追求概念教學的自然高效

[摘? 要] 概念表達了同類事物之間共同、關(guān)鍵的屬性，明確概念教學的價值與意義是數(shù)學教學的根本. 文章以“平面向量的概念與表示”一課教學為例，從七條概念教學基本準則出發(fā)，進行課前教學分析，通過對向量概念的抽象、探究與辨析三個方面進行剖析，具體談?wù)劯拍罱虒W的實施方法與思考.

[關(guān)鍵詞] 概念;探究;辨析

數(shù)學概念作為數(shù)學學科的基礎(chǔ)，是教學的核心，它的教學成效對學生的數(shù)學學習有著直接影響. 《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》對數(shù)學概念與核心素養(yǎng)的關(guān)系有了明確的闡述，但仍有部分教師難以掌握新課標所提出的要求，常常誤解教材的實際意圖，忽視概念教學過程中學生思維的啟發(fā)與引導，導致學生無法透徹理解概念的內(nèi)涵與外延，使得教學活動無法進入深層次，只能漂浮于知識表淺層面.

為了有效地啟發(fā)學生的數(shù)學思維，讓學生自主突破概念的本質(zhì)，提高教學效益. 本文以“平面向量的概念與表示”教學為例，借助課堂教學活動的開展，引領(lǐng)學生充分認識與向量相關(guān)的概念，深入概念內(nèi)在邏輯系統(tǒng)與意義領(lǐng)域，讓學生充分感知平面向量概念的內(nèi)涵與外延，從真正意義上實現(xiàn)概念教學促進學生有效發(fā)展的價值，為促進學生形成良好的數(shù)學核心素養(yǎng)夯實基礎(chǔ).

課前教學分析

長期以來，受綜合因素的影響，不少教師存在“重解題，輕概念”的教學偏見. 殊不知，概念是形成數(shù)學抽象能力的基礎(chǔ)，是促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)形成與發(fā)展的根本. “平面向量的概念與表示”對于高中生而言，并不難理解，但要在思維上水到渠成地掌握其本質(zhì)，尚需一番研究.

結(jié)合美國匹茲堡大學關(guān)于數(shù)學課堂高思維水平保持方法的研究與學生的實際情況，本節(jié)課從以下七條概念教學基本準則進行了思維啟發(fā)，以促進概念的自然形成：第一條，為推理和數(shù)學思維鋪設(shè)臺階;第二條，提供元認知方法，促進學生的理解;第三條，高水平的操作示范;第四條，對解釋、證明、意義進行著重強調(diào);第五條，將任務(wù)建立在學生原有認知水平基礎(chǔ)之上;第六條，建立相關(guān)概念間的聯(lián)系;第七條，讓學生感知思維的發(fā)展對概念形成的幫助[1].

根據(jù)以上七條準則，筆者精心設(shè)計了相應的教學方案，現(xiàn)摘錄教學過程，談一些看法與思考，與同人共勉！

教學簡錄

1. 抽象概念

眾所周知，問題是數(shù)學的心臟，也是概念教學的起點. 在概念引入環(huán)節(jié)設(shè)置“問題串”，能有效地激發(fā)學生的思維，讓學生擁有明確的思考方向，為自然地抽象出概念做鋪墊.

問題1：利用PPT展示5只手掌與5個蘋果，引導學生感知數(shù)“5”（數(shù)學源于生活）.

問題2：利用圖文并茂的方式，展示著名的畢達哥拉斯學派的主要學說，提出：“是否能用數(shù)表達任意對象？”（萬物皆數(shù)）

問題3：利用圖像與文字結(jié)合的方式，展示成語“退避三舍”，提出：“是否可用一個數(shù)來表達‘只退三舍的命令？”（引用成語故事）

問題4：展示近期氣象臺所提供的天氣分析氣流圖，找出某城市所在位置上呈現(xiàn)出的刷子形狀，該形狀表示什么？

針對以上四個問題，學生認為問題2、問題3兩問無法直接用數(shù)來表達，問題4中的刷子形狀表示風向和風力.

師：問題4涉及的風向和風力所蘊含的實際意義，是否能用一個準確的數(shù)來表達？

生1：不能.

師：從以上幾個問題來看，并不是所有的對象都可以用數(shù)來表達，當我們遇到類似以上無法用數(shù)表達的對象時，該怎么辦呢？大家在物理學科中有沒有遇到過類似的概念？

生2：物理學科中的力、速度、位移、加速度等.

師：聯(lián)系數(shù)學學科與物理學科，我們發(fā)現(xiàn)這些無法用數(shù)直接表示的對象存在什么共同點？

生3：既存在方向又存在大小.

