數(shù)學模型思想與小學數(shù)學教學的思考

蓋維丹

數(shù)學模型思想在人們生產(chǎn)、生活、學習、科研等解決實際問題中多有應用，信息化時代，用構(gòu)建數(shù)學模型的方法優(yōu)化各種工作方案更是廣泛普及。因此小學數(shù)學教學中，引導學生形成數(shù)學建模思想，參與建模實踐和探究活動，對強化小學生的數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)具有積極作用。所謂的數(shù)學建模思想就是利用數(shù)學知識、數(shù)學能力解決生活、工作、學習中實際問題的一種方法理念，數(shù)學建模的方法在生物、醫(yī)學、地質(zhì)、氣象、經(jīng)濟、社會、物理、化學、天文、工程、管理等領(lǐng)域都有應用。小學生是祖國的未來，是將來社會的建設(shè)者和事業(yè)接班人，從小養(yǎng)成數(shù)學模型思想和思考習慣，有助于在后續(xù)的學習和工作進一步更好地應用。

一、小學數(shù)學模型思想的認識和重要性

（一）小學數(shù)學模型思想的認識

小學數(shù)學模型思想就是用數(shù)字符號、運算符號組成的關(guān)系式，概括、抽象事物發(fā)生、發(fā)展規(guī)律的思維方法和學習理念，通過一種數(shù)學結(jié)構(gòu)，更直觀地理解掌握數(shù)量關(guān)系、空間形式及現(xiàn)實世界事物特征的表達，小學階段數(shù)字符號、運算關(guān)系式、整數(shù)、分數(shù)的圖像表示、面積公式、應用題類型、代數(shù)符號、代數(shù)式等，都是數(shù)學模型具體的表達;數(shù)學模型思想的實質(zhì)就是數(shù)形合一思想的表現(xiàn)，屬于最基本的數(shù)學思想，不斷地滲透數(shù)學模型思想，才能提高小學生的抽象思維能力，培養(yǎng)小學生透過現(xiàn)象分析探究問題規(guī)律的習慣，學會用科學的方法思考、解決問題。人們在解決日常生活、工作、學習中的問題的過程中，都喜歡利用經(jīng)驗和事物發(fā)展變化的規(guī)律，探討尋找解決問題的辦法，這個利用規(guī)律模式的過程就是數(shù)學模型思想的具體運用，數(shù)學模型思想在生活實踐中的應用，提高了解決問題的效率，找到了解決問題的捷徑，是數(shù)學能力在改造自然過程中生產(chǎn)生活能力的轉(zhuǎn)化提高，促進了社會的發(fā)展。如購物，一件日用品按正常的價格出售，獲利10元，如果采取打折的方法進行促銷，購買此日用品每超過100件，則打5折，這樣每天出售的日用品的數(shù)量，就會大大增加，那么，促銷活動能不能為商家提高預期的收益呢？借助數(shù)學模型，能從理論上推算出銷量達到多少時，出售日用品獲利最高。因此，正確認識數(shù)學模型思想，關(guān)鍵在于對數(shù)學模型的應用有足夠的了解，懂得數(shù)學模型的應用方法，讓小學生從小養(yǎng)成學用數(shù)學模型的習慣，不斷創(chuàng)新解決問題的思路、途徑和方法，發(fā)展小學生的數(shù)學思維能力。

