楊蘇麗
[摘 要]皮克公式是一個選學(xué)內(nèi)容,也是蘇教版教材的特設(shè)內(nèi)容,旨在讓學(xué)生通過計算釘子板上圍成的多邊形的面積來探究多邊形的面積與釘子數(shù)之間的關(guān)系,并借此探究多邊形的面積大小與圖形所占平面大小的直觀聯(lián)系。在正式學(xué)習(xí)多邊形面積公式之前學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容,可以加深學(xué)生對面積概念的理性認知。
[關(guān)鍵詞]釘子板;皮克公式;多邊形面積;誤差
[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068(2022)32-0021-03
在“板上釘釘圍多邊形”的一次觀摩課上,學(xué)生人手一塊釘子板,一位學(xué)生圍出了這樣的圖形(如圖1)。
圖形邊線穿過9枚釘子,圖形內(nèi)圍著12枚釘子,運用皮克公式可算得這個圖形的面積是9÷2+12-1=15.5。而用外包的矩形減去剩余的兩個三角形的面積之和,所得面積是8×6-(8×6÷2+8×2÷2)=16。用組合法算出的面積與用皮克公式算出的面積相差0.5,授課教師一時間也不知道該怎么解釋,只能含糊帶過。
可是,學(xué)生很快又發(fā)現(xiàn)了不尋常的結(jié)果:如圖2,套用皮克公式計算出的面積是5,而用數(shù)方格的方法算出的面積是4.5,兩者也相差0.5。對此,授課教師以凹多邊形不適用這個公式為由搪塞過去。不一會兒,又有學(xué)生提出異議:“老師,這個凹多邊形(如圖3)為什么不適用皮克公式?”授課教師再次以凹多邊形超出學(xué)習(xí)范圍為由,敷衍過去,并順手將這個學(xué)生繪制的凹多邊形改成了凸多邊形(如圖4)。
本節(jié)課結(jié)束前,授課教師出示一個多邊形 (如圖5),讓學(xué)生用皮克公式嘗試算出其面積,感受用皮克公式計算面積的便捷性。這時,一位學(xué)生小聲嘀咕:“數(shù)方格法也很方便?!毕抡n鈴聲響起后,聽課教師詢問學(xué)生還有什么問題,有位學(xué)生說道:“根據(jù)皮克公式,當a=1時,S=n÷2;當a=2時,S=n÷2+1 ;當a=3時,S=n÷2+2……為什么圖形內(nèi)的釘子每增加1枚,相應(yīng)的多邊形的面積就增加1個單位?”這個問題出乎聽課教師的意料,授課教師也一時錯愕,說不出個所以然。
課后,授課教師對計算圖1的圖形面積出現(xiàn)的0.5的面積差始終百思不得其解:“這個0.5到底是怎么造成的?”他與其他教師共同研究:有人說是可能哪里算漏了;有人提議改用數(shù)方格的方法來計算,卻發(fā)現(xiàn)方格很難湊整,得出的結(jié)果也只是一個近似值;有人覺得是釘子板不規(guī)范……眾說紛紜之時,筆者問了一句:“出示圖5的目的是什么?”授課教師迅速回答:“一是讓學(xué)生學(xué)會運用皮克公式,二是突顯皮克公式的便捷性。”當筆者告訴他學(xué)生認為用數(shù)方格的方法很方便時,他沉吟片刻后說:“數(shù)方格很方便,那用皮克公式豈不是多此一舉,自找麻煩?”筆者接著問:“圖形內(nèi)多1枚釘子,多邊形的面積就會多1個單位,這兩個‘1的意義相同嗎?”他果斷地表示否定,并表示前一個“1”表示1枚釘子,后一個‘1表示1個基本的面積單位?!薄澳乔昂蠖际嵌喑鲆粋€1,這怎么解釋?”筆者追問。授課教師被問得啞口無言。
一、尋找問題根源
“釘子板上的多邊形”是蘇教版教材新增的規(guī)律探索內(nèi)容,這些規(guī)律本就是客觀存在的,只是需要通過實驗去探究提煉。與一些人為制造的排列規(guī)律不同,它更能激起學(xué)生的探究興趣。因此,許多教師熱衷于選擇這一內(nèi)容作為研究課。筆者在一個學(xué)期內(nèi)聽了這一內(nèi)容的好幾次課,幾乎每次課都會出現(xiàn)一些生成性問題,這些問題不僅難倒了學(xué)生,還難倒了教師。教師被難倒,究其原因是教師對問題研究不透徹。因此,教書,教師必須鉆研教材,只有自己有一桶水,才能倒給學(xué)生一碗水。
只有找到知識本源,才能為學(xué)生徹底答疑解惑。通過研究相關(guān)文獻資料,不難知道“釘子板上的多邊形”這一知識來源于“格點圖上的多邊形”。弄清這一淵源,將釘子板圖轉(zhuǎn)化成點陣圖,用兩種方法求圖1中的三角形的面積存在0.5的差值的真相也就水落石出了:圖形內(nèi)的點跑出多邊形之外,處于邊線上的釘子數(shù)是9而非10。也就是說,之所以出現(xiàn)差0.5,是因為在釘子板上圍圖具有模糊性。
