如何構(gòu)造輔助數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式

焦云夢(mèng)

構(gòu)造法是解答數(shù)學(xué)問題的重要方法，也是解答復(fù)雜數(shù)列通項(xiàng)公式問題的常用方法.有些數(shù)列的遞推式較為復(fù)雜，我們很難快速求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，此時(shí)，可轉(zhuǎn)換思考問題的角度，通過構(gòu)造輔助數(shù)列，將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式問題來求解，這樣能化難為易、化繁為簡(jiǎn)，使問題順利得解.

一、引入?yún)?shù)，構(gòu)造輔助數(shù)列

對(duì)于形如 an +1=pan + q （ p， q 為非零常數(shù)）的遞推式，可引入?yún)?shù) t ，將遞推式轉(zhuǎn)化為 an +1+ t =p（an + t）的形式，通過對(duì)比系數(shù)，求得 t 的值，便可構(gòu)造出等比數(shù)列{an + t}，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{an + t}的通項(xiàng)公式，即可得到數(shù)列{an }的通項(xiàng)公式.

例1.在數(shù)列{an }中，a1=1，an +1=2an +5，求數(shù)列{an }的通項(xiàng)公式.

解：設(shè) an +1+ t =2（an + t），

得 an +1=2 an + t ，

由an +1=2an +5得 t =5，

則數(shù)列{an +5}是以 a1+5=6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

可得 an +5=6?2n -1，所以 an =3?2n -5.

仔細(xì)觀察遞推式 an +1=2an +5，可知數(shù)列{an }既非等差數(shù)列，又非等比數(shù)列，形如 an +1=pan + q ，于是引入?yún)?shù) t ，構(gòu)造出等比數(shù)列{an +5}，即可根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解題.

例2.（2020年全國Ⅲ卷理科，第17題）已知數(shù)列{an }中，a1=3，an +1=3an -4n ，求數(shù)列{an }的通項(xiàng)公式.

解：設(shè) an +1+p（n +1）+ q =3（an +pn + q），

化簡(jiǎn)得，an +1=3an +2pn +（2q -p），

由an +1=3an -4n 可得，{，0，

解得{，

所以數(shù)列{an -2n -1}的每一項(xiàng)都為0，可得 an -2n -1=0，所以 an =2n +1.

此題中的遞推式形如 an +1=pan + qn，需引入兩個(gè)參數(shù)，以便構(gòu)造出新數(shù)列{an -2n -1}，通過求{an -2n -1}的通項(xiàng)公式，間接求得數(shù)列{an }的通項(xiàng)公式.

二、通過取倒數(shù)，構(gòu)造輔助數(shù)列

對(duì)于形如 an +1= （ p， q， r 為非零常數(shù)）的遞推式，在求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，需在遞推式的左右同時(shí)取倒數(shù)，得到-?= ，然后引入?yún)?shù) t，將其變形為+ t =?+ t 的形式，從而構(gòu)造出輔助數(shù)列{+ t}，通過求數(shù)列{+ t}的通項(xiàng)公式求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

例3.

例4.已知數(shù)列{an }中，a1= ， an = ，求數(shù)列{an }的通項(xiàng)公式.

解：

觀察題中所給的遞推式 an + 1 = 2an an + 2 ，可以發(fā)現(xiàn)，等式右邊的分子、分母中均含有 an ，且分母較復(fù)雜，于是在遞推式的左右同時(shí)取倒數(shù)，以便將右邊的分式分離成整式和分式，從而構(gòu)造出等差數(shù)列 { } 1 an ，最后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.

例4

解：

該遞推式形如 an + 1 = pan qan + r ，在其左右同時(shí)取倒數(shù)，即可構(gòu)造出等比數(shù)列{ } 1 an + t ，便能根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式來解題.

三、通過取對(duì)數(shù)，構(gòu)造輔助數(shù)列

一般地，當(dāng)遇到 an = par n （r 為常數(shù)，r ≠ 0）型的遞推式時(shí)，可以在遞推式的左右兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為 lg an + 1 = r lg an + lg p 的形式，然后引入?yún)?shù) t， 將其變形為 lg an + 1 + t = r（lg an + t） ，從而構(gòu)造出輔助數(shù)列 {lg an + t} ，求得輔助數(shù)列 {lg an + t} 的通項(xiàng)公式，即可求得數(shù)列{an} 的通項(xiàng)公式.

例5

解：

將遞推式移項(xiàng)后，可發(fā)現(xiàn) an + 1 - 1等于 an - 1的平方，于是在遞推式的兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，便可構(gòu)造出等比數(shù)列{lg（an - 1）}，從而順利求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

四、除以一個(gè)數(shù)（式），構(gòu)造輔助數(shù)列

對(duì)于遞推式中含有anan + 1的數(shù)列通項(xiàng)公式問題，可以考慮在遞推式的左右兩邊同時(shí)除以anan + 1，構(gòu)造出輔助數(shù)列{ } 1 an ，將問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列{ } 1 an 的通項(xiàng)公式.

例6

解：

該遞推式中出現(xiàn)了anan + 1 ，于是在遞推式的兩邊同時(shí)除以anan + 1 ，即可構(gòu)造出等差數(shù)列 { } 1 an ，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.

對(duì)于 an + 1 = pan + qr n （p，q，r為非零常數(shù)）型的遞推式，在求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，往往可以在遞推式的左右兩邊同時(shí)除以 r n + 1 ，得到 an + 1 r n + 1 = p r ? an r n + q r ，然后引入?yún)?shù) t，將其變形為 an + 1 r n + 1 + t = p r ? ? è ? ? ? ÷ an r n + t 的形式，這樣便構(gòu)造出輔助數(shù)列 { } an r n + t ，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式或利用累乘法，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

例7

解：

在遞推式 an + 1 = 3an + 3?2n 的左右同時(shí)除以 2n ，即可構(gòu)造等比數(shù)列 { } an 2n + 3 ，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得其通項(xiàng)公式，即可解題.

可見，對(duì)于較為復(fù)雜的遞推式，運(yùn)用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式比較奏效.而運(yùn)用構(gòu)造法解題，往往需仔細(xì)研究數(shù)列的遞推式，將其進(jìn)行合理的變形，如引入?yún)?shù)、取倒數(shù)、取對(duì)數(shù)、除以一個(gè)數(shù)（式），以便構(gòu)造出輔助數(shù)列，通過求輔助數(shù)列的通項(xiàng)公式，間接求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.