關(guān)注思維發(fā)展梯度?搖 促進學(xué)習(xí)能力提升

[摘? 要] 學(xué)生的認(rèn)知水平和思維發(fā)展水平都是由低到高、由簡單到復(fù)雜，循序漸進梯度發(fā)展的. 因此，教學(xué)中不能好高騖遠(yuǎn)，急于求成. 文章以“函數(shù)概念”教學(xué)為例，引導(dǎo)學(xué)生通過對最近發(fā)展區(qū)問題的探究，實現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善和學(xué)習(xí)能力的提升.

[關(guān)鍵詞] 思維發(fā)展;梯度;完善

眾所周知，學(xué)生現(xiàn)有知識水平往往是下一個階段即將要到達的認(rèn)知水平發(fā)展的基礎(chǔ)，學(xué)生現(xiàn)有知識水平與潛在的發(fā)展水平會存在著一定的差異，這個差異往往就需要學(xué)生站在“已有認(rèn)知”水平上“跳一跳”才能到達，然因?qū)W生“已有認(rèn)知”水平不同，加上“跳一跳”的高度不同，因此學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平也會存在一定的差異. 教學(xué)中要客觀地認(rèn)識潛在的發(fā)展水平，科學(xué)地引導(dǎo)學(xué)生“跳一跳”，進而使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和思維發(fā)展水平得以逐漸完善和發(fā)展.

為了探究最近發(fā)展區(qū)的價值，筆者以“函數(shù)概念”教學(xué)為例，通過探究最近發(fā)展區(qū)在教學(xué)中的具體作用，逐漸培養(yǎng)和完善學(xué)生的已有認(rèn)知，促進學(xué)生學(xué)習(xí)能力不斷提升.

學(xué)情分析

對于函數(shù)學(xué)生并不陌生，在初中階段學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)并掌握了一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，重點掌握了變量之間的變化規(guī)律. 雖然初中與高中定義函數(shù)的角度不同，然初中對函數(shù)的定義和數(shù)形結(jié)合思想為學(xué)生在高中理解函數(shù)定義中的一一對應(yīng)的關(guān)系奠定了基礎(chǔ). 之所以分為兩個階段進行定義，依據(jù)的就是學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)：初中階段，學(xué)生的邏輯思維能力較弱，對于抽象概念的理解還處于初期的經(jīng)驗型;高中階段，學(xué)生的認(rèn)知水平、概括能力、思維能力都有大幅度提升，更能掌握抽象概念的本質(zhì). 可見，教材的編排設(shè)計遵循著最近發(fā)展區(qū)理論. 值得注意的是，剛步入高中，受初中學(xué)習(xí)模式和思維方式的影響，學(xué)生思考問題時依然習(xí)慣從具體運算或具體問題出發(fā). 比如，學(xué)生看待函數(shù)時還是會從函數(shù)的特點出發(fā)，將其看成具體的函數(shù)，而沒有將其看成一般函數(shù)y=f（x）. 同時，大部分學(xué)生不習(xí)慣用抽象的數(shù)學(xué)符號來理解問題，因此他們常將抽象字母賦予特殊值，將問題向特殊轉(zhuǎn)化，在特殊中推測出一般規(guī)律.

鑒于學(xué)生的認(rèn)知水平和思維特點，教師在概念教學(xué)中可以創(chuàng)設(shè)一些問題或制造一些認(rèn)知沖突，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)很多問題不能用特殊化的方法來解決，也不能用初中對函數(shù)的定義進行解釋，以此引導(dǎo)學(xué)生“跳一跳”，重新解讀函數(shù)的概念.

確定目標(biāo)

通過舊知回顧喚醒原有認(rèn)知，借助認(rèn)知沖突引發(fā)學(xué)生對新概念探究的熱情，引導(dǎo)學(xué)生在互動交流中不斷完善認(rèn)知，通過解決最近發(fā)展區(qū)問題發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 同時，教學(xué)中從概念產(chǎn)生的背景出發(fā)，讓學(xué)生體驗概念形成的過程，進而學(xué)會用抽象的語言或符號進行歸納和總結(jié)，讓學(xué)生在不斷探究和完善的過程中感受數(shù)學(xué)的抽象美.

