基于PD控制的電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性振動研究

張國榮， 張鵬飛， 王志恒， 席 光， 鄒瀚森

(西安交通大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，西安 710049)

電磁軸承是一種典型的機(jī)電一體化產(chǎn)品，因其具有無接觸、無需潤滑、可施加主動控制以及可實(shí)現(xiàn)高轉(zhuǎn)速等特點(diǎn)而在旋轉(zhuǎn)機(jī)械、真空和潔凈空間等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。目前電磁軸承的研究與應(yīng)用主要基于在平衡點(diǎn)附近對非線性的電磁力進(jìn)行泰勒展開得到線性化處理后的數(shù)學(xué)模型[1]，而當(dāng)系統(tǒng)處于極限工況下如轉(zhuǎn)子偏離中心位置較大、器件發(fā)生飽和等，此時(shí)線性化模型不再適用，因此非常有必要對電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性數(shù)學(xué)模型進(jìn)行非線性動力學(xué)分析，以加強(qiáng)對系統(tǒng)處于非線性情況下動力學(xué)行為的了解，拓寬電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的工作范圍。

研究人員針對電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中存在的各種非線性因素對系統(tǒng)特性的影響進(jìn)行了研究，如系統(tǒng)中存在的時(shí)間延遲效應(yīng)[2]、渦流效應(yīng)[3]、多重干擾力[4]、飽和現(xiàn)象[5]、陀螺效應(yīng)[6]、幾何耦合[7-8]、轉(zhuǎn)子碰摩[9]、裂紋轉(zhuǎn)子[10]、氣流激振力[11]等。這些非線性因素會使系統(tǒng)表現(xiàn)出豐富的非線性動力學(xué)現(xiàn)象如分岔、突跳、初值敏感性、多解、混沌現(xiàn)象等，使系統(tǒng)不穩(wěn)定性增加，影響轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)。電磁力與控制電流平方成正比，與距離平方呈反比，本身就是高度非線性的，會使系統(tǒng)表現(xiàn)豐富的非線性特性。Saeed等[12]研究了兩自由度電磁軸承-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在廣泛的非線性現(xiàn)象，增大擾動力會使系統(tǒng)更容易失穩(wěn) ，因此需要更大的比例和微分增益。Zhang等[13]對1∶1內(nèi)共振及1∶2超諧共振條件下的16級時(shí)變剛度電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行建模并利用攝動法求近似解，觀察到該系統(tǒng)中存在周期、擬周期、混沌運(yùn)動，并且有明顯的軟硬彈簧特性。非線性對于系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行是不利的但又是不可避免的，因此需加以控制以盡量擴(kuò)大系統(tǒng)的安全運(yùn)行范圍。Ghazavi等[14]研究了時(shí)變剛度比例-微分控制(proportional-derivative,PD)控制器在增大系統(tǒng)穩(wěn)定域方面的作用，相比于線性PD控制，采用時(shí)變剛度控制后系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)的偏心量下限提高，系統(tǒng)更加穩(wěn)定。Chang[15]研究了電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中存在的倍周期分岔及混沌現(xiàn)象，并采用狀態(tài)反饋控制和抖動控制去控制混沌，發(fā)現(xiàn)兩種方法都具有很好的抑制混沌的作用。

綜上，電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中存在豐富的非線性特性。本文考慮電磁力的本質(zhì)非線性，即力-電流非線性和力-位移非線性，針對PD控制下軸向電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)建模并進(jìn)行非線性動力學(xué)分析，具體探究控制器參數(shù)以及外部擾動力對系統(tǒng)軟硬彈簧特性的影響。并在特定參數(shù)下探究隨著擾動頻率的增加，系統(tǒng)所發(fā)生的分岔行為。

1 分析模型

軸向電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的簡化圖，如圖1所示。傳感器檢測到轉(zhuǎn)子偏離設(shè)定位置的位移，將偏移信號反饋至控制器，控制器會發(fā)出位置調(diào)整信號，經(jīng)功率放大器后轉(zhuǎn)換為電流作用到電磁鐵線圈，產(chǎn)生電磁力將轉(zhuǎn)子拉回到預(yù)定位置。軸向電磁軸承-轉(zhuǎn)子模型屬于單自由度。為方便分析，忽略磁飽和、磁泄漏以及渦流效應(yīng)等非線性因素，無幾何耦合，轉(zhuǎn)子為剛性轉(zhuǎn)子模型。

