非局部功能梯度梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)與波傳播特性研究

何東澤， 史冬巖， 王青山， 馬春龍,4

(1. 哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150001； 2. 中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410083；3. 中南大學(xué) 高性能復(fù)雜制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410083； 4. 哈爾濱職業(yè)技術(shù)學(xué)院 汽車(chē)學(xué)院，哈爾濱 150001)

隨著眾多科研人員對(duì)納米材料的研究探索，微納米電子機(jī)械系統(tǒng)的設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)的研究逐漸深入。納米梁結(jié)構(gòu)作為具有良好力學(xué)性能的工程結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，在納米線、微型開(kāi)關(guān)以及微型驅(qū)動(dòng)器等中作為基本的微小型元器件被廣泛應(yīng)用[1]。納米結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性研究對(duì)于微納米電子機(jī)械系統(tǒng)有著重要的工程意義，對(duì)納米傳感器以及某些納米機(jī)械器件的設(shè)計(jì)具有廣泛的應(yīng)用背景。同時(shí)，納米結(jié)構(gòu)波傳播的特性也是較為熱點(diǎn)的研究問(wèn)題。對(duì)于納米結(jié)構(gòu)的力學(xué)理論，目前主要包括修正耦合理論[2-3]、應(yīng)變梯度理論[4]以及非局部理論[5-6]。其中，非局部理論是目前微納米結(jié)構(gòu)以及微納米電子機(jī)械系統(tǒng)應(yīng)用研究中應(yīng)用最廣泛的理論。

目前對(duì)于微納米梁結(jié)構(gòu)的研究具有較大的進(jìn)展，存在較多研究成果。主要包括：Li等[7]開(kāi)展承受軸向張力以及軸向壓縮力作用下非局部納米梁的橫向振動(dòng)研究，對(duì)其固有頻率，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)以及穩(wěn)定性進(jìn)行分析研究；Li等[8]基于非局部應(yīng)變梯度理論，采用廣義微分求解法對(duì)軸向功能梯度納米梁進(jìn)行研究，分析其彎曲、屈曲及振動(dòng)相關(guān)問(wèn)題；張大鵬等[9]基于非局部黏彈性理論，采用傳遞函數(shù)法開(kāi)展黏彈性地基上歐拉梁的自由振動(dòng)分析研究；劉燦昌等[10]對(duì)考慮非局部效應(yīng)和軸向非線性伸長(zhǎng)下的歐拉納米梁模型進(jìn)行建立，分析非局部相應(yīng)對(duì)梁模型固有頻率的影響。

波傳播問(wèn)題是目前一個(gè)重點(diǎn)研究問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究并取得了豐碩的成果。Narendar等[11]根據(jù)歐拉-伯努利梁理論，結(jié)合非局部彈性理論，對(duì)梁結(jié)構(gòu)中非局部參數(shù)與逃逸頻率之間的關(guān)系進(jìn)行了研究；王碧蓉等[12]基于非局部彈性理論與鐵摩辛科梁理論，對(duì)應(yīng)力梯度和應(yīng)變梯度修正的梁模型進(jìn)行研究，證明非局部因子對(duì)彎曲波頻散特性有著一定的影響；余陽(yáng)等[13]基于流體滑移邊界理論，將非局部理論與應(yīng)變梯度理論結(jié)合，建立充流單壁碳納米管結(jié)構(gòu)分析模型，對(duì)非局部效應(yīng)、應(yīng)變梯度效應(yīng)以及流體滑移邊界效應(yīng)進(jìn)行分析研究；Li等[14]結(jié)合非局部彈性理論以及歐拉伯努利梁理論，對(duì)磁場(chǎng)條件下的單壁層的碳納米管結(jié)構(gòu)的波傳播特性進(jìn)行分析研究。

