求解導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不可求問題的兩個(gè)“妙招”

黃興昌

導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不可求問題通常較為復(fù)雜，在解題時(shí)往往難以通過導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性，這給我們解題帶來了很大的困擾，此時(shí)就需要采用一些技巧，如多次求導(dǎo)、整體代換來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性，以順利解題，

一、多次求導(dǎo)

當(dāng)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不可求出時(shí)，可對導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行再次或多次求導(dǎo)，討論二階或二階以上函數(shù)的單調(diào)性，用后一階導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)去判斷前一階函數(shù)的增減性，逐步判斷出原函數(shù)的單調(diào)性，最終使問題得解，

對于本題，在分離參數(shù)后，新構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)不可求，于是進(jìn)行二次求導(dǎo)，從而判斷出函數(shù)的單調(diào)性，達(dá)到求出原函數(shù)的最值的目的．

二、整體代換

當(dāng)導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)，但無法求得具體值時(shí)，可根據(jù)題意設(shè)出函數(shù)的零點(diǎn)，再通過整體代換來判斷函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而確定函數(shù)的最值，求得問題的答案．

導(dǎo)數(shù)法是解答函數(shù)、不等式、方程問題的有力“武器”，而導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是用導(dǎo)數(shù)法解題的關(guān)鍵．雖然導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不可求問題的難度較大，但是我們只要仔細(xì)研究其導(dǎo)函數(shù)，對其進(jìn)行多次求導(dǎo)或進(jìn)行合理的整體代換，就能順利解答此類問題．

仔細(xì)分析題意可以知道，點(diǎn)M都隨著點(diǎn)B的變化而變化，因此需采用相關(guān)點(diǎn)法解題比較便捷，用M點(diǎn)的坐標(biāo)表示B點(diǎn)的坐標(biāo)，再將其代入題設(shè)中進(jìn)行運(yùn)算，化簡所得的結(jié)果，即可快速求得問題的答案．

由此可見，無論運(yùn)用哪種方法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，都要設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，建立關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)與已知曲線方程之間的關(guān)系式，再通過化簡，求得關(guān)于動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的方程，從而求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．雖然此類問題較為復(fù)雜，難度系數(shù)較大，但是只要明確題目中與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的已知條件，選擇與之相應(yīng)的方法進(jìn)行求解，問題就能迎刃而解．

（作者單位：南京航空航天大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)）