6本不同的書(shū)分配給甲、乙、丙3個(gè)人，一人1本，一人2本，一人3本，則一共有多少種分法.

解析：到底是誰(shuí)得1本、2本、是3本，我們不確定，需先將書(shū)成3份，再分配給3人.第一步，從6本書(shū)中任選出1本給甲、乙、丙中的一人，有 C13C16種方法;第二步，從剩下的5本書(shū)中選出2本分給剩下的2人中的1人，有 C12C25種方法;最后，將剩余的3本書(shū)發(fā)給最后1人，有1種方法.因此一共有 C13C16C12C25 =360種分法.

例6.將6本不同的書(shū)分配給甲、乙、丙3個(gè)人，1人4本，另2人各1本，則一共有多少種分法.

解析：首先從3人中選1人得4本書(shū)，有 C13種選法，接著從6本書(shū)中任選出4本書(shū)，有 C46種方法，則一共有 C13 C46 =45種方法，再將剩余的2本書(shū)分給2人，有2種方法，所以一共有 C13 C46 ×2=90種方法.

例3中的分配對(duì)象和書(shū)本數(shù)確定，屬于定方向分配問(wèn)題，例4、例5、例6中只確定了書(shū)本數(shù)，分配對(duì)象卻不確定，因而屬于不定向分配問(wèn)題.在解題時(shí)，需注意兩種分配問(wèn)題的區(qū)別，前者對(duì)分配對(duì)象有要求，后者對(duì)分配對(duì)象沒(méi)有要求.

相同元素的分配問(wèn)題與不同元素的分配問(wèn)題之間的區(qū)別在于元素是否相同，若元素相同，則不需考慮元素之間的差異，選定對(duì)象即可進(jìn)行分配;若元素不相同，需考慮元素之間的差異，要根據(jù)題目要求選擇元素，再選定分配對(duì)象，最后根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解.