本文基于非局部彈性理論，給出非局部功能梯度鐵摩辛科梁的控制微分方程。結(jié)合本文提出的半解析求解方法，建立非局部功能梯度梁的數(shù)值分析模型。同時(shí)，開(kāi)展非局部參數(shù)以及功能梯度指數(shù)對(duì)非局部功能梯度梁的自由振動(dòng)特性以及波傳播特性進(jìn)行研究，比較分析頻率參數(shù)、波傳播頻率以及波傳播速度的變化情況，得出各個(gè)參數(shù)對(duì)非局部功能梯度梁的振動(dòng)特性以及波傳播特性的影響規(guī)律。

1 非局部理論與功能梯度材料

非局部理論是目前微納米結(jié)構(gòu)中應(yīng)用較為廣泛的一種理論。該理論認(rèn)為，任意一點(diǎn)的應(yīng)力不只與該點(diǎn)的應(yīng)變有關(guān)，而是與總體結(jié)構(gòu)的應(yīng)變狀態(tài)迭加之和相關(guān)。和傳統(tǒng)的彈性理論理論不同，非局部理論考慮某點(diǎn)對(duì)某個(gè)作用區(qū)域的影響。Eringen[15]將傳統(tǒng)的積分型本構(gòu)關(guān)系轉(zhuǎn)化為微分型本構(gòu)關(guān)系，可以直接應(yīng)用于控制方程之中。非局部本構(gòu)關(guān)系方程可以表示為

(1)

式中：E為彈性模量；G為剪切模量；σxx為軸向正應(yīng)力；σxz為剪應(yīng)力；εxx為軸向應(yīng)變；γxz為剪切應(yīng)變； (e0a)2為非局部參數(shù)，e0為材料參數(shù)，a為非局部空間大小的材料內(nèi)部的特征長(zhǎng)度，當(dāng)e0a趨于無(wú)窮大時(shí)，非局部理論將會(huì)近似于晶格理論。

功能梯度材料為兩種或多種材料復(fù)合而成，是一種新型的復(fù)合材料。對(duì)于一維梁結(jié)構(gòu)，定義其體積分?jǐn)?shù)函數(shù)V為

(2)

式中：p為功能梯度指數(shù)，決定梁結(jié)構(gòu)在厚度方向上的材料變化趨勢(shì)；h為梁的厚度。因此，可以定義功能梯度梁結(jié)構(gòu)的彈性模量E(z)，剪切模量G(z)以及體密度ρ(z)為

E(z)=(E1-E2)V+E2,
G(z)=(G1-G2)V+G2,
ρ(z)=(ρ1-ρ2)V+ρ2

(3)

式中， 下標(biāo)1和2分別為材料1(鋼)和材料2(氧化鋁)的物理參數(shù)。

2 模型建立

本文所建立的非局部功能梯度納米梁結(jié)構(gòu)，如圖1所示。圖1中：L為梁的長(zhǎng)度；h為梁的厚度；b為梁的寬度。定義梁的軸向方向?yàn)閤軸方向，厚度方向?yàn)閦軸方向。

圖1 功能梯度納米梁結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of FGM nanobeam

功能梯度納米梁由鋼(上表面)和氧化鋁(下表面)組成，其材料參數(shù)如表1所示。

表1 功能梯度組成材料屬性Tab.1 The material properties of FGM constituents

3 數(shù)值模型建立

根據(jù)鐵摩辛科梁理論，任意一點(diǎn)的軸向位移u(x,z,t)以及橫向位移w(x,z,t)可以表示為[16]

u(x,z,t)=u0(x,t)+zθ(x,t),
w(x,z,t)=w0(x,t)

(4)

式中：u0(x,t)，w0(x,t)分別為梁結(jié)構(gòu)中性軸上任意一點(diǎn)的軸向位移與橫向位移；θ(x,t)為梁橫截面中性軸上任意一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)位移。相應(yīng)的應(yīng)變可以表示為

(5)

相應(yīng)的，對(duì)軸向力N、剪力Q以及彎矩M進(jìn)行定義，可以表示為

(6)

根據(jù)非局部本構(gòu)關(guān)系，結(jié)合式(6)，可以得到非局部廣義力為

(7)