師：類似這樣的量，無法直接用數(shù)來表達，但從不同的對象中獲取相似信息時，可抽象出新的對象. 現(xiàn)在我們一起來探討既有方向又有大小的量，這種對象該用什么方式來表達更合理呢？（引出向量）

評析：以上四個問題的提出到向量概念的引入，共花費了4分鐘的時間，符合概念教學基本準則. 四個問題的設(shè)計，以學生所熟悉的生活為起點，引導學生自主抽象出數(shù)，再帶領(lǐng)學生從一般到特殊，感知并非所有的生活對象都能用數(shù)來表達. 這是為學生的思維鋪設(shè)臺階，讓學生在“問題串”的引導下，發(fā)現(xiàn)新的研究對象.

縱覽以上幾個問題，發(fā)現(xiàn)這些問題蘊含了豐富的內(nèi)容，有生活、數(shù)學文化等，逐層遞進的問題讓學生的思維拾級而上，學生通過問題的逐個分析，不僅對本節(jié)課所學內(nèi)容有了更加深刻的印象，還能對向量的概念進行高度概括與精準表達.

2. 探究概念

師：我國文化源遠流長，我們可以用文字來表達各種事物與現(xiàn)象，那么對于一些特殊的數(shù)學對象，可以用什么方法來表示呢？比如我們在方格紙上畫出A到B的向量，該怎么表達呢？

學生到黑板上作圖演示，以A為起點、B為終點，畫一段帶有箭頭的線段.

師生共同總結(jié)此圖即為向量的幾何表達方式. 此過程雖然清晰，容易理解，卻少了一些數(shù)學味. 因此，結(jié)合教材提示，學生提出用箭頭記號的方式來表示向量（如）或用字母a，b，c，…表示.

師：現(xiàn)在大家都明白向量是具有大小和方向的，究竟該如何用數(shù)學符號來表示向量的大小呢？之前我們遇到過類似的問題嗎？

生4：例如我們所熟悉的用絕對值表示兩點間的距離.

師：不錯！我們可以將絕對值符號用于“以A為起點、B為終點”的線段嗎？

學生思考，紛紛點頭表示可以，但使用絕對值符號來表示向量的大小與兩點間的距離具有怎樣的區(qū)別呢？

經(jīng)過探索，獲得結(jié)論：將向量的大小理解為向量的?；蜷L度，可記作;同樣，a的?？梢杂涀鱝.

問題5：向量之間是否可以比大小？怎么確定向量的模的取值范圍？

為了突破這個問題，學生對不同大小和方向的向量進行了觀察和研究，一致認為：向量之間無法比大小，向量的模的取值范圍是[0，+∞）.

問題6：從向量的模的取值范圍出發(fā)，零向量為長度為零的向量（記作0），單位向量是指長度為一個單位長度的向量. 那么，零向量與單位向量具備怎樣的方向特征？

經(jīng)討論，學生一致同意以A為起點的單位向量，其終點均在一個單位圓上;但對于零向量的方向，學生呈現(xiàn)出了不一樣的意見.

此時，教師帶領(lǐng)學生總結(jié)出起點與終點重合是零向量的特征，同時其方向并不固定，是任意方向.

師：現(xiàn)在我們都明確了向量既有大小又有方向，那么究竟該如何描述向量的方向呢？如向量，我們認為它的方向為從A指向B，除此之外，還有什么方法可以進行更加系統(tǒng)、完整的描述呢？比如說咱們將教室里的黑板視為地圖，上方為正北，該如何描述的方向？

生5：我們可以通過對向量和正北方向夾角的測量，獲得的方向，如北偏東37°.

師：很好！若借助平面直角坐標系，我們可以怎么描述向量的方向？

生6：將向量置于平面直角坐標系中，可確定其方向為向上四個單位，向右三個單位.

操作：要求幾位學生到黑板上作圖，大家一起討論相等向量、平行向量、相反向量的概念，并闡述各個向量所蘊含的實際意義，將討論結(jié)果填入表1.

評析：此過程為向量概念的探究過程，涉及概念教學七條準則中除了第四條外的所有準則. 教師通過對思維階梯的鋪設(shè)，學生獲得了元認知，使得學生自然而然地對向量的幾何表示法產(chǎn)生了形象的理解（用箭頭記號或字母表示向量）. 此操作過程由學生自主參與，建構(gòu)了向量的模的概念，并獲得了向量的模的主要特點，彰顯了數(shù)學教學“以生為本”的理念.

表1不僅總結(jié)了各類向量的描述方法，并讓學生對各類向量有了更為系統(tǒng)的認識. 當學生對向量的大小和方向有了明確的體悟后，教師再引導學生逐個總結(jié)各類向量的描述方法，讓學生在自身原有的認知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上對每種向量都產(chǎn)生了更深刻的認識.

