怎樣求解圓錐曲線中的“韋達(dá)定理非對稱”問題

楊小強(qiáng)

在解答直線和圓錐曲線問題時，我們往往要采用代數(shù)法，將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立起來，再消去x或y，得到一個關(guān)于x或y的一元二次方程.不妨設(shè)方程 ax2 + bx + c = 0 的兩根為 x1 和 x2 ，由韋達(dá)定理 可 得 x1 + x2 = - ba 、x1x2 = ca ，即 可 得 x12 + x22 、| x | 1 - x2 、1x1+ 1x2等的值.但在某些問題中，可能會出現(xiàn)兩 根 不 是 輪 換 對 稱 的 式 子 ，如 x1 = tx2（t≠1），λx1 + μx2（λ ≠ μ） 等，像這種結(jié)構(gòu)的式子，我們稱之為非對稱韋達(dá)式，此時利用韋達(dá)定理無法直接求得問題的答案.那么如何求解這類“韋達(dá)定理非對稱”的問題呢？下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)行探討.

類型一：形如 x1 = tx2 （t ≠ 1） 的非對稱韋達(dá)式

當(dāng)遇到形如 x1 = tx2（t≠1）的非對稱韋達(dá)式時，需先將該式變形，推出 （x1 + x2）2 = （t + 1）x22，x1x2 = tx22 ，可得 （x1 + x2）2x1x2= t + 1t ，即通過配湊、變形，構(gòu)造出關(guān)于x1 + x2、x1x2 的式子，再根據(jù)韋達(dá)定理，通過整體替換，建立關(guān)于 t 的方程，從而求得答案.

例 1. 已 知 橢 圓 C1 和 拋 物 線 C2 有 公 共 焦 點(diǎn)F（1 ， 0） ，C1 的中心和 C2 的頂點(diǎn)均是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)M（4 ， 0） 的直線 l 與拋物線 C2 分別相交于A，B兩點(diǎn).

解答第二個問題，需將直線 l 與拋物線 C2 的方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理得到 y1 + y2 、y1y2 ，然后通過配湊得到有關(guān) y1 + y2 、y1y2 的式子，最后通過恒等變換消去 y1、y2 ，得到只含有k的式子，通過解方程求得k的值，即可解題.

類型二：形如 λx1x2 + μx2（λ ≠ μ） 的非對稱韋達(dá)式

當(dāng)題中出現(xiàn)形如 λx1x2 + μx2（λ ≠ μ） 的非對稱韋達(dá)式，直接運(yùn)用韋達(dá)定理肯定是行不通的，此時我們可以利用韋達(dá)定理，將一個根用另外一個根表示出來，再代入目標(biāo)式中，通過整體約分來求得問題的答案.

在解題中，同學(xué)們要學(xué)會識別非對稱韋達(dá)式，將其與一元二次方程、韋達(dá)定理關(guān)聯(lián)起來，進(jìn)行適當(dāng)?shù)呐錅惢蜃冃?，再根?jù)韋達(dá)定理進(jìn)行計算或整體約分，從而使問題得解.在日常解題的過程中，同學(xué)們要學(xué)會總結(jié)解題方法，歸納通性通法，從而真正地提升解題的能力.

（作者單位：江蘇省如東縣馬塘中學(xué)）