基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)路徑探討

楊國(guó)寶

[摘? 要] 研究者基于教學(xué)實(shí)踐與理論研究，以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為載體，提出發(fā)展學(xué)生抽象思維的教學(xué)路徑，以使學(xué)生在手腦并用中體驗(yàn)抽象思維的價(jià)值，參與抽象的過(guò)程，使學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)真正得到發(fā)展。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);數(shù)學(xué)抽象;核心素養(yǎng);小學(xué)數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)抽象包括兩個(gè)方面：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象，圖形與圖形關(guān)系的抽象[1]。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)以探索數(shù)學(xué)知識(shí)為目的，集行為操作與動(dòng)腦思考于一體，是發(fā)展學(xué)生抽象素養(yǎng)的有效途徑。本文論述了以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為載體發(fā)展學(xué)生抽象思維的基本路徑，期望能夠?yàn)閺V大教育同人提供借鑒和思考。

[?]一、立足學(xué)科素養(yǎng)，感悟數(shù)學(xué)抽象的價(jià)值

數(shù)學(xué)抽象能力是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的重要組成部分。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)苁箤W(xué)生不斷積累抽象思維的思考經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的生成。

1. 在概念建構(gòu)中，感悟數(shù)學(xué)抽象的價(jià)值

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)“大廈”的基石，是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)其他知識(shí)的基礎(chǔ)和前提。然而，由于數(shù)學(xué)概念直指知識(shí)的本質(zhì)，因此數(shù)學(xué)概念不可避免地具有較強(qiáng)的抽象性，通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作和數(shù)學(xué)思考使學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的完整過(guò)程，進(jìn)而體驗(yàn)從直觀到抽象的過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)抽象的價(jià)值和意義。

比如，講到“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”時(shí)，教師創(chuàng)設(shè)了喜羊羊和美羊羊分蛋糕的場(chǎng)景：1個(gè)蛋糕要分給喜羊羊和美羊羊，怎樣分最公平？學(xué)生回答：平均分最公平，每個(gè)人半個(gè)。教師追問(wèn)：“半個(gè)”在數(shù)學(xué)中怎么表示呢？從而引出了二分之一的概念。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生用1個(gè)圓紙片代替蛋糕展開(kāi)實(shí)驗(yàn)操作，通過(guò)分一分，涂一涂，表示出二分之一。學(xué)生先對(duì)折，再涂色。教師問(wèn)道：“為什么要對(duì)折？”學(xué)生回答：“對(duì)折后左右兩邊完全重合，兩邊一樣大，這才是平均分成2份?！背吮硎?個(gè)蛋糕的二分之一，我們還可以表示哪些物體的二分之一？有的學(xué)生說(shuō)，可以表示1個(gè)蘋(píng)果的二分之一;有的學(xué)生說(shuō)可以表示1個(gè)餅干的二分之一;有的學(xué)生說(shuō)可以表示1塊面包的二分之一。教師總結(jié)道：“不管什么物體，只要是把這個(gè)物體平均分成2份，其中的1份就可以用二分之一表示。”

教學(xué)中，教師先從具體的蛋糕出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)折的方法表示二分之一，然后進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生表示1個(gè)蘋(píng)果的二分之一，1塊餅干的二分之一，一個(gè)面包的二分之一，最后使學(xué)生擺脫具體事物的束縛，從中抽象出二分之一的本質(zhì)，完成分?jǐn)?shù)的建構(gòu)，凸顯出數(shù)學(xué)抽象能力在概念建構(gòu)中的作用。

2. 在探索規(guī)律中，感悟數(shù)學(xué)抽象的價(jià)值

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有雙重任務(wù)，一是傳授學(xué)生必要的知識(shí)和技能，二是在探索數(shù)學(xué)規(guī)律中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)規(guī)律隱匿于知識(shí)的背后，具有很強(qiáng)的抽象性，探索數(shù)學(xué)規(guī)律離不開(kāi)學(xué)生的抽象能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)建模能力。在很多情況下，對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的探索往往是通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式展開(kāi)的[2]。