3. 辨析概念

辨析1：判斷以下說法正確與否.

①溫度為向量;②0為向量;③零向量的長度為0，可以為任意方向;④a，b是否為相等的關(guān)系，與a，b的方向沒有任何關(guān)系.

辨析2：判斷以下說法正確與否.

①如果兩個向量的模是相等的，那么這兩個向量必然也相等;②模相等的兩個平行向量必然是相等向量;③如果a=b，b=c，那么a=c;④任何向量與它的相反向量都不相等.

辨析3：判斷以下說法正確與否.

辨析4：判斷以下說法正確與否.

①模為0的向量為零向量;②向量之間不可以比大小;③若向量a，b為非共線的關(guān)系，那么a，b均為非零向量;④起點相同的兩個非零向量一定不平行.

4. 經(jīng)典例題

評析：概念辨析過程是理清知識脈絡(luò)的過程，學生通過對概念的辨析，不僅能強化對概念本質(zhì)的認識，還能為后繼靈活應用奠定基礎(chǔ). 在辨析概念中，教師將班級成員分為四組，學生可以選擇相應的題組進行回答. 不難發(fā)現(xiàn)，四組問題分別對應向量概念、相等向量、共線向量、零向量的理解過程.

經(jīng)典例題的應用，能讓學生對概念的內(nèi)涵與外延產(chǎn)生更加深刻的理解，為形成良好的解題技巧奠定基礎(chǔ). 此環(huán)節(jié)，教師讓學生自主作圖，鼓勵學生通過對向量的幾何表示，理解共線向量和相等向量，這里涉及概念教學七條準則中的第四條和第七條. 當學生的思維遇到障礙時，教師并不急于揭示正確答案，而是結(jié)合課堂教學重點，強調(diào)概念的內(nèi)涵，讓學生在充裕的時間和空間內(nèi)思考分析，引導學生自主獲得結(jié)論.

課堂分析與思考

結(jié)合七條概念教學基本準則，本節(jié)課在概念探究的環(huán)節(jié)中，存在6個促進高階思維形成的教學方法，其中，發(fā)現(xiàn)問題（概念引入）中存在4個，數(shù)學聯(lián)結(jié)（辨析）中存在2個. 多個高階思維水平的啟發(fā)，讓學生從最大程度上理解了向量的概念，自然而然地抽象出了概念的本質(zhì)，并在概念辨析環(huán)節(jié)讓課堂教學達到了高潮. 另一方面，每個探索環(huán)節(jié)，教師都給予了學生充足的時間和空間，提供了充分的獲得元認知的方法，讓學生在高水平的示范操作中，自主抽象、理解并內(nèi)化概念.

以上教學過程對七條概念教學基本準則把握得較為合理，從一定程度上保持并啟發(fā)了學生的數(shù)學思維，讓學生的思維水平上升到了一個較高的階段. 毋庸置疑，課堂教學效果也較為顯著，堪稱利用概念教學啟發(fā)學生思維的典范.

概念教學是數(shù)學教學的核心，是注重過程的教學，應避免平鋪直敘結(jié)論式教學帶來的枯燥、乏味. “問題串”是啟發(fā)學生思維的載體，教師在概念教學中，不要急于呈現(xiàn)出結(jié)論，應為學生搭建更多的平臺，給予學生更多的表達機會，通過梯度問題的設(shè)置，推動學生的探索欲，讓學生自主發(fā)現(xiàn)、分析并解決問題，讓數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系充分暴露在學生面前，升華學生對概念的理解[2].

概念教學基本準則的前四條，既彰顯了教師的示范水平，又展示了學生高階思維能力. 因此，在教學過程中，教師應盡可能地幫助學生建構(gòu)新知與舊知之間的聯(lián)系，鼓勵學生在自主分析和思考中抽象出相應的概念，亦可通過變式訓練等方式強化學生對概念的理解. 概念教學基本準則的后三條，雖然容易實現(xiàn)，卻容易被忽略.

總之，概念教學是高中數(shù)學教學的關(guān)鍵，是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的最佳途徑. 每位一線數(shù)學教師都應從思想上重視概念教學，從行動上著手概念教學的研究，為學生搭建更優(yōu)的學習平臺，讓每位學生都能在概念學習中獲得可持續(xù)性發(fā)展的學習能力.

參考文獻：

[1]? 邵光華，章建躍. 數(shù)學概念的分類、特征及其教學探討[J]. 課程·教材·教法，2009，29（07）：47-51.

[2]? 章建躍. 如何幫助學生建立完整的函數(shù)概念[J]. 數(shù)學通報，2020，59（09）：1-8.

作者簡介：冷永飛（1981—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學工作.