圖1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Control system structure

1.1 非線性電磁力模型

磁體的作用力產(chǎn)生在不同磁導(dǎo)率介質(zhì)的邊界上，電磁力的計(jì)算是基于場能理論。電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的磁路模型，如圖2所示。

圖2 磁路模型Fig.2 Magnetic circuit model

圖2中：i為作用到電磁鐵線圈的控制電流；C為圓盤與電磁鐵的間隙；Aa為電磁鐵橫截面積。

儲存在氣隙體積Va=2CAa中的能量為

(1)

式中，Ba，Ha分別為磁通密度和磁場強(qiáng)度。根據(jù)虛位移原理，單個(gè)電磁鐵的電磁力為

(2)

式中，μ0為真空磁導(dǎo)率。根據(jù)安培環(huán)路定理，并假設(shè)磁路中的磁場沿鐵芯和氣隙都是均勻的，再利用B=μ0μrH，可得

(3)

式中：μr為相對磁導(dǎo)率；lfe為平均鐵芯磁路長度；N為線圈匝數(shù)。鐵芯在不考慮磁飽和情況下有μr?1，因此

(4)

將式(4)代入式(2)

由于一對電磁鐵采用差動控制，故軸向電磁軸承所施加的電磁力為

(5)

式中：ib為偏置電流；ix為控制電流；C0為圓盤與電磁鐵之間的額定氣隙；x為轉(zhuǎn)子偏離基準(zhǔn)位置的位移。

1.2 動力學(xué)模型及其無量綱化

對于軸向電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，轉(zhuǎn)子可視為一集中質(zhì)量，假設(shè)無碰摩現(xiàn)象出現(xiàn)，推力盤受到周期擾動力影響，則轉(zhuǎn)子軸向運(yùn)動方程為

(6)

式中：x為圓盤偏離設(shè)定點(diǎn)的位移；m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量；Fmag為施加的電磁控制力；f為擾動力幅值；ω為周期擾動的角頻率；t為物理時(shí)間。

采用PD控制器，當(dāng)轉(zhuǎn)子偏離中心位置x時(shí)，控制電流為

(7)

將式(5)、式(7)代入式(6)

(8)

為方便分析，定義以下無量綱量，將式(8)無量綱化。

則式(8)變?yōu)?/p>

(9)

將式(9)基于基準(zhǔn)點(diǎn)X=0進(jìn)行Taylor展開到三階，整理后得到

(10)

軸向電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)，如表1所示。將其代入式(10)中即可得到無量綱動力學(xué)方程。

表1 軸向電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Axial magnetic bearing-rotor system parameters

2 系統(tǒng)軟硬彈簧特性影響因素研究

軟硬彈簧特性反映了非線性系統(tǒng)固有頻率與振動幅值的關(guān)系，會引起多值及突跳現(xiàn)象的發(fā)生，是非線性系統(tǒng)區(qū)別于線性系統(tǒng)的一種重要特征。動力學(xué)方程式(10)的系數(shù)均依賴于無量綱比例增益Kp和無量綱微分增益Kd兩個(gè)參數(shù)。因此本節(jié)主要研究這兩個(gè)參數(shù)以及擾動力對軸向電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主共振時(shí)軟硬彈簧特性的影響。

應(yīng)用多尺度法對式(10)進(jìn)行近似求解以及穩(wěn)定性分析。多尺度法可同時(shí)求解穩(wěn)定解與不穩(wěn)定解[16]。因此式(10)變?yōu)?/p>

(11)

式中，ε?1。

引入兩個(gè)時(shí)間尺度T0=t,T1=εt。T0為快時(shí)間尺度，T1為慢時(shí)間尺度。

本節(jié)主要研究主共振情況，利用失調(diào)系數(shù)σ衡量擾動頻率與派生系統(tǒng)固有頻率的接近程度，即Ω=ω0+εσ。

設(shè)式(11)的解為

X=X0(T0,T1)+εX1(T0,T1)

(12)

兩種時(shí)間尺度的微分算子為

將以上算子連同式(12)代入式(11)。整理并分離ε的同次冪，得到

ε0為

(13)

ε1為

(14)

式(13)解的復(fù)數(shù)形式為

(15)

(16)

將式(15)代入式(14)中，整理后令永年項(xiàng)系數(shù)為0，得

將式(16)代入上式，分離實(shí)虛部，并且引入φ=σT1-β得到自治微分方程

(17a)

