注重訓(xùn)練技巧 培養(yǎng)運(yùn)算能力

姚倬

[摘? 要] 執(zhí)教過程中，研究者發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生存在解題思路正確，卻在計(jì)算上丟分的現(xiàn)象. 為了改善這種情況，部分教師要求學(xué)生進(jìn)行大量的計(jì)算訓(xùn)練，以期有所突破. 殊不知，這種方式只會增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)，收效甚微. 文章從“確定方向，明確運(yùn)算目標(biāo)”“掌握法則，發(fā)展運(yùn)算思維”“形成程序，提升思維品質(zhì)”三方面展開闡述，談幾點(diǎn)看法.

[關(guān)鍵詞] 運(yùn)算;法則;程序

運(yùn)算是思維的載體，對思維能力的發(fā)展具有直接影響，而運(yùn)算能力能直接反映出一個學(xué)生的綜合素養(yǎng). 所謂的運(yùn)算是指在數(shù)學(xué)運(yùn)算律的指導(dǎo)下，對具體的數(shù)或式子進(jìn)行變形演繹的過程. 運(yùn)算能力包括對運(yùn)算對象的理解、運(yùn)算方向的探究、方法的選擇以及程序的設(shè)計(jì)等，準(zhǔn)確性、合理性、靈活性與簡潔性是它的主要特征.

確定方向，明確運(yùn)算目標(biāo)

運(yùn)算本身并不能代表運(yùn)算能力，培養(yǎng)運(yùn)算能力，先要深刻理解運(yùn)算對象，根據(jù)運(yùn)算目標(biāo)設(shè)計(jì)明確的運(yùn)算路徑. 這要求學(xué)生在運(yùn)算前，先要讀題、審題，確定運(yùn)算對象，從對它的理解著手進(jìn)行運(yùn)算，同時還要深度挖掘問題中存在的隱含信息，樹立良好的目標(biāo)意識.

例1 已知拋物線C：y2=4x與點(diǎn)M（-1，1），一條直線與拋物線C相交于點(diǎn)A，B，該直線的斜率為k，且過拋物線的焦點(diǎn). 如果∠AMB=90°，那么k的值是多少？

分析：想要解決本題，先要理解運(yùn)算對象，確定本題的主導(dǎo)條件. 本題的運(yùn)算對象為拋物線的焦點(diǎn)弦AB的端點(diǎn)坐標(biāo)，主導(dǎo)條件為∠AMB=90°. 根據(jù)這兩點(diǎn)來啟動運(yùn)算思維，將一些輔助性的條件添入本題的解題思路中.

以上是從向量的角度、以∠AMB=90°為依據(jù)進(jìn)行解答的過程. 雖設(shè)了點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，卻沒有分別求出來，而是運(yùn)用了數(shù)學(xué)整體代換思想，完成了“設(shè)而不求”的目的. 這種方法有效地減少了運(yùn)算量，避免因過于繁雜的運(yùn)算而導(dǎo)致失誤的產(chǎn)生，這也充分展示了數(shù)學(xué)整體代換思想在解題中的靈活應(yīng)用.

拋物線的概念與性質(zhì)在高考試題中?？汲Ｐ拢覀儜?yīng)從根本上掌握其本質(zhì)與內(nèi)涵，尤其要注意以下結(jié)論的應(yīng)用：

因?yàn)榻Y(jié)論①展示了拋物線與圓的關(guān)系，所以可從“∠AMB=90°”的隱性角度來優(yōu)化解答過程：

培養(yǎng)運(yùn)算能力，先要明晰運(yùn)算對象，包括對問題條件的把握與理解，只有看清、看準(zhǔn)運(yùn)算對象，才能目標(biāo)明確地進(jìn)行運(yùn)算. 同時，運(yùn)算也要講究技巧，死算肯定解決不了問題，如以上假設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以通過整體代換法減輕運(yùn)算量，提高運(yùn)算準(zhǔn)確度.

掌握法則，發(fā)展運(yùn)算思維

高中數(shù)學(xué)運(yùn)算相對復(fù)雜，但都有一定的規(guī)律與法則作為支撐，如向量、函數(shù)、幾何的運(yùn)算等，都有相應(yīng)的公式、定理等，這體現(xiàn)出了各個運(yùn)算對象之間具有與眾不同的思維方式與規(guī)律，這里面常蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法.

如運(yùn)動與變化是探究幾何問題的基礎(chǔ)，用代數(shù)法解決幾何問題在解析幾何中常見. 若想讓學(xué)生從根本上掌握解析幾何的運(yùn)算法則，就需要學(xué)生特別注重解析幾何中的一些公式和定理的形成與發(fā)展過程，同時還要理解其中包含的一些重要的數(shù)學(xué)思想方法，如此才能從真正意義上實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維與運(yùn)算能力的提高，為學(xué)生核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展奠定基礎(chǔ).

