聯(lián)結(jié)“位”與“值” 滲透運(yùn)算一致性

馮春飛 陳紅霞

【摘? ?要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，數(shù)的運(yùn)算重點(diǎn)在于理解算理、掌握算法，數(shù)的認(rèn)識(shí)與數(shù)的運(yùn)算之間有密切的關(guān)聯(lián)，要讓學(xué)生體會(huì)數(shù)的運(yùn)算一致性。教學(xué)人教版教材三年級(jí)下冊(cè)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（筆算乘法）”時(shí)，教師在對(duì)整數(shù)乘法的整體分析和學(xué)情診斷的基礎(chǔ)上，通過(guò)聯(lián)結(jié)“位”與“值”，滲透運(yùn)算一致性。具體表現(xiàn)為：體會(huì)表征“多元化”到“統(tǒng)一性”的圖式聯(lián)結(jié)；經(jīng)歷筆算“個(gè)性化”到“規(guī)范化”的理法聯(lián)結(jié)；打通方法“多樣性”到“普適性”的策略聯(lián)結(jié)；感悟筆算“位表征”到“值表征”的程序聯(lián)結(jié)。

【關(guān)鍵詞】圖式聯(lián)結(jié)；理法聯(lián)結(jié)；策略聯(lián)結(jié)；程序聯(lián)結(jié)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，在教學(xué)數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的內(nèi)容時(shí)，要讓學(xué)生“初步體會(huì)數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號(hào)意識(shí)；感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性”。整數(shù)乘法運(yùn)算教學(xué)需體現(xiàn)運(yùn)算的一致性，即計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘（這兩個(gè)計(jì)數(shù)單位可以一樣，也可以不一樣），從而得到新的計(jì)數(shù)單位；計(jì)數(shù)單位上的數(shù)與計(jì)數(shù)單位上的數(shù)相乘，得到新的計(jì)數(shù)單位上的新的數(shù)。如何在整數(shù)運(yùn)算教學(xué)中滲透運(yùn)算一致性？本文以人教版教材三年級(jí)下冊(cè)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（筆算乘法）”為例展開(kāi)實(shí)踐與思考。

一、整數(shù)乘法教學(xué)內(nèi)容分析

整數(shù)乘法的筆算教學(xué)內(nèi)容包括“多位數(shù)乘一位數(shù)”“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”和“三位數(shù)乘兩位數(shù)”。前兩塊內(nèi)容側(cè)重筆算算理的探索，如“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的教學(xué)，學(xué)生需要經(jīng)歷將兩位數(shù)乘兩位數(shù)轉(zhuǎn)化為表內(nèi)乘法的學(xué)習(xí)活動(dòng)。而“三位數(shù)乘兩位數(shù)”則側(cè)重算理和算法的遷移，發(fā)揮其作為小學(xué)階段整數(shù)乘法的終結(jié)作用，從而實(shí)現(xiàn)筆算模型的建構(gòu)、固化和擴(kuò)展。筆算模型的建構(gòu)就是在這三塊內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步形成的。其中兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算，是理解算理和構(gòu)建算法的關(guān)鍵。教師需要幫助學(xué)生從形式走向內(nèi)涵，透過(guò)筆算的“位”理解蘊(yùn)含的“值”，為后續(xù)筆算模型建構(gòu)打好堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)（如圖1）。

二、學(xué)情診斷

為了解學(xué)生的起點(diǎn)，抓準(zhǔn)學(xué)生的難點(diǎn)，為教學(xué)提供依據(jù)，筆者對(duì)本區(qū)300名三年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)。前測(cè)內(nèi)容為“用喜歡的方法計(jì)算14×12并寫(xiě)出過(guò)程”。

（一）類歸方法，看“位值”聯(lián)結(jié)的起始點(diǎn)

