太沙基地基極限承載力系數(shù)的進一步討論

程國勇，王兆源，劉大海

（1.中國民航大學交通科學與工程學院，天津 300300；2.深圳市地質(zhì)局，廣東 深圳 518023）

條形基礎(chǔ)的太沙基地基極限承載力理論[1]是最具代表性和應用最廣泛的地基承載力理論，其地基極限承載力計算通式為

式中：Nq、Nc、Nγ為地基承載力系數(shù)；q 為基礎(chǔ)兩側(cè)外荷載；c 為土體粘聚力；γ 為地基土重度；B 為基礎(chǔ)底面寬度。

文獻[1-2]給出了基底完全光滑及完全粗糙情況下Nq和Nc的確切解析式如下

式中：ψ 為基礎(chǔ)下剛性核兩側(cè)邊與水平面夾角；φ 為摩擦角。 但其對于Nγ僅給出了含有待定系數(shù)的準解析式如下

式中kpγ為被動土壓力系數(shù)，需經(jīng)試算確定。

文獻[3-8]給出了基底特定情況下Nγ的經(jīng)驗公式或基于經(jīng)驗公式的數(shù)值表。在基底完全光滑條件下（ψ=π/4+φ/2），常見的經(jīng)驗公式如下

在基底完全粗糙條件下（ψ=φ），常見的經(jīng)驗公式不僅包括式（5），還有其他經(jīng)驗公式如下

從式（5）～式（8）可以看出，以上這些經(jīng)驗公式差別較大且相互間可能存在矛盾，對公式的來歷、考慮因素等缺乏系統(tǒng)的闡述而難以深究。 這種狀況給地基承載力理論的學習及應用帶來不少困惑。 文獻[9-10]對Nγ的確切表達式進行了研究，并給出了基底完全粗糙條件下Nγ的解析解和基底一般粗糙條件下的完整解析解如下

但經(jīng)進一步的嚴格理論分析發(fā)現(xiàn)，式（9）及式（10）在推導過程中存在疏漏。

根據(jù)上述分析，基于極限平衡原理對太沙基地基極限承載力這一經(jīng)典問題重新進行了嚴格理論分析，對以往研究的不足進行了糾正并與相關(guān)文獻資料進行了對比，進一步促進太沙基地基極限承載力理論的學習和應用，并為相關(guān)研究工作提供參考或借鑒。

1 地基極限承載力的理論分析

1.1 參數(shù)說明

參數(shù)說明如表1 所示。

表1 參數(shù)說明Tab.1 List of parameters

1.2 原理

本研究仍采用太沙基地基極限承載力理論的3條假定[1-2]：

（1）基礎(chǔ)底面粗糙，剛性核與兩側(cè)面與水平面夾角為ψ；

（2）不考慮基底以上基礎(chǔ)兩側(cè)土體抗剪強度影響，僅將其看作均布荷載；

（3）地基中滑動土體分為三角形壓密區(qū)（剛性核）、朗肯被動區(qū)以及對數(shù)螺旋線過渡區(qū)。

太沙基理論計算圖示如圖1 所示。

圖1 太沙基理論計算圖示Fig.1 Calculation scheme of Terzaghi’s formulas

從圖1 中可看出，當?shù)鼗l(fā)生破壞時，土體沿bde和bd′e′滑動，和是對數(shù)螺旋曲線，de 和d′e′是直線，與水平面的夾角等于，即ade 及a′d′e′區(qū)為朗肯被動區(qū)。 從圖1 中可得到三角形壓密區(qū)（剛性核）aa′b 與對數(shù)螺旋曲線過渡區(qū)a′bd′之間分界線段a′b 長度，計算公式如下

取aa′b 為隔離體，受力分析如圖2 所示。

圖2 剛性核受力分析Fig.2 Analysis of rigid core force

根據(jù)幾何條件可知Ep與豎直方向夾角為ψ-φ，根據(jù)靜力平衡條件可得

從式（13）可以看出，只要求出了Ep，則地基的極限承載力就可確定。

1.3 剛性核側(cè)面被動土壓力Ep 的求解

從上述分析可知， 地基極限承載力qu求解的關(guān)鍵在于首先要求得Ep。為便于求解，取a′bd′e′為隔離體， 并分解為以下3 種情況分別求解Ep的反作用力及