那么,教學(xué)中如何同時滿足“學(xué)科”與“科學(xué)”的需要,既做到生動有趣又做到嚴謹務(wù)實?有一種辦法就是對素材進行改造:一是新課伊始,在釘子板上圍出多邊形后,及時將釘子板圖轉(zhuǎn)換成點陣圖;二是在課堂即將結(jié)束,教師介紹皮克公式時,及時把點陣圖轉(zhuǎn)換成格點圖。 這樣一來,圖1帶來的麻煩就會迎刃而解。而針對圖2生成的問題“凹多邊形不適用這個公式”,果真如此嗎?說到底,這一問題依然屬于“是什么”的問題。根據(jù)皮克公式的表述——“設(shè)Y為一個簡單多邊形,其頂點全部落在格點上。若q為多邊形 Y內(nèi)包含的格點數(shù),p為多邊形Y各邊上的格點數(shù),則Y的面積 =q+[p2]-1”。不難發(fā)現(xiàn),皮克公式適用于簡單多邊形,不分凹凸。根據(jù)凹多邊形的定義“把一個各邊不自交的多邊形,任意一邊延長為直線,如果多邊形不是在這條直線的同一側(cè),則這個多邊形可以稱之為凹多邊形”中的“各邊不自交”來判斷,圖2不屬于凹多邊形,一般認為它是組合圖形。本課教學(xué)確實與凹多邊形不沾邊,所以素材應(yīng)該以凸多邊形為主體。但是,教師一旦放手讓學(xué)生自主探究,學(xué)生天馬行空的想象力迸發(fā),就會冒出很多奇思妙想,畫出凹多邊形完全在情理之中,畫出像圖2這樣的多邊形自然不足為奇。
對于在釘子板上圍出多邊形,然后計算多邊形的面積,學(xué)生一般會想到借用組合法或者割補法去計算,因為在學(xué)習(xí)三角形、平行四邊形等圖形的面積時,學(xué)生學(xué)會了用割補法將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形,而釘子數(shù)則具有計量邊長與高度的功能,一排釘子的數(shù)量就是所在邊的長度,當然,這個相鄰釘子之間的間距必須相等。可是根據(jù)皮克公式計算出的面積與運用幾何轉(zhuǎn)化法計算出的面積存在出入,這種強烈的認知沖突讓學(xué)生對皮克公式產(chǎn)生了懷疑。為了一探究竟,學(xué)生會產(chǎn)生強烈的探究動機,發(fā)現(xiàn)皮克公式中的點數(shù)和幾何法中的邊長其實是一回事,而問題出在釘子板圖的粗糙性:少圍了1枚釘子,這就會導(dǎo)致計算出現(xiàn)誤差。因此,將釘子板圖換成格點圖,就能夠?qū)缀畏ê推た斯酵昝澜y(tǒng)一。
二、追溯知識原理,搞清為什么
仍以上述案例為例,在學(xué)生質(zhì)疑“為什么圖形內(nèi)的釘子每增加1枚,相應(yīng)的多邊形面積就增加1個單位”,尋找問題根源,也就是搞清楚“為什么”時,教師或是沒有這個探索意識,或是壓根就不知道,又或是知道但是沒有把握講清楚而作罷。然而,既然學(xué)生已經(jīng)明確提出疑問,教師就要勇敢面對。實際上,任何知識都繞不開“是什么”“為什么”“有什么用”三大要旨。盡管這節(jié)課的教學(xué)任務(wù)只需要引導(dǎo)學(xué)生歸納出釘子板上的多邊形的規(guī)律,充分經(jīng)歷找的過程,而這個探索規(guī)律的過程,主要是在視覺上發(fā)現(xiàn)數(shù)字變化一致——“圖形內(nèi)的釘子每增加1枚,相應(yīng)的多邊形面積就增加1個單位”,至于是因為什么,學(xué)生還無法一探究竟。那么,受限于學(xué)生的學(xué)習(xí)能力,在無法清晰揭示的情況下,學(xué)生質(zhì)疑時,教師該如何應(yīng)對?筆者以為,教師可以在適當?shù)臅r候點撥學(xué)生:一方面,通過多媒體動圖演示(如圖6),進行適當?shù)臐B透,直觀展示圖形內(nèi)釘子數(shù)多1之后,多邊形多出的1個面積單位在哪里,從而弄清事情的原委,消除心頭疑慮;另一方面,教師正好通過這一細節(jié),潛移默化地引領(lǐng)學(xué)生由“a=1”向“a =2、a =3”等情況過渡。