（二）小學數(shù)學模型思想的重要性

模型方法是數(shù)學方法中的骨干架構(gòu)和關(guān)鍵內(nèi)容，廣泛應用于信息化社會和市場經(jīng)濟的各個領(lǐng)域，數(shù)學模型思想的形成就是通過數(shù)學符號表達和抽象，把具體事物或者現(xiàn)實情境進行數(shù)學結(jié)構(gòu)化，發(fā)現(xiàn)事物變化或者實際問題存在的規(guī)律性，將數(shù)學知識、數(shù)學能力進行科學應用，實現(xiàn)相關(guān)知識能力的轉(zhuǎn)化，使數(shù)學核心素養(yǎng)潛移默化地滲透于邏輯思維能力、智力能力的發(fā)展的提高過程，不斷把形象思維能力優(yōu)勢轉(zhuǎn)化為抽象思維能力，善于從紛繁復雜的現(xiàn)象中，歸納、概括事物變化規(guī)律和本質(zhì)的要素，利于在解決問題中，抓住核心關(guān)鍵的優(yōu)勢條件。小學數(shù)學模型思想是小學生數(shù)學應用能力創(chuàng)新發(fā)展的具體體現(xiàn)，在新課標的10大核心概念中，是“獨一無二”的唯一的“思想”概念。并對這一思想概念的教學，提出了具體要求，就是把小學數(shù)學模型思想的建立作為一種基本途徑，幫助、引導小學生體會、理解和探究數(shù)學與社會大千世界外界的內(nèi)在聯(lián)系。使小學生養(yǎng)成科學的思維習慣，能在客觀事物變化的現(xiàn)象中，發(fā)現(xiàn)信息，歸納、抽象、概括成數(shù)學問題，利用數(shù)學知識、能力，解決問題，提高數(shù)形合一思想、等量交換思想、數(shù)量關(guān)系思想等解決實際問題的能力。比如，用數(shù)字符號、代數(shù)符號、計算公式等明確數(shù)學問題、實踐問題中的變化規(guī)律和數(shù)量關(guān)系，運用計算的方法，獲得“問題”的處理“結(jié)果”，并對結(jié)果的意義，組織探究討論，加深對發(fā)現(xiàn)規(guī)律、利用規(guī)律，解決問題的方法的認識，逐漸形成數(shù)學模型思想。

二、小學數(shù)學教學中模型思想的培養(yǎng)過程

（一）設(shè)計課堂流程

小學數(shù)學新課標及課程改革要求，小學階段的數(shù)學教學是小學生學習數(shù)與代數(shù)的抽象過程，運算與建模的過程。培養(yǎng)數(shù)學模型思想的過程中，提高小學生的發(fā)現(xiàn)問題能力、概括分析問題能力和科學地解決問題能力，能使學生理解、掌握基本的數(shù)學模型，能夠在面對紛繁雜亂的數(shù)學現(xiàn)象時，運用自己的模型進行梳理、求解，把握和認識數(shù)學現(xiàn)象反映的本質(zhì)規(guī)律，排除雜亂數(shù)學信息的迷惑，把數(shù)學知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學能力。鑒于此，小學數(shù)學課堂教學過程中，培養(yǎng)數(shù)學模型思想的環(huán)節(jié)、順序、內(nèi)容等，要構(gòu)建一種體系，形成完善的結(jié)構(gòu)，有利于教學效果和作用的充分發(fā)揮。整個教學活動分三步走：第一步，問題情境;第二步，建立模型;第三步，求解驗證;這三步是一個連續(xù)的教學環(huán)節(jié)，表現(xiàn)為一個整體的課堂教學活動，小學生經(jīng)歷這個學習歷程，有利于掌握數(shù)學知識、數(shù)學技能，循序漸進地積累數(shù)學活動經(jīng)驗，體會數(shù)學模型思想的本質(zhì)，完成新課程標準中數(shù)學模型思想教學的目標。