根據(jù)前測(cè)統(tǒng)計(jì)，學(xué)生的計(jì)算方法呈多樣化，共有13種。其中6種方法較典型，共占前測(cè)學(xué)生數(shù)的92%。這6種方法分別為：①12拆成10和2的和再乘14，約占總?cè)藬?shù)的20.3%；②14拆成10和4的和再乘12，約占總?cè)藬?shù)的20.7%；③12拆成3乘4的積再乘14，約占總?cè)藬?shù)的9%；④12拆成2乘6的積再乘14，約占總?cè)藬?shù)的12.3%；⑤14拆成2乘7的積再乘12，約占總?cè)藬?shù)的14%；⑥嘗試筆算，約占總?cè)藬?shù)的15.7%。在學(xué)生心目中，這6種方法可以分成三類：一是把其中一個(gè)因數(shù)拆成10加幾，如方法①②，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)和兩位數(shù)乘一位數(shù)進(jìn)行計(jì)算；二是把其中一個(gè)因數(shù)拆成幾乘幾，如方法③④⑤，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多位數(shù)乘一位數(shù)進(jìn)行計(jì)算；三是嘗試筆算。前兩類方法是在“兩位數(shù)乘一位數(shù)”計(jì)算方法基礎(chǔ)上的自然生長(zhǎng)，而筆算實(shí)際上是第一類方法的豎式表征。在學(xué)生不理解豎式的算理時(shí)，會(huì)認(rèn)為豎式是不同的計(jì)算方法。因此教師教學(xué)時(shí)要從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)起點(diǎn)入手，幫助學(xué)生走向?qū)ωQ式的理解。

（二）以圖釋意，看“位值”聯(lián)結(jié)的關(guān)聯(lián)性

從三類方法的意義、算式和過(guò)程的關(guān)聯(lián)性統(tǒng)計(jì)情況來(lái)看，方法①～⑤是轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)方法加以解決，學(xué)生理解起來(lái)基本沒(méi)有困難。85%以上的學(xué)生可以用圖式對(duì)方法③④⑤的算理進(jìn)行表征；70%以上的學(xué)生可以用圖式對(duì)方法①②的算理進(jìn)行表征（如表1）。通過(guò)訪談圖式表征錯(cuò)誤的學(xué)生，發(fā)現(xiàn)他們大部分能夠理解算理，只是對(duì)用正確的圖式來(lái)表征算理感到困難。而學(xué)生對(duì)筆算算理的理解程度很低，盡管有40人嘗試筆算并能夠?qū)懗稣_的豎式，但其中有37人不能用圖式表示豎式意義，也說(shuō)不清楚每一步的意義。這說(shuō)明學(xué)生列豎式計(jì)算只是停留在程序性的模仿階段，尚未做到真正理解。

（三）個(gè)性記錄，看“位值”聯(lián)結(jié)的著力處

學(xué)生呈現(xiàn)的各式各樣的“原創(chuàng)式”筆算中，第一類可稱為“錯(cuò)例”，如圖2中的3個(gè)豎式，都表現(xiàn)出學(xué)生對(duì)位值思想的不理解，主要的困難在于第二步乘的過(guò)程，根源是對(duì)算理理解的缺失。圖3中兩個(gè)學(xué)生的筆算結(jié)果都正確，第一個(gè)豎式?jīng)]有完整記錄計(jì)算過(guò)程，第二個(gè)豎式記錄第二步乘得的結(jié)果是140個(gè)一。這兩類個(gè)性化的筆算占比很高，分別占使用筆算人數(shù)的38.3%和4.2%，說(shuō)明教學(xué)筆算第二步的意義時(shí)需重點(diǎn)著力，要幫助學(xué)生透過(guò)位值中“位”的表象，建立“值”的理解。由此可見(jiàn)，教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)該放在對(duì)第二步計(jì)算的意義理解和過(guò)程表征上。

綜上所述，本內(nèi)容的教學(xué)關(guān)鍵在對(duì)第二個(gè)因數(shù)十位上的數(shù)字與第一個(gè)因數(shù)相乘時(shí)的算理理解、算法表征和方法歸納上，而其核心在于第二層的計(jì)算不僅有計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘，還涉及不同計(jì)數(shù)單位相乘產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位，兩位數(shù)乘一位數(shù)的筆算經(jīng)驗(yàn)不足以支撐學(xué)生對(duì)這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的跨越。教師教學(xué)時(shí)應(yīng)從學(xué)生不同的學(xué)習(xí)起點(diǎn)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)創(chuàng)生出的算法多樣化和表征多元化出發(fā)，做好多個(gè)層面由淺入深的聯(lián)結(jié)教學(xué)，才能由表及里地把握“位值”原理，實(shí)現(xiàn)理法融通。