根據(jù)哈密爾頓原理，可得鐵摩辛科梁的平衡方程為[17]

(8)

式中，I1，I2，I3為慣性質(zhì)量，定義為

(9)

根據(jù)非局部關(guān)系，結(jié)合式(8)，可得非局部軸向力N、剪力Q以及彎矩M的表達(dá)式為

(10)

式中，Ks為剪切修正系數(shù)。將非局部軸向力N，剪力Q以及彎矩M代入式(8)中，可得

(11)

將位移變量量u0(x,t)，w0(x,t)以及旋轉(zhuǎn)變量θ(x,t)轉(zhuǎn)化為波動(dòng)解，具體表示為[18]

u0(x,t)=U0eikxe-iωt,
w0(x,t)=W0eikxe-iωt,
θ0(x,t)=Φ0eikxe-iωt

(12)

式中：U0，W0，Φ0為位移以及轉(zhuǎn)角幅值變量；k為軸向波數(shù)；ω為角速度；t為時(shí)間變量。將位移變量以及旋轉(zhuǎn)變量代入式(11)，得

(13)

式中，各個(gè)變量的具體表達(dá)式見(jiàn)附錄。為了保證系數(shù)存在非零解，其行列式必為零，可以得到關(guān)于k的六次多項(xiàng)式方程，為

a6k6+a4k4+a2k2+a0=0

(14)

式中，a0,2,4,6為相應(yīng)的多項(xiàng)式系數(shù)，由式(13)決定。根據(jù)多項(xiàng)式方程的特征根，將位移變量以及旋轉(zhuǎn)變量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，表示為

(15)

式中，ns為軸向波的個(gè)數(shù)，具體數(shù)值由式(14)決定。將位移變量以及旋轉(zhuǎn)變量繼續(xù)變化，可以得到

(16)

式中，ξi，ηi為位移變量的比例參數(shù)，具體可定義為

(17)

式中，ki為式(14)的特征根。根據(jù)鐵摩辛科梁理論，對(duì)邊界條件進(jìn)行分析。本文主要考慮簡(jiǎn)支、固支以及自由邊界條件，具體定義為[19]：

自由邊界條件

N(x,t)=Q(x,t)=M(x,t)=0

(18)

簡(jiǎn)支邊界條件

N(x,t)=w0(x,t)=M(x,t)=0

(19)

固支邊界條件

u0(x,t)=w0(x,t)=θ0(x,t)=0

(20)

將位移變量與旋轉(zhuǎn)變量進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，可以表示為

(21)

式中，ui(x)，wi(x)，θi(x)為位移與轉(zhuǎn)角分量，分別定義為

ui(x)=ξieikix,vi(x)=ηieikix,θi(x)=eikix

(22)

根據(jù)非局部軸向力，剪力以及彎矩的表達(dá)式，幾何位移變量與旋轉(zhuǎn)變梁的波動(dòng)解形式，可以得到

(23)

式中，Ni(x)，Qi(x)，Mi(x)分別為軸向力、剪力以及彎矩分量，具體表示為

(24)

(25)

(26)

根據(jù)前文所介紹的位移、旋轉(zhuǎn)位移分量，對(duì)矩陣位移D進(jìn)行定義，表示為

(27)

進(jìn)一步，對(duì)力矩陣F進(jìn)行定義，表示為

(28)

根據(jù)前文所介紹的邊界條件，結(jié)合力矩陣以及位移矩陣的表達(dá)式，可以得到非局部功能梯度梁的總體矩陣方程為

[K]{Φ}={F}

(29)

式中：Φ為總體轉(zhuǎn)角向量；F為外界力向量，與非局部功能梯度梁所受到的外力相關(guān)；K為總體矩陣，具體可以表示為

(30)

式中，B1和B2為邊界條件矩陣，由非局部功能梯度梁兩端的具體邊界情況所決定。對(duì)于不同的邊界條件，可表述如下：

自由邊界條件

(31)