（二）數(shù)學模型思想建構(gòu)的過程

數(shù)學模型思想是科學的意識，成熟的經(jīng)驗和有效的方法，與數(shù)學知識中的概念、性質(zhì)、公式、法則、定律等存在著密不可分的內(nèi)在聯(lián)系，小學生在經(jīng)歷、體驗和探索的過程中，才能逐步形成數(shù)學模型思想。如1、2、3、4、5，這幾個數(shù)字符號，小學生從幼兒園、一年級就開始認識、書寫，并利用數(shù)字符號表示事物的多少，2可以看作2個蘋果，也可以看作2支筆、2本書、2場電影、2件事;等等。從小的事物個體，到大的事物個體，從有形的事物個體到無形的事物個體，在長時間的練習、運用中，學生認識了數(shù)字符號這個模型，這個模型能在生活、學習中為統(tǒng)計、計數(shù)所利用，并且方便、快捷。因此，小學數(shù)學模型思想的建立，不是一蹴而就的結(jié)果，而是從一年級到五年級的數(shù)學教學中，學生認識、理解、運用數(shù)學概念、性質(zhì)、公式、法則、定律的過程中，慢慢積累的“產(chǎn)物”。以除法教學為例，學生對除法的接觸、認識、理解逐步抽象概括的過程，是在減法基礎(chǔ)上的進步和創(chuàng)新，知識和能力的繼續(xù)和發(fā)展。如6÷2=3，第一步，教師要讓學生充分認識6÷2=3，6÷2的“商”是表示6平均分成2份的結(jié)果，一個盤子中，平均放2個蘋果;6個蘋果，需要多少個盤子？一個鉛筆盒中平均放2支鉛筆，6個鉛筆需要多少鉛筆盒？一天平均練習寫2個大字，6個大字該練習幾天？在生活中，平均分配蘋果、鉛筆、大字等事物的問題，可能遇到很多，比起一個一個地循環(huán)分發(fā)得到結(jié)果的方法，利用這個6÷2=3模型來計算，可以說，準確、快捷，發(fā)生錯誤的概率比數(shù)數(shù)要低且更直接簡單。第二步，對6÷2=3模型認識的延伸，如果6÷2=3反過來，變成6÷3=2的意義，就是6平均分成2份，每份3個，變成6平均分成3份，每份2個。就是6個蘋果平均分到2個盤子，每個盤子分到3個蘋果;6支鉛筆平均分到2個鉛筆盒，每個鉛筆盒分到3支鉛筆;6個大字平均練習寫兩天，2天每天寫3個大字;6÷2=3和6÷3=2這兩個數(shù)學模型，數(shù)字符號相同，運算符號相同，商和除數(shù)互不相同，表示的意義卻有很大的區(qū)別，教師要讓學生深刻地認識到兩者之間的區(qū)別，并通過列式、運算的過程，讓學生體驗數(shù)學模型在應用中的變化規(guī)律，這就是數(shù)學模型思想的轉(zhuǎn)化規(guī)律。第三步，對6÷2=3模型認識的遞進。讓小學生在學習6÷2÷3=1的過程中，回顧6÷2=3模型認識，進行合作探究，增進對數(shù)學模型思想的了解、理解，具備一定的數(shù)學模型的應用能力。在教學中，注重打破“固化式”的死記硬背傳統(tǒng)，不能讓小學生先背除法口訣再進行口算、筆算，而是在6÷2=？從6÷1=？6÷2=？6÷3=？的計算中，悟出“口訣”內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)計算規(guī)律，挖掘數(shù)學模型思想的真諦，強化小學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，提高小學生的數(shù)學能力。如此在學習中不斷提升學習興趣，把數(shù)學模型思想自然而然地融入數(shù)學知識、技能的應用過程中，讓學生更好地體會數(shù)學的應用性功能、特點，學習興趣不斷地提升，能夠辨析、梳理不同類數(shù)學模型間的相互關(guān)系、內(nèi)在聯(lián)系，概括其中的規(guī)律性，能靈活運用所學知識。

（三）堅持數(shù)學模型思想的長期連續(xù)培養(yǎng)

小學數(shù)學中的數(shù)字符號模型的應用，公式、性質(zhì)數(shù)學模型的應用，從低年級一直到高年級，循序漸進，小學生在各種數(shù)學模型的認識、應用，再認識、再應用的過程中，才能形成數(shù)學模型思想意識。以分步應用題教學為例，第一步，必須建立在小學生熟悉運算模型的基礎(chǔ)上。如300÷（30+20）=6這個四則運算模型，就是按照“先算乘除，后算加減，有括號的先算括號”的法則順序進行計算，在此基礎(chǔ)上，讓學生鞏固練習200÷（30+10）=？500÷（80+20）=？800÷（30+50）=？等。第二步，提出問題：要挖一條長300千米的水渠，兩個工程隊分別從水渠工程的兩端開始施工，問幾天后兩個工程隊挖通相遇？這是個典型的相遇問題模型，學生要掌握的數(shù)學核心知識要素有兩個：第一個是兩個工程隊每天挖多少千米;用數(shù)字符號模型表示，即30km、20km;然后，利用加法計算模型進行計算，30+20=50;第二個是水渠總長多少千米，即300km;了解掌握這兩大知識點，運用除法計算模型，就能得出相應的結(jié)果，即300÷50=6。第三步：數(shù)學模型思想培養(yǎng)的拓展延伸。在原來的問題中，增加知識元素和數(shù)學模型內(nèi)容，即2020年，劉家灣要在山南修建一條長300km的東西向水渠，王四工程隊和劉二工程隊承攬施工，王四工程隊人多機械設(shè)備條件好，每天能挖30km;劉二工程隊機械設(shè)備差，人少，每天只挖20km，從2月25日開始，兩個工程隊，分別從東西兩端施工，問，幾月幾日才能挖通？在這個實際問題的解決過程中，除了利用300÷（30+20）=6數(shù)學模型外，還要引入日歷模型，即一年12個月，1、3、5、7、8、10、12為大月，每月31天。4、6、9、11為小月份，每月30天;2月份閏年為29天，平年為28天;在解決問題的過程中，必須明白2020年是平年還是閏年，然后，從計算結(jié)果的6天中，從2月25日開始計算，結(jié)合平年、閏年的日歷模型，對工程竣工時間進行評估。這樣，從低年級的數(shù)字符號模型，中年級的四則運算模型，到高年級的應用題模型+日歷等生活經(jīng)驗數(shù)學知識能力模型的運用，小學生數(shù)學模型思想逐漸形成，不但能解析應用題，還能對生產(chǎn)、生活中工程施工、經(jīng)營利潤等通過構(gòu)建模型進行計算預判，強化數(shù)學知識能力在社會發(fā)展中服務功能和作用的發(fā)揮。

