一元二次方程典型錯誤剖析

王其淼

一元二次方程是歷年中考的熱點之一，解題時稍有疏忽就會出現(xiàn)錯誤. 下面針對在解一元二次方程有關(guān)問題時出現(xiàn)的典型錯誤加以剖析.

一、求方程中未知數(shù)及根的判別式的值時，容易忽略二次項系數(shù)是否為零.

例1 若關(guān)于[x]的一元二次方程[kx2-x+1=0]有實數(shù)根，則[k]的取值范圍是（）.

A. [k>14]且[k≠0] B. [k<14]且[k≠0] C. [k≤14]且[k≠0] D. [k<14]

解：[∵]關(guān)于[x]的一元二次方程[kx2-x+1=0]有實數(shù)根，

[∴k≠0]且[Δ=-12-4k≥0]，解得[k≤14]且[k≠0].

故選C.

點評：根據(jù)二次項系數(shù)非零及根的判別式[Δ≥0]，即可得出關(guān)于[k]的一元一次不等式組，解之即可得出結(jié)論.

二、討論方程的解時，忽略一次方程的情況.

例2 關(guān)于[x]的方程[a-1x2+x+a2-1=0]的一根是[0]，則[a]的值為（）.

A. [1] B.[-1] C. [1]或[-1] D.[12]

解：[①]當(dāng)方程為一元二次方程時，

∵一元二次方程[（a-1）x2+x+a2-1=0]的一個根是[0]，

[∴]將[x=0]代入方程得[a2-1=0]，

解得[a=1]或[a=-1]，

將[a=1]代入方程得二次項系數(shù)為[0]，不符合題意，舍去，則[a]的值為[-1];

[②]當(dāng)方程為一元一次方程時，[a=1].

故[a]的值為[1]或[-1].

故選C.

點評：此類題應(yīng)分兩種情況討論：當(dāng)方程為一元二次方程時，由一元二次方程的一個根是[0]，將[x=0]代入方程得到關(guān)于[a]的方程，求方程的解即得[a]的值，將[a]的值代入方程進(jìn)行檢驗，即可得到滿足題意的[a]的值;再當(dāng)方程為一元一次方程時，[a-1=0]，求解即可.

三、未發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件.

例3 若[（x2+y2）2-5（x2+y2）-6=0]，則[x2+y2=] .

解：設(shè)[x2+y2=z]，則原方程轉(zhuǎn)化為[z2-5z-6=0]，即[（z-6）（z+1）=0]，

解得[z1=6]，[z2=-1]，

[∵x2+y2] [≥] [0]，[∴x2+y2=6]，

故填[6].

點評：由于此題是填空題，同學(xué)們在解題時往往因步驟不嚴(yán)謹(jǐn)而忽略所求式子為非負(fù)數(shù).

四、對題意分析不全面.

例4 等腰三角形的一邊長是[3]，另兩邊的長是關(guān)于[x]的方程[x2-4x+k=0]的兩個根，則[k]的值為（）.

A. [3] B. [4] C. [3]或[4] D. [7]

解：[①]當(dāng)[3]為腰長時，將[x=3]代入[x2-4x+k=0]，得[32-4×3+k=0]，

解得[k=3]，[x2-4x+3=0]的兩個根是[x1=3]，[x2=1]，由于[3+1>3]，故符合題意;

[②]當(dāng)[3]為底邊長時，關(guān)于[x]的方程[x2-4x+k=0]有兩個相等的實數(shù)根，

[∴Δ=（-4）2-4×1×k=0]，解得[k=4]，

[x2-4x+4=0]的兩個根是[x1=x2=2]，由于[2+2>3]，故符合題意.

[∴k]的值為[3]或[4].

故選C.

點評：解題時容易忽略對題目中邊長為3的邊的討論.

五、忽略上一問中字母的取值范圍.

例5 已知關(guān)于[x]的方程[x2-4x+k+1=0]有兩實數(shù)根.

（1）求[k]的取值范圍;

（2）設(shè)方程兩實數(shù)根分別為[x1]，[x2]，且[3x1+3x2=x1x2-4]，求實數(shù)[k]的值.

解：（1）[Δ=16-4（k+1）=16-4k-4=12-4k≥0]，[∴k≤3].

（2）由題意可知：[x1+x2=4]，[x1x2=k+1]，

[∵3x1+3x2=x1x2-4]，[∴3（x1+x2）x1x2=x1x2-4]，

[∴3×4k+1=k+1-4]，[∴k=5]或[k=-3]，

由（1）可知[k=5]舍去，[∴k=-3].

點評：此題的易錯點是求解第（2）問時容易忽略第（1）問中[k]的取值范圍.

（作者單位：大連市第九中學(xué)）