固支邊界條件

(32)

簡(jiǎn)支邊界條件

(33)

為了求解非局部功能梯度梁的自由振動(dòng)特性，外力源向量F可以忽略。采用二分法對(duì)總體矩陣進(jìn)行在一定頻率范圍內(nèi)進(jìn)行零點(diǎn)搜索，得到非局部功能梯度梁的固有頻率。將所計(jì)算得到的固有頻率代入到總體矩陣之中，可以得到非局部功能梯度梁振型等相關(guān)信息。

為了求解非局部功能梯度梁的波傳播特性，根據(jù)控制微分方程，得到關(guān)于位移以及轉(zhuǎn)角幅值變量U0，W0，Φ0的代數(shù)方程，具體表示為

(34)

式中，T(k,ω)為非對(duì)稱(chēng)矩陣，具體表達(dá)式由式(13)決定，若齊次方程組存在非零解，其系數(shù)行列式必為零，因此可以得到非局部功能梯度梁的頻散方程為

detT(k,ω)3×3=0

(35)

通過(guò)求解不同波數(shù)k對(duì)應(yīng)的波傳播頻率ω，可以得到波傳播頻率隨著軸向波數(shù)的頻散曲線，分析其波傳播規(guī)律。同時(shí)，根據(jù)波傳播頻率以及軸線波數(shù)，對(duì)波傳播速度c進(jìn)行定義，具體表示為

(36)

4 數(shù)值結(jié)果與討論

4.1 結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證

表2 文獻(xiàn)數(shù)據(jù)對(duì)比(p=0.2)Tab.2 The comparison of the results with literature (p=0.2)

表3 文獻(xiàn)數(shù)據(jù)對(duì)比(p=0.5)Tab.3 The comparison of the results with literature (p=0.5)

4.2 非局部參數(shù)對(duì)固有頻率的影響

為了比較分析非局部參數(shù)對(duì)非局部功能梯度納米梁自由振動(dòng)的影響規(guī)律，對(duì)不同非局部參數(shù)下的固有頻率進(jìn)行計(jì)算，對(duì)頻率參數(shù)進(jìn)行比較，總結(jié)出非局部參數(shù)對(duì)固有頻率的影響。設(shè)置非局部參數(shù)(e0a)2變化范圍為0～5×10-12，設(shè)置功能梯度指數(shù)p的變化范圍為0.2～5.0，設(shè)置長(zhǎng)厚比變化L/h為20～100。材料組成以及物理參數(shù)設(shè)置與表2中的算例相同，邊界條件設(shè)置為兩端簡(jiǎn)支。非局部參數(shù)的影響規(guī)律，如圖2所示。

圖2 非局部參數(shù)的影響規(guī)律Fig.2 The effect of nonlocal parameter

通過(guò)圖2可知，對(duì)比不同的功能梯度指數(shù)以及長(zhǎng)厚比，隨著非局部參數(shù)的變化，非局部功能梯度納米梁的頻率參數(shù)呈現(xiàn)衰減的趨勢(shì)。因此可以說(shuō)明，在功能梯度指數(shù)一定時(shí)，非局部參數(shù)的變化對(duì)固有頻率具有較為明顯的影響，隨著非局部參數(shù)的增大，系統(tǒng)的整體剛度逐漸減小。

4.3 功能梯度指數(shù)對(duì)固有頻率的影響

為研究功能梯度指數(shù)p對(duì)非局部功能梯度納米梁自由振動(dòng)的影響，對(duì)不同功能梯度指數(shù)對(duì)應(yīng)的固有頻率進(jìn)行計(jì)算，通過(guò)比較分析，總結(jié)歸納功能梯度指數(shù)的影響規(guī)律。功能梯度指數(shù)p分別設(shè)置為0.2，0.5，1.0，5.0和10.0，如圖3所示。