三、“位值”聯(lián)結(jié)的教學(xué)實(shí)踐

（一）說(shuō)理：體會(huì)表征“多元化”到“統(tǒng)一性”的圖式聯(lián)結(jié)

立足學(xué)生起點(diǎn)，學(xué)生真正的困難不是對(duì)筆算算理的理解，而是每一步計(jì)算過(guò)程及意義無(wú)法與豎式表征一一對(duì)應(yīng)，因此聯(lián)結(jié)“位值”的第一步就是建立豎式表征與圖式表征、橫式表征的聯(lián)結(jié)。

【教學(xué)片段1】

教師出示問(wèn)題情境：“每套冰墩墩有12個(gè)，買14套共有多少個(gè)冰墩墩？”讓學(xué)生列式并嘗試用自己的方法計(jì)算。教師組織教學(xué)反饋，出示如圖4的學(xué)生作品，并實(shí)施以下三步教學(xué)。1.理解方法。請(qǐng)學(xué)生分別介紹每一個(gè)作品的計(jì)算方法。2.建立聯(lián)系。請(qǐng)兩位學(xué)生和教師合作介紹，教師比畫(huà)②號(hào)作品中筆算過(guò)程的某一步，一個(gè)學(xué)生指著①號(hào)作品中的點(diǎn)子圖進(jìn)行解釋，另一個(gè)學(xué)生指出③號(hào)作品中橫式的某一步，說(shuō)出這一步的意思，教師板書(shū)每一步豎式的計(jì)算過(guò)程。3.總結(jié)方法。比較三個(gè)作品，雖然表達(dá)的方式不同，但是表示的意義相同，都是先算10個(gè)14是多少、2個(gè)14是多少，再把兩部分加起來(lái)。

學(xué)生通過(guò)聯(lián)結(jié)點(diǎn)子圖、橫式和豎式這三種表征方式，理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算算理。整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程先讓學(xué)生個(gè)別說(shuō)理，再師生聯(lián)動(dòng)式說(shuō)理，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)每種表征方式背后的內(nèi)涵，幫助學(xué)生厘清筆算豎式每一步的意義，建立點(diǎn)子圖、橫式、豎式之間內(nèi)在意義“一致性”的圖式聯(lián)結(jié)。

（二）優(yōu)化：經(jīng)歷筆算“個(gè)性化”到“規(guī)范化”的理法聯(lián)結(jié)

學(xué)生理解算理并不代表能夠準(zhǔn)確地用豎式計(jì)算，也不代表已掌握算法，因此需要幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)算理與算法的聯(lián)結(jié)。通常，學(xué)生個(gè)性化的豎式表征暴露了對(duì)筆算算法不同程度的理解偏差，用好學(xué)生的這些個(gè)性化資源，可以有效實(shí)現(xiàn)理法融通。

【教學(xué)片段2】

教師出示圖3的兩種個(gè)性化筆算，組織學(xué)生討論：“根據(jù)上一個(gè)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，你想給這兩名同學(xué)提什么建議？”學(xué)生通過(guò)展示作品，交流不同的豎式表征。教師讓學(xué)生先理解豎式的算理，再體驗(yàn)豎式記錄的必要性，最后反思之前的表征方式，形成從“沒(méi)有過(guò)程”到“兩乘一加”，從“寫(xiě)出0”到“省去0”的變化。

在教學(xué)反饋過(guò)程中，教師幫助學(xué)生進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知的自我修正，從而明確豎式需要體現(xiàn)計(jì)算的過(guò)程性，記錄的合理性、結(jié)構(gòu)性。表征從差異走向規(guī)范的過(guò)程也是學(xué)生對(duì)“位值”漸漸清晰的過(guò)程。