比如，講到“三角形具有穩(wěn)定性”時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生用拼接條組成三角形，通過(guò)拉動(dòng)實(shí)驗(yàn)充分驗(yàn)證了三角形的穩(wěn)定性。在此基礎(chǔ)上，教師又設(shè)計(jì)了這樣的教學(xué)環(huán)節(jié)：

師：為了使某個(gè)多邊形不變形，至少需要添加幾根拼接條？請(qǐng)同學(xué)們拼一拼、畫(huà)一畫(huà)。完成表1。

生1：如果要使四邊形不變形，至少需要加1根拼接條（如圖1）。

生2：如果要使五邊形不變形，至少需要加2根拼接條（如圖2）。

生3：如果要使六邊形不變形，至少需要加3根拼接條（如圖3）。

師：說(shuō)一說(shuō)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生4：我發(fā)現(xiàn)，多邊形每增加1條邊，至少需要添加的拼接條的數(shù)量也增加1根。

生5：我發(fā)現(xiàn)，至少添加的拼接條的數(shù)量比多邊形的邊數(shù)少3，比如，四邊形對(duì)應(yīng)的是1根，五邊形對(duì)應(yīng)的是2根，六邊形對(duì)應(yīng)的是3根……

師：同學(xué)們推測(cè)一下，要使七邊形不變形，至少需要添加幾根拼接條？八邊形呢？

生6：七邊形至少需要添加7-3=4（根），八邊形至少需要添加8-3=5（根）。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生7：多邊形的邊數(shù)-3=至少添加拼接條的數(shù)量。

課堂上，教師不能只教給學(xué)生規(guī)律性的知識(shí)，更為重要的是要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維來(lái)探索規(guī)律。教學(xué)中，教師通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生探索多邊形邊數(shù)與至少添加的拼接條數(shù)量之間的關(guān)系，學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中以四邊形、五邊形、六邊形為例發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證了其中的規(guī)律，并通過(guò)數(shù)學(xué)抽象將這種規(guī)律推而廣之，由此在獲得真知的同時(shí)，感悟到了數(shù)學(xué)抽象能力在規(guī)律探索中的價(jià)值。

[?]二、順應(yīng)思維規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)抽象過(guò)程

小學(xué)生正處于形象思維向抽象思維過(guò)渡的關(guān)鍵階段，通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生感知實(shí)驗(yàn)工具和器材，刺激大腦進(jìn)行思考、分析、比較、抽象與概括，有利于發(fā)展學(xué)生的抽象思維[3]。

1. 操作活動(dòng)，誘發(fā)數(shù)學(xué)抽象思維

操作是智力的源泉，是思維的起點(diǎn)。正可謂動(dòng)手啟迪心智，操作拓展思維。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的操作活動(dòng)應(yīng)該是有目的、有意義的操作活動(dòng)，能夠使學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中手腦并用，誘發(fā)學(xué)生的抽象思維。

比如，在“三角形的內(nèi)角和”的教學(xué)中，教師出示一個(gè)釘子板上的三角形，引導(dǎo)學(xué)生拉動(dòng)A點(diǎn)，完成以下任務(wù)：①∠1、∠2都變大;②∠1、∠2、∠3都變大。通過(guò)拉動(dòng)釘子板上的三角形A點(diǎn)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要把A點(diǎn)向上拉，就能夠使∠1、∠2都變大，但是當(dāng)∠1、∠2都變大時(shí)，∠3就會(huì)變小，無(wú)論怎樣拉動(dòng)三角形，都不能使∠1、∠2、∠3都變大（如圖4）。學(xué)生在觀察和操作中調(diào)動(dòng)了抽象思維，逐步感知到三角形的三個(gè)內(nèi)角可能存在一定的關(guān)系，或者三角形的三個(gè)內(nèi)角和是固定的。

