例談一道立體幾何問題的兩種解法

惠敏敏

立體幾何問題對同學(xué)們的空間想象、推理以及運算能力有較高的要求.解答立體幾何問題的方法主要有直接法和向量法.本文以2020年浙江省舟山中學(xué)高三下6月模擬試題的第9題為例，談一談解答立體幾何問題的兩種方法.

例題：

本題主要考查了直線與平面所成角的定義、線面垂直的性質(zhì)定理、面面垂直的判定定理以及正四面體的結(jié)構(gòu)特征.題目涉及了不確定的點F，導(dǎo)致問題的難度增加.我們需從點F的位置入手，根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征、直線與平面所成的角的定義、線面垂直的性質(zhì)定理、面面垂直的判定定理，來尋找使得四個選項中的結(jié)論成立的點F的位置，從而得出正確的選項.

解法一：直接法

直接法是指直接從條件出發(fā)，根據(jù)相關(guān)的定理、定義、性質(zhì)、公式等，通過合理的運算和嚴(yán)密的推理，最后推出正確的結(jié)果.對于選擇題，需在推出結(jié)果后，再對照選項，找出正確的答案.對于本題，我們可根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，靈活運用正四面體的性質(zhì)、直線與平面所成的角的定義、線面垂直的性質(zhì)定理、面面垂直的判定定理來解答.

解：

運用直接法解答立體幾何問題，往往要根據(jù)空間幾何體的特點，點、線、面的位置關(guān)系，相關(guān)的定義、定理等添加合適的輔助線，以便將問題中的點、線、面的關(guān)系轉(zhuǎn)化到同一個平面內(nèi)，根據(jù)平面幾何知識：正余弦定理、勾股定理、兩點間的距離公式等求解.

解法二：向量法

向量法是給圖形中的點賦予坐標(biāo)、線段賦予方向向量，通過空間向量運算解題的方法.運用向量法解題，往往要選擇合適的基底或建立空間直角坐標(biāo)系，求得各條線段的方向向量和平面的法向量，根據(jù)線面平行和垂直的判定定理、性質(zhì)定理來判斷點、線、面的位置關(guān)系，根據(jù)空間角、空間距離的定義，向量的數(shù)量積公式、模的公式來求解.對于本題，可根據(jù)正四面體 D - ABC 的結(jié)構(gòu)特點建立空間直角坐標(biāo)系，然后設(shè)出正四面體 D - ABC 的棱長，求得各個點的坐標(biāo)、線段的方向向量、平面的法向量，再根據(jù)線線垂直的性質(zhì)、異面直線所成的角的定義、二面角的定義、直線與平面所成角的定義、數(shù)量積公式進(jìn)行求解.

解：設(shè)正四面體 D - ABC 的底面中心為點 O ，連接 DO ，則 DO ⊥平面 ABC ，

以點 O 為坐標(biāo)原點，OB 、OD 所在的直線分別為 x 、z 軸，建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正四面體 D - ABC 的棱長為 2 ，

從題中提煉出有用信息，從而發(fā)現(xiàn)正四面體的特征，據(jù)此建立空間直角坐標(biāo)系，便可大大簡化計算的過程.

相比較而言，直接法比較常用，向量法的適用范圍較窄，只適用于求解容易建立空間直角坐標(biāo)系的題目，但解題的思路較為簡單.在解答立體幾何問題時，同學(xué)們要學(xué)會從多角度審視問題，并試圖從不同角度、不同方向?qū)ふ医忸}的思路，以優(yōu)化解題的方案.