突出圖形探究　強化代數(shù)推理

彭海燕　李維

摘 要：自2018年高考數(shù)學強化內(nèi)容改革以來，平面解析幾何問題逐漸回歸到幾何問題解析化途徑的探索研究與選擇中. 其中，解析化是實現(xiàn)用代數(shù)方法解決幾何問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié). 在具體的解析化過程中，解題要能夠從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系角度出發(fā)，挖掘數(shù)量與圖形及其關(guān)系的內(nèi)涵特征，將幾何問題坐標化，并最終轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，通過代數(shù)推理與運算得到代數(shù)結(jié)論，解決幾何問題.

關(guān)鍵詞：解析化;消參減元;數(shù)量與數(shù)量關(guān)系;圖形與圖形關(guān)系

一、試題特點分析

2022年高考數(shù)學全國卷的平面解析幾何解答題共有4道（全國甲卷文、理科同題，全國乙卷文、理科同題），研究的圓錐曲線涵蓋了橢圓 （全國乙卷）、雙曲線（全國新高考Ⅰ、Ⅱ卷）和拋物線（全國甲卷）.

這4道試題的第（1）小題都考查了圓錐曲線的標準方程，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性. 其中，全國新高考Ⅰ卷第21題 第（1）小題雖然還需要做進一步的工作，但從近幾年的試題特點來看，經(jīng)典結(jié)論的運用體現(xiàn)了基礎(chǔ)性;全國新高考Ⅰ卷第21題第（2）小題和全國甲卷 （文、理科） 第20題第（2）小題都與三角函數(shù)恒等變換結(jié)合，體現(xiàn)了綜合性;全國新高考Ⅱ卷第21題給出三個條件，要求學生選取兩個作為已知條件，證明另外一個成立，屬于結(jié)構(gòu)不良問題設(shè)計，有效增強了試題的開放性，考查了學生的創(chuàng)新思維能力，體現(xiàn)了創(chuàng)新性. 4道試題，較好地體現(xiàn)了高考對平面解析幾何問題解析化的要求和代數(shù)推理的要求.

2022年高考平面解析幾何的客觀題既有對直線與圓的方程的要求，也有對曲線中幾何圖形特征的挖掘，特別是兩套全國新高考卷中的平面解析幾何多選題，4個選項的設(shè)計既涵蓋了幾何圖形的探究，又強化了代數(shù)運算的基礎(chǔ)性要求. 解析幾何是培養(yǎng)學生直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)的重要載體，高考試題反映了對上述素養(yǎng)的重視.

2022年高考中的平面解析幾何試題聚焦解析幾何本質(zhì)，即更加強化用代數(shù)方法研究幾何問題，更加強化代數(shù)運算的嚴謹性和條理性. 此外，延續(xù)了2020年以來的做法，在問題設(shè)置和解答中更加凸顯解析幾何中的經(jīng)典背景 （如定點定向、極點極線、垂徑定理）在問題解決中的價值. 限于篇幅，文章重點對2022年高考平面解析幾何解答題從圖形與圖形關(guān)系、數(shù)量與數(shù)量關(guān)系角度進行解題分析.

二、優(yōu)秀試題分析

三、復習備考建議

根據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準 （2017年版2020年修訂）》，學習解析幾何旨在培養(yǎng)和發(fā)展學生的邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng). 高考平面解析幾何試題命題的深入，要求師生在日常解題教學中要更加重視“四基”的落實和“四能”的培養(yǎng). 例如，在講評2022年全國乙卷理科第20題時，要注意引導學生提煉解題過程中運用的方程思想、特殊與一般思想，教會學生分析問題和解決問題.

通過對2022年高考平面解析幾何試題的分析可以看到，幾何問題解析化是有方向可循的，即當面對一個幾何問題時，要明確這是一個什么樣的幾何問題，是將這個幾何問題視作整體挖掘它的幾何特征，還是看成兩個圖形去探索它們之間的關(guān)系，抑或是從數(shù)量或數(shù)量關(guān)系角度進行挖掘，接著研究和探索這個幾何問題需要用到哪些代數(shù)條件，再把幾何問題代數(shù)化（有時候這個代數(shù)化過程不是很直觀，需要把幾何問題轉(zhuǎn)化為另一個等價的幾何問題后再進行代數(shù)化）. 這些探索與研究的過程是需要時間與實踐的. 也正因為如此，在復習備考中要強化自主探究，要能夠從多角度思考，深入挖掘圖形的幾何特征，掌握研究解析幾何問題的一般方法和思維方式. 具體而言要做到以下幾點.

1. 重視圖形探究

例2中涉及兩條直線的傾斜角的差的正切，這其實是到角公式. 學生必須明晰概念 （斜率是傾斜角的正切值），掌握從圖形與圖形關(guān)系和數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的角度把握幾何問題解析化的基本途徑，熟練運用向量、三角等工具.

2. 強化代數(shù)運算綜觀2022年高考平面解析幾何試題，可以感受到全國卷的4道平面解析幾何試題的運算量比以往要大，參變量更多，如何“消參減元”是關(guān)鍵. 教學中，一定要讓學生關(guān)注代數(shù)的本質(zhì)——結(jié)構(gòu)特征，多想多算，培養(yǎng)學生的耐心和嚴謹細致的習慣，以及堅忍不拔的意志品質(zhì).

3. 重視經(jīng)典問題

高考從不回避經(jīng)典，中點弦、焦點弦長、垂徑定理、極點極線等問題在高考中的考查不斷創(chuàng)新. 教學中，一定要重視對這些經(jīng)典問題的積累和研究，讓學生掌握解決這類經(jīng)典問題的通性、通法.

4. 重視回歸教材

平面解析幾何的復習要回歸教材，在新高考強調(diào)教考銜接的情況下，更要將教材中的研究路徑和研究的一般思維方法落地、落細. 從對上述高考平面解析幾何試題的分析來看，只要吃透了教材訓練系統(tǒng)的精神實質(zhì)，對教材中的例題、習題進行深入研究，挖掘其內(nèi)在的聯(lián)系并拓展其研究空間，對于高考試題的本質(zhì)還是容易把握的.

四、典型模擬題

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準 （2017年版2020年修訂）[M]. 北 京：人民教育出版社，2020.

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[5] 彭海燕. 高考數(shù)學全國卷解密[M]. 杭州：浙江大學出版社，2019.

[6]彭海燕，程生根，錢耀周. 高考數(shù)學全國卷真題精編[M]. 杭州：浙江大學出版社，2022.