圖3 功能梯度指數(shù)的影響規(guī)律Fig.3 The effect of power law exponent

從圖3可知，對(duì)于不同非局部參數(shù)以及長(zhǎng)厚比對(duì)應(yīng)的頻率參數(shù)而言，隨著功能梯度指數(shù)的逐漸增大，頻率參數(shù)呈現(xiàn)衰減的趨勢(shì)。因此，當(dāng)非局部參數(shù)一定時(shí)，功能梯度指數(shù)對(duì)非局部功能梯度納米梁的固有頻率存在較明顯的影響。

為進(jìn)一步分析比較分析功能梯度指數(shù)對(duì)固有頻率的影響，選取功能梯度指數(shù)p為0.2和10.0狀態(tài)下的前三階陣型圖進(jìn)行，如圖4所示。同時(shí)，展示固支—自由以及自由—簡(jiǎn)支邊界條件下的前三階振型圖，如圖5所示。通過(guò)比較可知，不同邊界條件對(duì)非局部梯度納米梁的振型影響較為明顯。

圖4 簡(jiǎn)支邊界條件下的模態(tài)圖Fig.4 The mode shapes of the beam with simply supported boundary condition

圖5 不同邊界條件下的振型圖Fig.5 The mode shapes for various boundary conditions

4.4 非局部參數(shù)對(duì)波數(shù)以及波速的影響

根據(jù)前文所提到的非局部功能梯度梁的動(dòng)力學(xué)控制微分方程，研究分析非局部參數(shù)對(duì)其波傳播頻率以及波速的影響效果，其中非局部參數(shù)(e0a)2設(shè)置為0，1×10-12和2×10-12。不同功能梯度指數(shù)條件下，非局部功能梯度梁前三階波傳播頻率的變化曲線，如圖6所示。從圖6可知，當(dāng)非局部參數(shù)取值不同時(shí)，功能梯度梁的波傳播頻率變化規(guī)律也不同。當(dāng)非局部參數(shù)為零時(shí)，即在經(jīng)典鐵摩辛科梁理論性，波傳播頻率隨著軸向波數(shù)的增大而逐漸增大。對(duì)于非局部彈性理論而言，在不同功能梯度指數(shù)下，當(dāng)非局部參數(shù)分別取不同數(shù)值時(shí)，波傳播頻率的變化總體一致；對(duì)于第一階和第二階傳播頻率而言，波傳播頻率逐漸增大并趨于穩(wěn)定；對(duì)于第三階頻率而言，頻率逐漸減小并趨于穩(wěn)定。通過(guò)比較可以看出，在非局部彈性理論下，隨著非局部參數(shù)的增大，波傳播頻率逐漸減小，并伴有相似的變化趨勢(shì)。

不同非局部參數(shù)下的波傳播速度隨著波數(shù)的變化情況，如圖7所示。通過(guò)比較可知，當(dāng)非局部參數(shù)為零時(shí)，前一階波傳播頻率對(duì)應(yīng)的波速逐漸增大，第二階基本保持穩(wěn)定，第三階逐漸減小。同時(shí)，前三階波傳播頻率對(duì)應(yīng)的波傳播速度隨著軸向波數(shù)的增大逐漸趨于穩(wěn)定。當(dāng)非局部參數(shù)取不同數(shù)值時(shí)，波傳播速度隨著波數(shù)的變化曲線基本類(lèi)似，第一階波傳播頻率對(duì)應(yīng)的波傳播速度逐漸增大后趨于穩(wěn)定，第二階、第三階波傳播頻率對(duì)應(yīng)的波速逐漸減小并趨于穩(wěn)定。同時(shí)，隨著非局部參數(shù)的增大，波傳播速度逐漸變小。

圖6 非局部參數(shù)對(duì)于波傳播頻率的影響Fig.6 The effect of nonlocal parameter on the wave frequency

圖7 非局部參數(shù)對(duì)于波傳播速度的影響Fig.7 The effect of nonlocal parameter on the phase velocity

