感悟運(yùn)算本質(zhì)，提高運(yùn)算能力

蘇明強(qiáng)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)算主要是指整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的“加減乘除”四則運(yùn)算。運(yùn)算教學(xué)在我國(guó)歷經(jīng)了一個(gè)逐步發(fā)展變化的過(guò)程，在20世紀(jì)“雙基”教學(xué)的背景下，我們十分重視算法和算理的教學(xué)，進(jìn)入21世紀(jì)，在新一輪基礎(chǔ)教育課程改革中，在原來(lái)的基礎(chǔ)上，我們開(kāi)始關(guān)注算法的多樣化，現(xiàn)在進(jìn)入核心素養(yǎng)時(shí)代，運(yùn)算能力成為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要表現(xiàn)。那么，在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)導(dǎo)向下，如何才能更好地提高學(xué)生的運(yùn)算能力，促進(jìn)學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢？下面，筆者從感悟運(yùn)算本質(zhì)的角度，談?wù)勌岣哌\(yùn)算能力的三個(gè)問(wèn)題。

一、讓學(xué)生感悟運(yùn)算的封閉性

長(zhǎng)期以來(lái)，在教學(xué)中，我們常常把數(shù)的認(rèn)識(shí)與數(shù)的運(yùn)算割裂開(kāi)來(lái)。其實(shí)，從本質(zhì)上看，數(shù)與運(yùn)算是一個(gè)有機(jī)整體。在數(shù)學(xué)中，當(dāng)產(chǎn)生一種“數(shù)”的概念后，我們就會(huì)討論這個(gè)“數(shù)集”的四則運(yùn)算，在這個(gè)“數(shù)集”中，如果一種運(yùn)算總是能進(jìn)行，也就是運(yùn)算結(jié)果總能在這個(gè)“數(shù)集”中找到，這時(shí)我們就稱這種運(yùn)算在這個(gè)“數(shù)集”中具有封閉性，否則，就稱這種運(yùn)算在這個(gè)“數(shù)集”中不具有封閉性。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，在自然數(shù)的基礎(chǔ)上，為了解決四則運(yùn)算封閉性問(wèn)題，數(shù)域必須得以不斷擴(kuò)充，于是就誕生了負(fù)數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)等概念。

在中小學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)域的擴(kuò)充順序是：自然數(shù)（N）、整數(shù)（Z）、有理數(shù)（Q）、實(shí)數(shù)（R）、復(fù)數(shù)（C），在自然數(shù)范圍內(nèi)，加法、乘法都具有封閉性，即任意兩個(gè)自然數(shù)進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，其運(yùn)算結(jié)果仍然是自然數(shù)。然而，自然數(shù)集中的減法運(yùn)算不具有封閉性，“小數(shù)”減“大數(shù)”的結(jié)果在自然數(shù)中找不到，這就要求數(shù)域必須擴(kuò)充，補(bǔ)充了“負(fù)數(shù)”，這時(shí)數(shù)域就從自然數(shù)擴(kuò)充到整數(shù)，因此，從運(yùn)算的角度看，“負(fù)數(shù)”是減法運(yùn)算的一種結(jié)果。

在整數(shù)集中，加法、減法和乘法都具有封閉性，但是除法不具有封閉性，比如“6÷3=2”運(yùn)算結(jié)果依然是整數(shù)，而“3÷6”運(yùn)算結(jié)果在整數(shù)集中找不到。因此，為了解決除法運(yùn)算的封閉性，數(shù)域必須再一次擴(kuò)充，補(bǔ)充了“分?jǐn)?shù)”，數(shù)域就從整數(shù)擴(kuò)充到了有理數(shù)，從運(yùn)算的角度看，分?jǐn)?shù)是除法運(yùn)算的一種結(jié)果。至此，在有理數(shù)集中，“加減乘除”四則運(yùn)算都具有封閉性，四則運(yùn)算暢通無(wú)阻，至于數(shù)域后來(lái)還進(jìn)一步擴(kuò)充到實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)，那是為了解決“開(kāi)方”封閉性的問(wèn)題。

封閉性是數(shù)學(xué)運(yùn)算的本質(zhì)屬性，在運(yùn)算教學(xué)中，我們不應(yīng)僅僅教學(xué)運(yùn)算表面的算法，而應(yīng)結(jié)合具體內(nèi)容，通過(guò)巧妙設(shè)計(jì)，讓學(xué)生體會(huì)運(yùn)算的封閉性，感悟運(yùn)算本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、讓學(xué)生感悟運(yùn)算的整體性