教學(xué)過程

1. 舊知回顧

師：請同學(xué)們回憶一下，初中階段我們學(xué)習(xí)了哪幾個函數(shù)？是如何定義函數(shù)的？

函數(shù)的相關(guān)知識是初中學(xué)習(xí)的重點內(nèi)容，學(xué)生印象深刻，問題回答毫不費力. 教師以舊知為引線，喚醒學(xué)生的已有認(rèn)知，掌握學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)識水平以便確定下一個發(fā)展目標(biāo).

師：大家都說得很好，初中的基礎(chǔ)都很扎實. 大家分析一下表1中的幾個變化過程是不是函數(shù).

學(xué)生根據(jù)函數(shù)定義首先判斷變化過程中的變量個數(shù)，尋找變量在變化時，y與x的對應(yīng)關(guān)系. 表1中的變化過程學(xué)生并不陌生，此階段教師讓學(xué)生先獨立思考，然后進行組內(nèi)交流，最終得出前面3個是函數(shù)，后面2個不是函數(shù).

教師通過預(yù)設(shè)以上問題不僅讓學(xué)生回顧了舊知，也為接下來創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突做好了鋪墊，以便學(xué)生在現(xiàn)有認(rèn)知上可以“跳一跳”，深入了解函數(shù)的概念.

2. 引發(fā)沖突

師：本節(jié)課要學(xué)習(xí)的重點內(nèi)容是函數(shù)的概念. （很多學(xué)生投來了疑惑的眼神）

師：確實，初中已經(jīng)學(xué)過，也能熟練應(yīng)用，為什么高中還要學(xué)呢？（教師以設(shè)問的方式激發(fā)學(xué)生想一探究竟的熱情）

師：現(xiàn)在大家分析一下下面幾個式子，看看他們是不是函數(shù).

（1）y=2;

（2）y=2x+3，x∈{1，2，4，8，16}.

從學(xué)生現(xiàn)有發(fā)展水平來看，學(xué)生對函數(shù)的理解為“變量x按照一定的規(guī)律變化而得到變量y”，學(xué)生認(rèn)為y=x，，y=ax2+bx+c這樣的，y隨x變化而變化的才是函數(shù). 對于以上式子用已有認(rèn)知中的“變量說”來判斷它們顯然不是函數(shù)，那么新概念中的函數(shù)是否有變化呢？是否可以將以上式子歸結(jié)為函數(shù)呢？這樣通過創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突和心理沖突，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，進而沖破已有認(rèn)知的束縛，從一個新的角度重新認(rèn)識函數(shù)，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)完成新知的建構(gòu).

3. 形成新知

在初中學(xué)習(xí)函數(shù)概念時，單純從變化的觀點去描述，強調(diào)的是變量和變域，并未揭示函數(shù)的實質(zhì)，因此，高中階段需變“特殊”為“一般”，從新的角度出發(fā)，準(zhǔn)確地刻畫函數(shù)的實質(zhì).

師：請大家從集合的角度去思考表1中的①、②、③，看看它們有什么共同的特征. （從集合的角度去思考會使部分學(xué)生產(chǎn)生一定的困擾，因此教師讓學(xué)生進行合作探究，通過合作交流、集思廣益從新角度重新出發(fā)）

生1：此過程中形成了兩個非空數(shù)集A，B.

師：很好，還有什么其他發(fā)現(xiàn)？

生2：集合A中的每一個元素x，在集合B中都可以找到唯一對應(yīng)的元素y.

師：若將變化過程看成對應(yīng)法則f，請大家從集合的角度重新定義一下函數(shù). （因概念較為抽象，需要在教師的引導(dǎo)下，通過積極討論，抽象概括出新概念）

生3：一般地，設(shè)集合A，B為非空集合，若集合A中的每一個元素x，按照某種對應(yīng)法則f進行變化，在集合B中都有唯一的元素y與之對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做從A到B的一個函數(shù).