4.5 功能梯度指數(shù)對(duì)波數(shù)以及波速的影響

本節(jié)主要開(kāi)展功能梯度指數(shù)對(duì)非局部梯度梁波傳播頻率以及波傳播速度的影響進(jìn)行分析研究。通過(guò)設(shè)置不同的功能梯度指數(shù)，比較分析不同情況下波傳播頻率以及波傳播速度隨著波數(shù)的變化情況，本節(jié)所設(shè)置的功能梯度指數(shù)p分別為0.5，1.0，5.0，10.0。不同功能梯度指數(shù)下，波傳播速度隨著軸向波數(shù)的變化情況，如圖8所示。從圖8可知，當(dāng)非局部參數(shù)為零時(shí)，即經(jīng)典鐵摩辛科梁理論下，前三階波傳播頻率隨著軸向波數(shù)的變化逐漸增大。同時(shí)，隨著功能梯度指數(shù)的增大，波傳播頻率逐漸減小。當(dāng)非局部參數(shù)(e0a)2分別取值1×10-12，2×10-12，3×10-12時(shí)，前三階波傳播頻率隨著軸向波數(shù)的變化規(guī)律相似。通過(guò)比較可以看出，在相同條件下，隨著功能梯度指數(shù)的增加，波傳播頻率逐漸減小。

圖8 非局部參數(shù)對(duì)于波傳播頻率的影響Fig.8 The effect of power law exponent on the wave frequency

不同功能梯度指數(shù)下對(duì)應(yīng)的波傳播速度曲線，如圖9所示。通過(guò)比較可知，對(duì)于經(jīng)典鐵摩辛科梁理論以及非局部彈性理論而言，前三階波傳播頻率對(duì)應(yīng)的波傳播速度隨著軸向波數(shù)的變化規(guī)律類(lèi)似。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，在相同的條件下，隨著功能梯度指數(shù)的逐漸增大，波傳播速度逐漸減小。

圖9 非局部參數(shù)對(duì)于波傳播頻率的影響Fig.9 The effect of power law exponent on the phase velocity

5 結(jié) 論

基于非局部彈性理論，建立了非局部功能梯度鐵摩辛科梁的控制微分方程。同時(shí)，開(kāi)展了非局部功能梯度梁固有頻率以及波傳播特性研究。通過(guò)與現(xiàn)有文獻(xiàn)簡(jiǎn)支梁的頻率結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了本文計(jì)算方法的正確性。同時(shí)，通過(guò)比較分析不同非局部參數(shù)以及功能梯度指數(shù)對(duì)非局部功能梯度梁的固有頻率變化情況進(jìn)行對(duì)比，得出相應(yīng)的結(jié)論。最后，開(kāi)展不同參數(shù)對(duì)非局部功能梯度梁的波傳播頻率以及波傳播速度的影響規(guī)律，比較分析不同情況下波傳播頻率以及波傳播速度隨著軸向波數(shù)的變化曲線，得出相應(yīng)的結(jié)論。

(1) 通過(guò)選取算例，與現(xiàn)有文獻(xiàn)結(jié)果的固有頻率參數(shù)進(jìn)行對(duì)比，分析與本文結(jié)果的誤差，驗(yàn)證本文計(jì)算方法的正確性，為后續(xù)參數(shù)化研究奠定基礎(chǔ)。

(2) 比較分析非局部參數(shù)以及功能梯度參數(shù)對(duì)非局部功能梯度梁自由振動(dòng)特性的影響，可以看出，隨著非局部參數(shù)以及功能梯度參數(shù)的增大，對(duì)應(yīng)的頻率參數(shù)逐漸減小。

(3) 開(kāi)展非局部功能梯度梁波傳播特性的研究，對(duì)非局部參數(shù)以及功能梯度參數(shù)對(duì)波傳播頻率以及波傳播速度的影響，分析變化規(guī)律，為后續(xù)的研究提供一定的理論基礎(chǔ)。

附錄A

(A.1)

(A.2)

(A.3)

(A.4)

(A.5)