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，加法、減法、乘法和除法四則運(yùn)算，根據(jù)運(yùn)算的級(jí)別分類，加法和減法為一類，它們是一級(jí)運(yùn)算；乘法和除法為一類，它們是二級(jí)運(yùn)算。根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的特點(diǎn)分類，加法和乘法為一類，它們的運(yùn)算結(jié)果都是越來(lái)越大；減法和除法為一類，它們的運(yùn)算結(jié)果都是越來(lái)越小。從表面上看，它們是四種完全不同的運(yùn)算，這是一種初步感知。從本質(zhì)上看，它們是一個(gè)有機(jī)整體，不同運(yùn)算之間有著密切的聯(lián)系，這是對(duì)運(yùn)算整體性的一種感悟，這種感悟有助于提高學(xué)生的運(yùn)算能力，促進(jìn)學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

首先，運(yùn)算的整體性表現(xiàn)為不同類型的運(yùn)算之間存在互逆的關(guān)系，比如，加法和減法是兩種互逆的運(yùn)算，乘法和除法也是兩種互逆的運(yùn)算。如果運(yùn)算過(guò)程體現(xiàn)在數(shù)線上，那么加法是向前跳“幾格”，減法是向后跳“幾格”，乘法是向前跳“幾個(gè)幾”，除法是向后跳“幾個(gè)幾”。

其次，運(yùn)算的整體性表現(xiàn)在相同類型的運(yùn)算之間存在簡(jiǎn)化的關(guān)系，乘法是加法（加數(shù)都相同）的一種簡(jiǎn)便運(yùn)算，比如，2+2+2=6，即3個(gè)2相加可以寫成3×2=6。除法也可以看成減法（減數(shù)都相同）的一種簡(jiǎn)便運(yùn)算，比如，6-2-2-2=0，即6包含3個(gè)2可以寫成6÷2=3。

最后，運(yùn)算的整體性還表現(xiàn)在不同類運(yùn)算可以互相轉(zhuǎn)化，最終四種運(yùn)算歸為一種運(yùn)算——加法，這就是四則運(yùn)算的奇妙之處，減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成加法運(yùn)算，法則是“減去一個(gè)數(shù)就等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)”，如3-2=3+（-2），乘法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成加法運(yùn)算，如3×2=2+2+2，除法運(yùn)算可以先轉(zhuǎn)化成乘法運(yùn)算再轉(zhuǎn)化成加法運(yùn)算，法則是“除以一個(gè)數(shù)就等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，如3÷2=3×[12]=[12]+[12]+[12]。這樣，減法、乘法和除法運(yùn)算最后都轉(zhuǎn)化成了加法運(yùn)算，這就是四則運(yùn)算從“分”到“合”，最后歸為一個(gè)整體的奇妙之處。

三、讓學(xué)生感悟運(yùn)算的一致性

整數(shù)和小數(shù)的四則運(yùn)算具有高度一致性，這是由整數(shù)和小數(shù)表示形式的統(tǒng)一性所決定的。整數(shù)和小數(shù)本質(zhì)上都是采用“十進(jìn)制”記數(shù)法，它們的數(shù)位和進(jìn)率體現(xiàn)出高度的一致性，整數(shù)部分的起始數(shù)位是“個(gè)位”，小數(shù)部分的起始數(shù)位是“個(gè)分位”，這里“個(gè)位”和“個(gè)分位”重疊。因此，整數(shù)和小數(shù)的數(shù)位就以“個(gè)位”為中心，左右兩邊完全對(duì)稱，左邊是十位、百位、千位……，右邊是十分位、百分位、千分位……。正因?yàn)檎麛?shù)和小數(shù)表示形式的完全統(tǒng)一，因此，整數(shù)和小數(shù)的四則運(yùn)算高度一致。比如，整數(shù)加減法“相同數(shù)位對(duì)齊，從個(gè)位加起”和小數(shù)加減法“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，從低位加起”，它們本質(zhì)上是一致的，小數(shù)乘除法可以直接轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘除法進(jìn)行計(jì)算。

分?jǐn)?shù)與整數(shù)、小數(shù)，雖然數(shù)的表示形式完全不同，但是運(yùn)算的算理卻體現(xiàn)出高度的一致性。比如，整數(shù)加法1+2=3的道理是：1個(gè)1加2個(gè)1等于3個(gè)1，3個(gè)1就是3；小數(shù)加法0.1+0.2=0.3的道理是：1個(gè)0.1加2個(gè)0.1等于3個(gè)0.1，3個(gè)0.1就是0.3；分?jǐn)?shù)加法[14]+[24]=[34]的道理是：1個(gè)[14]加2個(gè)[14]等于3個(gè)[14]，3個(gè)[14]就是[34]；異分母分?jǐn)?shù)[12]和[13]不能直接相加，因?yàn)樗鼈兎謹(jǐn)?shù)單位不同，要通過(guò)通分使分?jǐn)?shù)單位相同才能再相加，這些都是數(shù)的加法運(yùn)算本質(zhì)一致性的具體體現(xiàn)。

（作者單位：泉州師范學(xué)院教育科學(xué)研究所）

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