僅考慮地基土自重情況下（即q=0、c=0、γ ＞0），隔離體a′bd′e′受力情況如圖3 所示。

圖3 重力引起的被動土壓力Fig.3 Passive earth pressure caused by gravity

從圖3 中可看出，G1、G2分別為朗肯被動區(qū)a′d′e′及對數(shù)螺旋線過渡區(qū)a′d′b 的重力；滑動面上反力分布為三角形且分別與各自的法線夾角為φ。分別求隔離體a′bd′e′所受外力對于a′的力矩（以順時針為正）。

1）G1對于a′點力矩Mγ1（順時針）

G1對于a′點力矩Mγ1（順時針）可表示為

式中G1可表示為

2）G2對于a′點力矩Mγ2（逆時針）

G2對于a′點力矩Mγ2（逆時針）可表示為

式中Rr可表示為

僅考慮基礎(chǔ)兩側(cè)外荷載作用（即q ＞0、c ＞0、γ ＞0）情況下，隔離體a′bd′e′受力情況，如圖4 所示。

圖4 外荷載引起的被動土壓力Fig.4 Passive earth pressure caused by load

式中

2）外荷載q 對a′點的力矩Mq2（順時針）

Mq2可表示為

僅考慮土體粘聚力c 時（即q=0、c ＞0、γ=0）情況下，隔離體a′bd′e′受力情況如圖5 所示。

圖5 粘聚力引起的被動土壓力Fig.5 Passive earth pressure caused by cohesion

滑動面上土體粘聚力c 對于a′點的力矩（順時針）表示為

1.3.4 被動土壓力匯總

上述3 種情況分別求得的被動土壓力進行疊加，即

1.4 地基承載力系數(shù)的計算

根據(jù)剛性核的受力分析，將式（33）代入式（13）并整理可得

根據(jù)式（1）可得Nq、Nc、Nγ3 個承載力系數(shù)。

1.5 對比分析

從上述分析過程可以看出，依據(jù)太沙基地基極限承載力理論最初的假設(shè)及計算模型，經(jīng)嚴格理論推導可得到3 個承載力系數(shù)的確切表達式。 其中：Nγ與當前文獻研究均不同， 而Nq和Nc兩個系數(shù)的表達式和相互關(guān)系表述與所有土力學教材或文獻完全一致。

將本研究所得Nγ與當前文獻經(jīng)驗公式或數(shù)值進行列表對比，如表2 所示。

表2 文中Nγ 公式與當前文獻經(jīng)驗公式或數(shù)值對比Tab.2 Comparsion of the Nγ formula in this thesis with empirical formulas or statistics in cited works

2 結(jié)語

本研究從太沙基地基承載力這一經(jīng)典課題出發(fā)，通過數(shù)學推導的方法得出3 個地基承載力系數(shù)的解析解，拓寬了原有理論的適用范圍，提出結(jié)論如下。

（1）從太沙基地基極限承載力理論基本假設(shè)及計算模型出發(fā)，經(jīng)嚴格力學分析可得到承載力系數(shù)Nγ的確切表達式而不必附加其他條件，例如待定系數(shù)、試算等。 對此問題的澄清不僅對太沙基地基極限承載力理論的完備有學術(shù)價值，對地基極限承載力理論的學習、工程應用及學術(shù)研究也有參考價值。

（2）在以前類似研究的基礎(chǔ)上重新推導得到Nγ的表達式，糾正了以前研究過程中的漏項及筆誤，并通過了反復校核。 基于相同假定及計算模型同步推導得出的另外兩個承載力系數(shù)Nq和Nc與當前所有土力學教材或文獻完全一致，也從側(cè)面間接印證了所求Nγ表達式的正確性。

（3）由于基本假定及計算模型等方面與實際情況的差異，理論推導得到的Nγ未必能直接用于工程實踐，需要利用實測數(shù)據(jù)進行修正，與此問題的理論探究并不沖突。將文中Nγ表達式與其他經(jīng)驗公式或數(shù)值表進行列表展示也僅為便于應用和理解，相互之間并不能相互驗證或糾正。