教學(xué)中，教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生拉動(dòng)釘子板上的三角形，引導(dǎo)學(xué)生多種感官參與實(shí)驗(yàn)操作，從動(dòng)作直觀到視覺(jué)直觀，在建立了豐富表象的基礎(chǔ)上逐步引發(fā)抽象思考，進(jìn)而得出對(duì)三角形內(nèi)角和的猜想，由此為下一步的探究打下了基礎(chǔ)。

2. 概括共同屬性，鞏固數(shù)學(xué)抽象思維

概括是抽象的進(jìn)一步補(bǔ)充和發(fā)展，概括往往發(fā)生于抽象思維后，沒(méi)有概括，抽象也就沒(méi)有意義。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，通過(guò)抽象和概括，可以把實(shí)驗(yàn)中獲得的感性經(jīng)驗(yàn)上升為理性認(rèn)識(shí)，以使抽象思維的成果更加鞏固。

比如，講到“三角形三邊關(guān)系”時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生拿出兩根長(zhǎng)度不同的小棒，然后將其中的一根剪斷，得到三根小棒。學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，如果剪斷的是較短的那根小棒，那么三根小棒無(wú)法圍成三角形;如果剪斷的是較長(zhǎng)的那根小棒，就可以圍成三角形。教師問(wèn)道：“怎樣的三根小棒能夠圍成一個(gè)三角形？”學(xué)生回答道：“兩邊之和大于第三邊時(shí)，能圍成三角形?！币粋€(gè)學(xué)生拿起一根最長(zhǎng)的小棒和一根稍短些的小棒質(zhì)疑道：“這兩根小棒的長(zhǎng)度和明顯大于最短的那根小棒，怎么還是不能圍成三角形呢？”教師提示道：“判斷三根小棒能否圍成三角形，能不能只看一組？”學(xué)生分析后認(rèn)為：“必須把小棒兩兩相加再和第三根小棒比較。”教師繼續(xù)問(wèn)道：“那應(yīng)該怎樣表達(dá)我們的結(jié)論呢？”學(xué)生回答：“任意兩邊之和都要比第三邊長(zhǎng)?！庇袑W(xué)生補(bǔ)充道：“我認(rèn)為只要兩條較短的邊加起來(lái)比最長(zhǎng)的邊長(zhǎng)，就一定能夠圍成三角形?！?/p>

實(shí)驗(yàn)的過(guò)程是一個(gè)形象與抽象交織、觀察與分析并存的過(guò)程。無(wú)論是實(shí)驗(yàn)前的猜想還是實(shí)驗(yàn)中的思考，抑或是實(shí)驗(yàn)后的概括，都能發(fā)展學(xué)生的抽象思維。教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生概括實(shí)驗(yàn)結(jié)論，學(xué)生通過(guò)把實(shí)驗(yàn)中的感性認(rèn)識(shí)和理性思考結(jié)合起來(lái)，從中剝離、抽象出經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)的共同本質(zhì)，由此得出科學(xué)的實(shí)驗(yàn)結(jié)論。

總之，數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的核心內(nèi)容之一，教學(xué)實(shí)踐中，教師要發(fā)揮數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，著眼于學(xué)科素養(yǎng)，遵循學(xué)生思維規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生在手腦并用中體驗(yàn)抽象思維的價(jià)值，參與抽象的過(guò)程，使學(xué)生的抽象思維真正得到發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]? 張開(kāi)雁. 為小學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象搭“支架”[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（01）：23-24.

[2]? 劉滿杰，李曉惠. 淺談培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力的策略——以“乘法分配律”的教學(xué)為例[J]. 小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2020（Z3）：42-43.

[3]? 施玲. 小學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維素養(yǎng)的培養(yǎng)[J]. 福建基礎(chǔ)教育研究，2020（06）：81-82.