一元二次方程解法歸納

高冬

一元二次方程的重點(diǎn)與關(guān)鍵是其解法. 解方程時(shí)，須從“數(shù)”（系數(shù)）和“形”（外形）兩個(gè)角度進(jìn)行分析，這樣才能事半功倍. 下面結(jié)合實(shí)例對(duì)一元二次方程的解法進(jìn)行歸納.

一、直接開(kāi)平方法

直接開(kāi)平方法就是通過(guò)直接開(kāi)平方來(lái)求解一元二次方程的方法.

例1 解下列方程：（1）2x2 - 8 = 0;（2）3（x - 1）2 - 6 = 0.

分析：（1）方程的一次項(xiàng)系數(shù)為0，通過(guò)移項(xiàng)、系數(shù)化為1，可以轉(zhuǎn)化為x2 = 4，直接開(kāi)平方求解;（2）將x - 1看作一個(gè)整體，方程可以轉(zhuǎn)化為（x - 1）2 = 2，直接開(kāi)平方求解.

解：（1）整理，得x2 = 4. 根據(jù)平方根的意義，得x1 = 2，x2 =? - 2.

（2）整理，得（x - 1）2 = 2. 根據(jù)平方根的意義，得x - 1 = ±[2].

移項(xiàng)，得x1 = 1 + [2]，x2 = 1 - [2].

點(diǎn)評(píng)：一般地，當(dāng)一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)為0，即ax2 + c = 0（ac < 0）或ax2 = c（ac ≥ 0），或方程通過(guò)移項(xiàng)等可直接轉(zhuǎn)化為（x + n）2 = p（p ≥ 0）的形式時(shí)，用直接開(kāi)平方法解方程最為簡(jiǎn)單. 要注意，開(kāi)平方時(shí)，正數(shù)的平方根有兩個(gè)，是一對(duì)相反數(shù)，不要丟解.

二、配方法

配方法就是通過(guò)“配方”，把一元二次方程轉(zhuǎn)化成（x + n）2 = p的形式求解的方法. 如果p > 0，那么方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， x1 = [-n+p]，x2 = [-n-p];如果p = 0，那么方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根， x1 = x2 = -n;如果p < 0，那么方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

例2 解方程4x2 - 8x - 3 = 0.

分析：方程的二次項(xiàng)系數(shù)為4，須將二次項(xiàng)的系數(shù)化為1.

解：移項(xiàng)，得4x2 - 8x = 3. 二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2 - 2x = [34].

配方，得x2 - 2x + 1 = [34] + 1，則（x - 1）2 = [74].

由此可得x - 1 = ±[72]，則x1 = 1 + [72]，x2 = 1 - [72].

點(diǎn)評(píng)：配方法適用于所有的一元二次方程，其中，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)化為1后，一次項(xiàng)的系數(shù)是絕對(duì)值較小的偶數(shù)時(shí)，用配方法更簡(jiǎn)單. 要注意，配方時(shí)，一般是把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1后，在方程的兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.

三、公式法

公式法就是當(dāng)一元二次方程ax2 + bx + c = 0滿足b2 - 4ac ≥ 0時(shí)，將各系數(shù)直接代入求根公式求解的方法.

例3 解方程x2 - x = 6.

分析：二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為奇數(shù)，用公式法比較簡(jiǎn)單.

解：方程化為x2 - x - 6 = 0. 其中a = 1，b = -1，c = -6. ∴[Δ] = b2 - 4ac = （-1）2 - 4 × 1 × （-6） = 25 > 0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x = [--1±252×1=1±52]，即x1 = 3，x2 = -2.

點(diǎn)評(píng)：公式法適用于所有的一元二次方程，可以省略配方過(guò)程而直接求解. 當(dāng)一元二次方程的系數(shù)是無(wú)理數(shù)時(shí)，或二次項(xiàng)系數(shù)化為1后，一次項(xiàng)的系數(shù)是奇數(shù)時(shí)，一般用公式法比較簡(jiǎn)單. 要注意，用公式法求解時(shí)，要先把一元二次方程化為一般形式，將各系數(shù)代入公式時(shí)應(yīng)注意符號(hào).

四、因式分解法

因式分解法就是將一元二次方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式，進(jìn)而求解的方法.

例4 解方程3x（2x + 1） = 2x + 1.

分析：方程兩邊都有因式2x + 1，可以用因式分解法求解.

解：方程化為3x（2x + 1） - （2x + 1） = 0. 因式分解，得（2x + 1）（3x - 1） = 0.

于是得2x + 1 = 0或3x - 1 = 0，則x1 =? - [12]，x2 = [13].

點(diǎn)評(píng)：一般地，當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為0，或者一元二次方程兩邊含有相同的因式時(shí)，用因式分解法解方程更簡(jiǎn)單. 要注意，方程兩邊不能同時(shí)除以含有未知數(shù)的因式，以避免丟根.

綜上所述，在解一元二次方程時(shí)，我們要從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度進(jìn)行分析，在方法的選擇上遵循“從特殊到一般”的原則，即先判斷能否用直接開(kāi)平方法或因式分解法;如果不能，再選擇配方法或公式法，對(duì)于從“形”上不好辨析的方程，一般可先將方程化為一般形式，再進(jìn)行分析.

（作者單位：興城市第三初級(jí)中學(xué)）