(17b)

(18)

(19a)

(19b)

因此，穩(wěn)定周期解需滿足式(19)中Jacobian矩陣的特征值實(shí)部為負(fù)。

主共振幅頻特性曲線的骨架線對于軟硬彈簧特性的判定具有決定性作用，當(dāng)骨架線幅值隨失調(diào)參數(shù)σ增加而增大時(shí)系統(tǒng)呈現(xiàn)硬彈簧特性，反之則呈軟彈簧特性。骨架線的方程為

(20)

2.1 計(jì)算方法驗(yàn)證

圖3 近似解與數(shù)值解對比Fig.3 Comparison of approximate and numerical solutions

2.2 擾動力幅值的影響

圖4 不同擾動力幅值下主共振幅頻特性曲線(Kp=1.3, Kd=0.02)Fig.4 Frequency-response curves under different amplitude of disturbance force(Kp=1.3, Kd=0.02)

2.3 比例增益Kp的影響

選取Kd=0.02，當(dāng)Kp由1.1變化到1.3時(shí)，如圖5(a)所示。系統(tǒng)呈現(xiàn)硬彈簧特性，并且幅頻特性曲線隨著Kp增大逐漸向右偏，硬彈簧特性加強(qiáng)。當(dāng)Kp繼續(xù)增大，由1.4增大到2時(shí)，如圖5(b)所示。系統(tǒng)特性逐漸變軟，但依然表現(xiàn)為硬彈簧特性，同時(shí)在各頻率下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值減小。當(dāng)Kp=2時(shí)，根據(jù)判斷條件(1)，此時(shí)系統(tǒng)呈軟彈簧特性，但多值區(qū)域非常小。繼續(xù)增大Kp使Kp>2,判斷條件(1)恒成立,系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線開始往左偏，系統(tǒng)呈現(xiàn)軟彈簧特性,且Kp越大多值區(qū)域越大，軟彈簧特性越明顯，同時(shí)各頻率下穩(wěn)態(tài)振動的幅值隨Kp增大而逐漸減小。通過上述分析，無量綱比例增益Kp對系統(tǒng)軟硬彈簧特性影響較明顯，隨著Kp變化，系統(tǒng)特性在軟彈簧與硬彈簧之間切換。

圖5 不同比例增益Kp下幅頻特性曲線(Kd=0.02, F=0.1)Fig.5 Frequency-response curves under different proportional gain Kp(Kd=0.02, F=0.1)

2.4 微分增益Kd的影響

綜上所述，PD控制下比例增益Kp和微分增益Kd均會影響系統(tǒng)的軟硬彈簧特性。當(dāng)Kp和Kd變化時(shí)會使系統(tǒng)在軟彈簧與硬彈簧特性之間切換。利用骨架線方程可以準(zhǔn)確判斷系統(tǒng)表現(xiàn)軟彈簧還是硬彈簧特性。當(dāng)微分增益Kd較大時(shí)，幅頻特性曲線會分裂成不相連的兩部分，此時(shí)系統(tǒng)不再表現(xiàn)突跳現(xiàn)象。擾動力影響穩(wěn)態(tài)振動的幅值而不影響系統(tǒng)的軟硬彈簧特性。

圖6 不同微分增益Kd下幅頻特性曲線(Kp=1.3, F=0.1)Fig.6 Frequency-response curves under different differential gain Kd(Kp=1.3, F=0.1)

圖7 Kd=0.5時(shí)幅頻特性曲線及穩(wěn)定域(Kp=1.3, F=0.1)Fig.7 Frequency-response curve and stable solution region when Kd=0.5(Kp=1.3, F=0.1)

3 系統(tǒng)非線性振動及分岔

使用Runge-Kutta法對式(10)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。選定參數(shù)F=0.1,Kp=1.6,Kd=0.02，無量綱擾動頻率Ω范圍為0～2.5，幅頻特性曲線如圖8(a)所示。實(shí)線代表穩(wěn)定解，虛線代表不穩(wěn)定解。當(dāng)Ω不斷增大時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)的幅值先逐漸增大，在某一個(gè)轉(zhuǎn)速下出現(xiàn)幅值“突跳”現(xiàn)象，即系統(tǒng)響應(yīng)幅值由一個(gè)較大值突然降到較小值，這是由于幅頻曲線中一個(gè)解支不穩(wěn)定，發(fā)生鞍-結(jié)點(diǎn)分岔。圖中虛線方框部分的放大圖如圖8(b)所示。隨著擾動頻率Ω由1.650增大到1.656 6，系統(tǒng)周期解逐漸發(fā)生失穩(wěn)，發(fā)生二次Hopf分岔，由周期-1振動變?yōu)閿M周期振動。