（三）類比：打通方法“多樣性”到“普適性”的策略聯(lián)結(jié)

學(xué)生經(jīng)歷前兩層的聯(lián)結(jié)后，教師以關(guān)聯(lián)和整體的視角，結(jié)合學(xué)生對(duì)算理理解的逐漸深入，來(lái)完成豎式的解構(gòu)和建構(gòu)，促進(jìn)算理與算法的融合，奠定了對(duì)“位”與“值”理解的基礎(chǔ)。接下來(lái)，教師需要組織學(xué)生站在審視方法的角度，從多樣的方法中理解筆算作為通法的“位值”原理。

【教學(xué)片段3】

教師出示圖5的兩種方法，并提出學(xué)習(xí)任務(wù)。1.邊圈邊說(shuō)?！斑@兩種方法能看懂嗎？”讓學(xué)生在點(diǎn)子圖上邊圈邊說(shuō)。2.比較異同?！斑@兩種方法有沒(méi)有相同的地方？有沒(méi)有不同的地方？”3.其他方法?！巴ㄟ^(guò)這兩種方法的學(xué)習(xí)，你還能想到其他的方法嗎？”4.方法分類?！敖o所有的方法分分類，說(shuō)說(shuō)為什么這樣分?！?.方法普適?！敖鉀Q13×11，你會(huì)用什么方法？為什么？”

教師從學(xué)生眾多的方法中選擇兩個(gè)均為拆 14 的方法作為學(xué)習(xí)材料，讓學(xué)生在“圈”和“說(shuō)”中明確算理，在“比”和“猜”中討論策略。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，雖然方法看上去各不相同，但思考的策略都是轉(zhuǎn)化問(wèn)題：一類利用乘法結(jié)合律轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘一位數(shù)；另一類先利用乘法分配律轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)分別乘整十?dāng)?shù)和一位數(shù)，再相加。在方法分類和比較的過(guò)程中，教師著重引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)時(shí)，計(jì)算的是（□□×□）個(gè)十，本質(zhì)還是轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘一位數(shù)，從而帶領(lǐng)學(xué)生從多樣化走向普適性。

（四）關(guān)聯(lián)：感悟筆算“位表征”到“值表征”的程序聯(lián)結(jié)

在經(jīng)歷了前三個(gè)層次的學(xué)習(xí)過(guò)程后，學(xué)生對(duì)算理算法和思考策略都有了一定的理解，此時(shí)教師讓學(xué)生試做31×11，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)不同的轉(zhuǎn)化策略有其適用性，筆算是解決兩位數(shù)乘兩位數(shù)的通法，同時(shí)在對(duì)比中將通法的“位值”可視化，助推學(xué)生真正走向?qū)Α拔恢怠钡纳疃壤斫?，把程序式的算法抽象成穩(wěn)固的模型，形成普適性的計(jì)算程序。

【教學(xué)片段4】

教師出示31×11后，讓學(xué)生自主試做。組織如下教學(xué)：1.用點(diǎn)子圖表示筆算。讓學(xué)生在點(diǎn)子圖上畫(huà)出筆算每一步的意思。2.反思方法?！霸趺创蠹叶加霉P算的方法？說(shuō)說(shuō)通過(guò)這道題你發(fā)現(xiàn)了什么?！?.建構(gòu)模型。讓學(xué)生看著筆算31×11的計(jì)算過(guò)程，對(duì)“為什么第二層計(jì)算31×1個(gè)十，最高位在百位上”展開(kāi)討論。

將位值原理和程序化規(guī)則以點(diǎn)子圖的方式可視化，能幫助學(xué)生聯(lián)通“位”與“值”，厘清本質(zhì)內(nèi)涵，促進(jìn)基于意義理解的程序建模。

數(shù)的運(yùn)算教學(xué)要以數(shù)的認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)，突出計(jì)數(shù)單位的意義，無(wú)論整數(shù)乘法，還是小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法，都具有一致性。教師需要整體設(shè)計(jì)，在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中解構(gòu)外在的形，建構(gòu)內(nèi)在的理，由表及里地實(shí)施聯(lián)結(jié)教學(xué)。

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