通過對比研究,發(fā)現(xiàn)問題的癥結(jié)在于為什么圖形內(nèi)點數(shù)(釘子數(shù))加1,多邊形就會多1個面積單位,兩者都是多1,但是意義不一樣。為什么會這樣呢?想從理論上證明這個問題十分困難,畫圖直觀展示才是解決之道。然而,學(xué)生沒有經(jīng)驗可依,意欲圖解,必須從最基礎(chǔ)的圖例入手,一步步發(fā)現(xiàn)規(guī)律,然后推廣到一般情況,這是一個合情推理的過程。通過圖示可以發(fā)現(xiàn),從a=1到a=2(如圖6),內(nèi)部增加了一個點,從幾何學(xué)上講,向下擴增了一個三角形(陰影部分),這個新增的三角形的底和原來的一樣,高恰好為1格,于是新增面積為2×1÷2=1,即新增一個高度為1的三角形;從皮克公式角度出發(fā),內(nèi)部增加一個點,邊緣“吐出”一個點,同時“吞并”一個點,兩相抵消,邊線上的點數(shù)并未改變,于是根據(jù)皮克公式:新圖形的面積 =(q+1)+[p2]-1=q+ [p2] ,比原圖形的面積q+[p2]-1多1。
三、找到知識之用,搞清有何用
上述案例中,授課教師讓學(xué)生用皮克公式計算圖形面積后總結(jié),初衷是體現(xiàn)這一公式的優(yōu)越性。在與學(xué)生交流后,筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生有了新的困惑:以前學(xué)過一些常用的面積公式,也掌握了割補法、數(shù)格法,那皮克公式還有何用?能比數(shù)方格法管用嗎?確實,雖然本課的目標是探究規(guī)律本身,讓學(xué)生了解到有這個規(guī)律存在,但是一旦找到規(guī)律,運用規(guī)律就會擺到眼前,即皮克公式有什么用。上述案例中,授課教師想到了,但是沒有講透,學(xué)生反駁說“數(shù)方格法也很方便”,就說明授課教師所選的例子帶有誤導(dǎo)性,不夠典型。教師應(yīng)該出示一個用公式和數(shù)方格都很難推算面積的格點多邊形(如圖7),讓學(xué)生切身體會到皮克公式真的很管用。
其實,皮克公式與數(shù)方格法和幾何公式法之間有著緊密聯(lián)系:如果將格點間距縮小,直到相鄰點的間距變得無窮小,也就是“微分”,皮克公式就變成了一般的面積公式。在眾多展示課中,往往出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象:學(xué)生只關(guān)注邊上的釘子數(shù),不顧圖形內(nèi)的釘子數(shù)。其實,這種現(xiàn)象符合學(xué)生的思維邏輯,因為學(xué)生掌握運用的一般面積公式都是運用邊長推算的。例如,長方形的面積=長×寬,平行四邊形的面積=底×高。對此,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回歸本源:把多邊形涂色,直觀地展示面積大小就是格子數(shù)的多少,而格子數(shù)的多少與圖形內(nèi)的釘子數(shù)有關(guān)。
為什么要學(xué)皮克公式?圖7就很好解釋了這個問題。在點陣圖中,如果一些幾何圖形的擺放位置是歪斜的,那么其邊長或者高的長度等就不容易推測出來。但是,此時其內(nèi)部包含的點數(shù)和邊經(jīng)過的點數(shù)依然可以清晰地數(shù)出來,仍然可以運用皮克公式算出其面積。另外,教材中運用割補法驗證多邊形(如平行四邊形面積公式推導(dǎo)時)面積轉(zhuǎn)化是否正確時,都是采用數(shù)方格的方法,數(shù)方格會遇到半格、大半格、小半格、對角線長度等難題,所以多采用估算的辦法,這其實是不嚴謹?shù)?,如果改用皮克公式,則可以堵住這個漏洞。
至此,學(xué)生徹底弄明白了皮克公式的來龍去脈,但還可能會產(chǎn)生新的困惑:皮克公式到底在什么地方能派上用場?對此,教師可以講一個生動的故事:數(shù)年前,一場數(shù)學(xué)研討會召開,由于會議地點是在一座山中,為了凸顯地方特色,主辦方展示了一個數(shù)學(xué)應(yīng)用的例子,那就是利用航拍,根據(jù)樹木的分布密度來確定森林面積大小。其具體方法是用點陣薄膜覆蓋在地圖上,再根據(jù)皮克公式求出面積,然后按照一定比例尺擴大還原,就是森林面積。講完這個故事,教師可以讓學(xué)生繼續(xù)思考:這樣的算法會存在誤差嗎?為什么?
總而言之,雖然“釘子板上的多邊形”的教學(xué)目標只是尋找規(guī)律,但可能冷不丁就會碰到“釘子”?!芭龅结斪訒r,要向釘子學(xué)習(xí)”,遇到難題,就要想辦法攻克,查找真相,這樣才能有效化解課堂中的突發(fā)狀況。
(責編 吳美玲)