破解含參不等式恒成立問題的三個妙招

劉玲玲

含參不等式恒成立問題一般較為復(fù)雜，通常要根據(jù)題意找到使不等式恒成立的條件，據(jù)此建立關(guān)系式，才能順利求得問題的答案.此外，需靈活運用函數(shù)思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想來輔助解題.下面，筆者結(jié)合實例，探討解答含參不等式恒成立問題的三個妙招.

一、分離參數(shù)

分離參數(shù)法是求解含參不等式恒成立問題的常用方法.運用分離參數(shù)法求解含參不等式恒成立問題，需先將不等式變形，使得參數(shù)和變量分離，得到形如f（x）>a或f（x）min或a>f（x）_max，解該不等式，即可求得參數(shù)a的取值范圍.此種方法一般適用于解答參數(shù)與變量易于分離的含參不等式恒成立問題.

要使不等式恒成立，需使a>（xlnx-x³）_max，

令g（x）=xlnx-x³，可得g′（x）=1+lnx-3x²，

所以g′（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

所以g′（x）

則g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

可得g（x）

二、變更主元

若已知含參不等式恒成立問題中參數(shù)的取值范圍，則可運用變更主元法來解題.將已知取值范圍的變量作為參數(shù)，將參數(shù)視為主元，通過變更主元，把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的不等式恒成立問題，進(jìn)而根據(jù)已知變量的取值范圍，求得參數(shù)的取值范圍.

解：由于函數(shù)y=3^x是增函數(shù)，

設(shè)f（x）=x²+ax+2-2x-a+1，

貝當(dāng)a∈[-1，1]時，f（a）>0，

解得x<0或x>2，

所以x的取值范圍為x∈（-∞，0）∪（2，+∞）.

將參數(shù)a視為主元，將變量X視為參數(shù)，通過變更主元，將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)a∈[-1，1]時，f（x）=x²+ax+2-2x-a+1>0恒成立的問題，然后利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，討論當(dāng)a∈[-1，1]時，a²+ax+2-2x- a+1=0的根的分布情況，建立新不等式，即可求得x的取值范圍.運用主元變更法，能夠使題目最終轉(zhuǎn)化為解簡單不等式的問題.

三、采用判別式法

例3.若對任意x∈R，不等式mx²+mx-4≤0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

解：①當(dāng)m=0時，不等式可化為-4W0，該式對任意x∈R恒成立.

②當(dāng)m≠0時，不等式為一元二次不等式，

設(shè)f（x）=mx²+mx-4，

要使f（x）≤0在x∈R上恒成立，

一元二次不等式、一元二次函數(shù)、一元二次方程之間的聯(lián)系非常緊密.在解答含參二次不等式恒成立問題時，要學(xué)會結(jié)合二次函數(shù)圖象和一元二次方程的根的判別式△，來建立不等關(guān)系式.

求解含參不等式恒成立問題，關(guān)鍵要抓住不等式的特點，對其進(jìn)行合理的變形，如將參數(shù)、變量分離，將主元變更，構(gòu)造一元二次方程，將問題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，靈活運用數(shù)學(xué)思想輔助解題.