（1）直線AB的斜率是多少？

（2）若點(diǎn)M為曲線C上的一點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)M處的切線恰巧與AB平行，同時AM⊥BM，則直線AB的方程是什么？

分析：第（1）問意在考查學(xué)生對圓錐曲線上兩點(diǎn)連線斜率的掌握程度，可常用點(diǎn)差法解決此類問題，此問也為接下來的第（2）問做好鋪墊. 第（2）問意在考查學(xué)生對直線與拋物線交點(diǎn)的理解，同時考查學(xué)生在函數(shù)圖像上的定點(diǎn)處求切線方程的運(yùn)算，常用導(dǎo)數(shù)法或判別式法解決此類問題.

此解答過程看似沒毛病，卻存在計(jì)算量大、易出錯的弊端. 本題若從隱性條件“AM⊥BM”著手進(jìn)行分析與思考，則能簡化計(jì)算過程，讓解答變得輕松，提高解答的正確率. 具體過程如下：

以上兩種解答思路相比，明顯第二種思路簡單，不容易在計(jì)算上產(chǎn)生失分現(xiàn)象. 其實(shí)，不同的知識存在不同的運(yùn)算法則與規(guī)律，而相同的問題也可能存在不一樣的運(yùn)算方法. 因此，我們應(yīng)有一雙善于洞察的慧眼，能透過問題的表象看到實(shí)質(zhì)，擇優(yōu)選擇運(yùn)算方式，提高解題的正確率.

形成程序，提升思維品質(zhì)

觀察、分析、思考與解決問題均離不開思維的支持，高中數(shù)學(xué)不同的知識點(diǎn)常有不一樣的運(yùn)算程序，如解決解析幾何問題，常用的“三部曲”就是探究、探索與選擇解析化的過程;而用向量法解決平面幾何問題所涉及的“三部曲”，則是探究、探索與選擇向量化的過程.

這里提到的“三部曲”就是解決不同問題的運(yùn)算程序，良好的數(shù)學(xué)思想方法、合理的運(yùn)算思維，是運(yùn)算程序形成的基礎(chǔ). 學(xué)生一旦形成了良好的運(yùn)算程序，就能深刻地理解運(yùn)算的內(nèi)涵，為數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提升奠定基礎(chǔ). 常實(shí)踐、勤思考，是形成舉一反三能力的基礎(chǔ)，也是考試制勝的法寶，更是落實(shí)核心素養(yǎng)的必經(jīng)之路.

例3 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線方程為y=x2-6x+1，它與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)均位于圓C上.

（1）圓C的方程是什么？

（2）如果直線x-y+a=0與圓C相交于點(diǎn)A，B，已知OA⊥OB，求a的值.

分析：第（1）問，根據(jù)不共線的三點(diǎn)可作一個三角形，根據(jù)三角形具有唯一的外接圓可獲得圓C的方程. 從此解答過程可清晰地感知到數(shù)形結(jié)合思想在解題中的重要性，同時涉及一定的運(yùn)算程序?qū)忸}的幫助，讓解題少走彎路，做到既快又準(zhǔn). 第（2）問，根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從聯(lián)立、化簡、判別式與韋達(dá)定理這樣的程序出發(fā)，結(jié)合平面幾何相關(guān)內(nèi)容，可有效地簡化計(jì)算，提高解題效率.

此題結(jié)合了函數(shù)方程、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、待定系數(shù)法、消元法以及換元法等多種數(shù)學(xué)思想方法，同時還涉及根與系數(shù)的關(guān)系、坐標(biāo)法以及判別式等，彰顯了運(yùn)算程序?qū)鉀Q數(shù)學(xué)綜合問題的重要性，學(xué)生的思維品質(zhì)隨著各項(xiàng)能力的形成與發(fā)展得以提升.

總之，從不同的切入點(diǎn)去分析問題，會出現(xiàn)運(yùn)算方式的差異. 解析幾何不僅考查學(xué)生精準(zhǔn)、快速的計(jì)算技能，更重要的是考查學(xué)生對運(yùn)算背后算理的把握程度. 教師應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生非智力因素方面的訓(xùn)練，如對問題的探索精神、學(xué)習(xí)的自信心、情感傾向等方面的培養(yǎng)，尤其是運(yùn)算能力的訓(xùn)練，對激發(fā)學(xué)生的探究欲、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)以及落實(shí)學(xué)生的核心素養(yǎng)，都有深遠(yuǎn)的影響.