當(dāng)Ω=1.4時(shí)，略去開始的瞬態(tài)振動，取其穩(wěn)態(tài)振動分析，時(shí)間歷程圖如圖9(a)所示。相圖表現(xiàn)為一個(gè)橢圓軌道，如圖9(b)所示。Poincare截面上只有一個(gè)點(diǎn)，如圖9(c)所示，證明此時(shí)相軌線周期性的穿過Poincare截面，為周期-1振動。功率譜分析結(jié)果顯示在歸一化頻率為1處有較大的功率，二倍頻及三倍頻處幅值較小，如圖9(d)所示。因此，當(dāng)Ω=1.4時(shí)轉(zhuǎn)子的振動形式主要表現(xiàn)為周期-1。

圖8 F=0.1, Kp=1.6, Kd=0.02時(shí)頻響曲線及分岔Fig.8 Frequency-response and bifurcation diagram at F=0.1, Kp=1.6, Kd=0.02

圖9 當(dāng)Ω=1.4時(shí)分析圖Fig.9 Analysis diagram when Ω=1.4

當(dāng)Ω=1.655時(shí)，略去瞬態(tài)部分后的穩(wěn)態(tài)時(shí)間歷程圖，如圖10(a)所示。該參數(shù)下振動形式好像被一低頻信號調(diào)制，產(chǎn)生了拍振現(xiàn)象。相圖表明運(yùn)動沒有周期性，但相軌線限制在一個(gè)環(huán)形區(qū)域內(nèi)，如圖10(b)所示。Poincare截面上的點(diǎn)形成一閉合曲線，如圖10(c)所示，可確定此振動為擬周期振動。功率譜相對Ω=1.4有較大變化，諧波成分增加，在低頻fb=0.053處存在幅值，在基頻f0附近出現(xiàn)了f0±fb等相近的頻率成分，在各倍頻附近也出現(xiàn)同樣現(xiàn)象，如圖10(d)所示。拍振可以看做低頻信號fb對頻率為f0的載波的調(diào)制，低頻信號的產(chǎn)生是系統(tǒng)非線性特性的體現(xiàn)，此時(shí)f0/fb為無理數(shù)，因此為擬周期振動。拍振將影響系統(tǒng)控制的穩(wěn)定性以及控制的精度[18]，另外發(fā)生拍振一般會使轉(zhuǎn)子偏移量增大，很容易發(fā)生轉(zhuǎn)子與定子碰摩，對系統(tǒng)安全造成威脅。

圖10 當(dāng)Ω=1.655時(shí)分析圖Fig.10 Analysis diagram when Ω=1.655

4 結(jié) 論

本文對基于PD控制的單自由度軸向電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性特性進(jìn)行了研究。利用多尺度法研究了控制器參數(shù)以及擾動力對系統(tǒng)的主共振幅頻特性曲線的影響，并利用四階Runge-Kutta法對特定參數(shù)下的非線性響應(yīng)進(jìn)行了計(jì)算，得出以下結(jié)論：

(1) 由骨架線方程導(dǎo)出的判斷準(zhǔn)則可用于判斷電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軟硬彈簧特性。當(dāng)控制器比例增益、微分增益變化時(shí)，系統(tǒng)會在軟彈簧與硬彈簧特性之間切換。

(2) 擾動力幅值不會影響系統(tǒng)軟硬彈簧特性，但擾動力越大，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振動幅值越大，共振區(qū)域變大。

(3) 微分增益較大時(shí)系統(tǒng)主共振幅頻特性曲線發(fā)生分裂，穩(wěn)定解部分不再具有突跳現(xiàn)象。微分增益越大，穩(wěn)態(tài)幅值越小。

(4) 當(dāng)擾動頻率改變時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生二次Hopf分岔現(xiàn)象，振動由周期-1變?yōu)閿M周期，隨后幅值發(fā)生“突跳”，發(fā)生鞍-結(jié)點(diǎn)分岔。擬周期振動時(shí)產(chǎn)生拍振現(xiàn)象，可認(rèn)為是一低頻信號對基頻信號的調(diào)制。