師：總結(jié)得非常好. 那么這種對應(yīng)關(guān)系記為y=f（x），x∈A，所有輸入的值x組成的集合叫做y=f（x）的定義域;所有輸出的值y組成的集合C（C？奐B）叫做函數(shù)y=f（x）的值域. （教師進行及時補充）

在生3的基礎(chǔ)上教師及時進行了補充，從而使概念更加完整. 此過程雖然有教師的引導(dǎo)，然教師提出問題及后期學(xué)生的探究活動都是在學(xué)生現(xiàn)有發(fā)現(xiàn)水平上推進的，因此新知的探究顯得自然流暢，學(xué)生參與的積極性較高，很快由“變量說”轉(zhuǎn)化為“集合說”，使學(xué)生對函數(shù)的認(rèn)知更加全面、具體.

4. 深化理解

雖然學(xué)生全程參與了新概念概括和抽象過程，然教師若對概念的關(guān)鍵要素不進行提取，學(xué)生對概念的理解可能依然無法深入.

師：請根據(jù)函數(shù)的定義思考一下，構(gòu)成函數(shù)需要哪幾個必備的條件呢？（教師用PPT展示概念，讓學(xué)生更加清晰完整地重新認(rèn)識概念）

生4：兩個集合必須“非空”.

生5：還有兩個關(guān)鍵詞——“每一個”“唯一”.

學(xué)生對“每一個”和“唯一”的理解是形成概念的基礎(chǔ)，教師在此環(huán)節(jié)應(yīng)仔細(xì)講解，進而讓學(xué)生深入理解“定義域”和“值域”.

師：現(xiàn)在大家再來判斷之前給出的y=2和y=2x+3是不是函數(shù).

應(yīng)用新概念，學(xué)生可以輕松地判斷出兩個式子都是函數(shù)，可見，新知已經(jīng)得到了內(nèi)化. 為了探究函數(shù)的核心，教師又做了如下引導(dǎo)：

師：根據(jù)新概念，函數(shù)由哪幾部分構(gòu)成？

在問題的引導(dǎo)下，學(xué)生根據(jù)概念總結(jié)出了構(gòu)成函數(shù)的三要素. 為了讓學(xué)生深入理解函數(shù)的三要素，教師可以設(shè)計一些具體實例，如將函數(shù)y=30x（x≥0）和y=x2（x∈R）相對比，讓學(xué)生體會對應(yīng)法則;讓學(xué)生思考f（x）=x與g（x）=（）2是否為同一函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生知曉定義域的價值，對于值域主要取決于定義域和對應(yīng)法則，故兩者相同其值域必然相同;為了消除字母的干擾，可引導(dǎo)學(xué)生分析f（x）=x與g（t）=是否為同一函數(shù)，顯然兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同，故可直接判斷其為同一函數(shù)，由此讓學(xué)生跳出函數(shù)變量為x，y的固定思維模式的束縛，以便更加全面地理解函數(shù)概念.

5. 練習(xí)及反思

練習(xí)是鞏固、檢測知識的必經(jīng)之路，教師可設(shè)計一些分層練習(xí)，同時在練習(xí)時預(yù)設(shè)一些“陷阱”，進而幫助學(xué)生進一步完成知識的內(nèi)化. 同時，學(xué)習(xí)中要關(guān)注反思，例如函數(shù)概念教學(xué)中，讓學(xué)生進行初中、高中函數(shù)概念的對比反思，總結(jié)和歸納出兩者的區(qū)別與聯(lián)系;讓學(xué)生反思函數(shù)概念的三要素，理清三要素的關(guān)系，進而使學(xué)生可以更加深入地理解函數(shù)概念，便于完成最近發(fā)展區(qū)知識體系的建構(gòu).

總之，教學(xué)中不要急于求成，要堅持以學(xué)生為主體，從學(xué)生的現(xiàn)有認(rèn)知水平出發(fā)，通過“沖突”“抽象”“反思”等思維活動，引導(dǎo)學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)“跳一跳”，進而不斷提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

作者簡介：李泳霖（1983—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.