讓我們的眼光、思維與表達(dá)充滿數(shù)學(xué)味兒

第1章 數(shù)學(xué)與我們同行

領(lǐng)? ? 銜? ? 人：黃秀旺

組稿團(tuán)隊：江蘇省南京市初中數(shù)學(xué)黃秀旺名師工作室

當(dāng)你閱讀本篇文章時，你已是一名初中生了，祝賀你！經(jīng)歷了小學(xué)六年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，相信你對“數(shù)學(xué)”有許多話可說，比如，數(shù)學(xué)有趣，數(shù)學(xué)好玩，當(dāng)然，你也可能說數(shù)學(xué)很難。種種感受因人而異，實屬正常。那么，學(xué)數(shù)學(xué)有什么用？今天，我們就來聊一聊。

首先，請你寫幾個偶數(shù)。你會很容易就寫出2、4、6等。那么，你能把所有的偶數(shù)寫出來嗎？有沒有什么辦法呢？

我們發(fā)現(xiàn)：2=2×1，4=2×2，6=2×3……也就是說，任意一個偶數(shù)可以寫成2與一個整數(shù)的積的形式。如果我們用字母n表示一個整數(shù)，那么，偶數(shù)就可以表示為2×n，省略“×”號，就是2n。這樣我們就可以用2n表示偶數(shù)，從而解決問題。同樣，我們可以用2n+1表示奇數(shù)。

以上的討論，實際上告訴我們，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，可以讓我們學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。在上述例子中，引出字母n是關(guān)鍵。進(jìn)入初中后，我們會深刻地體會到用符號表達(dá)問題、思考問題的優(yōu)越性。

接下來，我再問你，“兩個偶數(shù)的和（或差）是偶數(shù)嗎？”我們可以先寫出兩個偶數(shù)，例如6和4，發(fā)現(xiàn)它們的和（或差）都是偶數(shù)。那我們是不是可以說“兩個偶數(shù)的和（或差）是偶數(shù)”呢？顯然有失偏頗。因為你只舉了一個例子。有的同學(xué)說，那好辦，多舉一些例子，不妨舉1000個例子。最后，發(fā)現(xiàn)結(jié)果仍然都是偶數(shù)。這樣是不是就可以確定我們的發(fā)現(xiàn)（猜想）是正確的呢？很遺憾，還不能。因為偶數(shù)有無數(shù)個，你沒有把所有情形都列舉出來。

那怎么辦？這就彰顯數(shù)學(xué)的魅力了——用數(shù)學(xué)的思維思考問題。

我們用2n、2m表示兩個偶數(shù)（n、m是整數(shù)），根據(jù)乘法分配律，2n+2m=2（n+m），2n-2m=2（n-m）。我們知道，兩個整數(shù)相加或相減，結(jié)果仍是整數(shù)，所以2（n+m）和2（n-m）是偶數(shù)。由于n、m是整數(shù)，所以2n、2m就可以表示任意的兩個偶數(shù)，雖不是具體的偶數(shù)，但具有一般性。

以上的討論實際上經(jīng)歷這樣的過程：舉出具體的例子去試一試→發(fā)現(xiàn)規(guī)律→提出猜想→證實猜想→確認(rèn)結(jié)論。這是一個完整的思考問題的過程，進(jìn)入初中，我們經(jīng)常會經(jīng)歷這樣的過程。同學(xué)們可以自行嘗試按照這樣的過程思考一下：兩個奇數(shù)的和（或差）是奇數(shù)嗎？一個偶數(shù)與一個奇數(shù)的呢？

最后一個問題。母親節(jié)，小紅買了一束花，打算送給媽媽。這束花有2支百合、2支玫瑰、4支康乃馨。小紅共付了45元，但她看百合是5元1支，然后對售貨員說：“你的賬算錯了。”小紅說的對嗎？

我們可以像剛才分析問題的思路一樣，引入字母。1支玫瑰a元，2支玫瑰就是2a元，顯然2a是偶數(shù)。1支康乃馨b元，4支康乃馨是4b元，因為4b=2×2b，所以4b也是偶數(shù)。而2支百合為10元，所以這束花需要（10+2a+4b）元。我們知道，任意兩個偶數(shù)的和仍是偶數(shù)，所以10+2a+4b是偶數(shù)，這與“她共付了45元”矛盾，所以小紅說的對。

其實，這個問題還可以這樣理解：1支玫瑰a元，1支康乃馨b元，按照題意，我們得到等式：2×5+2a+4b=45，即10+2a+4b=45。這個等式成立嗎？一位同學(xué)這樣想：如果a=1，則b=[334];如果a=2，則b=[314];如果a=3，則b=[294];如果a=4，則b=[274]……一直算下去，結(jié)果發(fā)現(xiàn)b的值都不是整數(shù)，所有情形都不符合實際情況，所以小紅說的對。

回顧以上兩種思路，我們發(fā)現(xiàn)，第一種方法是引入字母，用一些式子表示花的價格并進(jìn)行分析與判斷;第二種方法也是引入字母，不僅用一些式子表示花的價格及總價，還列出了一個包含字母a、b的等式，列舉了所有可能的結(jié)果。這兩種方法中，字母、含字母的式子以及等式都是數(shù)學(xué)的語言（當(dāng)然，文字及圖表也是）。因此，學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言描述與表達(dá)現(xiàn)實問題，就可以把現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后用數(shù)學(xué)的知識加以解決。在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，我們可以逐漸體會到數(shù)學(xué)語言構(gòu)建了數(shù)學(xué)通往現(xiàn)實世界的橋梁。

同學(xué)們，通過剛剛對偶數(shù)相關(guān)問題的討論，有沒有意識到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義？即用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界。希望通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，我們的眼光、思維與表達(dá)都能充滿數(shù)學(xué)味兒。

（作者單位：江蘇省南京市江寧區(qū)教學(xué)研究室）