三、小學數(shù)學教學中數(shù)學模型思想培養(yǎng)層次把握

（一）讓學生探究摸索數(shù)學模型的構(gòu)建過程

數(shù)學模型的構(gòu)建及解決問題的過程，能激發(fā)小學生的興趣，獲得克服困難、取得成功的成就感。比如，讓低年級的學生學會用數(shù)字符號模型，進行物體多少的計數(shù);“8”表示8只杯子;8本書;8雙襪子;8個人……小學生理解、掌握了數(shù)字符號模型，樹立了數(shù)學模型思想，在對無序的事物或問題進行統(tǒng)計清理時，能做到思路清晰，先分類，再計數(shù)，不至于在計數(shù)過程中分不清類別、順序和計算方法。在教學中，教材中很多現(xiàn)成的數(shù)學模型都是前人長期辛勤探究的結(jié)果，像數(shù)字符號、代數(shù)式、計算法則、公式、定律等，不能讓小學生死記硬背公式、法則，要引導、指導、啟發(fā)小學生探究構(gòu)建數(shù)學模型。又如，“圓的面積”的教學，在小學生了解了面積的概念后，基于長方形面積求解的模型，教師指導小學生把圓形以圓心為起點，圓周上的任一點為終點，進行連線，把圓形平均分成若干等分，在此過程中，可以比賽，看看誰分的份數(shù)更多，激發(fā)學生探究的興趣，然后，進行歸類整合，讓學生去發(fā)現(xiàn)，圓形變成了長方形的過程，運用長方形的面積公式模型，求解圓形的面積，理解圓的“半徑”與長方形的“寬”的關(guān)系，長方形的“長”與圓形的周長的關(guān)系。通過數(shù)學模型的構(gòu)建過程，樹立數(shù)學模型思想。

（二）化解小學生數(shù)學模型探究的難度

小學生年齡小，生活閱歷不夠，知識面窄，在探究數(shù)學模型的構(gòu)建運用過程中存在不同的難度，教師要給予啟發(fā)、將其化難為易，激勵學生不斷進步。如速度模型、反比例模型等抽象程度較高的數(shù)學模型。

（三）運用熟悉的數(shù)學模型解決實際問題，舉一反三，鞏固練習

教師要根據(jù)各個年級學生的年齡特點和教學大綱的要求，讓學生結(jié)合生活中的購物、工程、分配、統(tǒng)計等現(xiàn)象、經(jīng)驗，運用熟悉的數(shù)學模型解決問題，促進數(shù)學模型思想的進步。

四、結(jié)語

綜上所述，小學數(shù)學模型思想與小學數(shù)學教學是個融合的教學活動過程，數(shù)學模型思想與數(shù)學模型運用是數(shù)學教學本質(zhì)的兩個方面，必須結(jié)合學生的生活經(jīng)驗，提高學生構(gòu)建模型的能力，把實際問題簡化、具體化，概括規(guī)律，以利于解決問題。

（吳淑媛）