基于微分方程的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)輿論傳播模型研究與分析

周小紅

(北京農(nóng)業(yè)職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部，北京 102442)

隨著網(wǎng)絡(luò)、大數(shù)據(jù)、物聯(lián)網(wǎng)、通信技術(shù)[1-2]的不斷發(fā)展，人們每時(shí)每刻都在不停的接收新的信息。豐富的信息獲取途徑一方面給人們生活帶來便利，另一方面也帶來了網(wǎng)絡(luò)中虛假輿論信息大規(guī)模傳播的隱患[3-5]。虛假輿論信息會(huì)對(duì)個(gè)人、公司企業(yè)甚至公共安全產(chǎn)生破壞性影響。因此，亟需準(zhǔn)確把握網(wǎng)絡(luò)中虛假輿論信息傳播過程的特點(diǎn)[6]，為遏制虛假信息傳播提供相應(yīng)的對(duì)策，這已成為應(yīng)對(duì)輿論危機(jī)、減少虛假信息傳播惡劣影響的重要課題。

為此，大量學(xué)者針對(duì)輿論傳播進(jìn)行研究，并取得了豐碩成果。徐銘達(dá)等[7]基于模體度對(duì)社交網(wǎng)絡(luò)虛假信息傳播機(jī)制進(jìn)行了研究，提出了廣度模體度與深度模體度的概念來量化傳播網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)重要指標(biāo)；張帥[8]運(yùn)用卡方檢驗(yàn)和方差分析揭示社交媒體虛假健康信息的顯著特征，并構(gòu)建了社交媒體虛假健康信息特征清單；張帥等[9]基于統(tǒng)計(jì)分析、文本分類和主題挖掘技術(shù)，探究了信息疫情下網(wǎng)絡(luò)虛假信息隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)傳播特征及演化規(guī)律；郭成等[10]提出了一種真假信息傳播能力評(píng)估的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，并對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的信息傳播能力進(jìn)行評(píng)估。上述研究中用于描述網(wǎng)絡(luò)虛假輿論信息傳播行為的模型大多是確定性模型，很少有針對(duì)傳播的隨機(jī)模型。但在現(xiàn)實(shí)世界中，輿論傳播模型往往受到環(huán)境噪音的影響。特別是在突發(fā)事件中，當(dāng)虛假信息廣泛傳播時(shí)，傳播過程受到許多不確定因素的影響，從而增加了傳播過程的波動(dòng)性。

為改善上述問題，本文基于輿論傳播模型(spreader ignorant removed，SIR)，提出了媒體影響下的網(wǎng)絡(luò)虛假輿論傳播模型非線性動(dòng)力學(xué)模型。首先，將隨機(jī)白噪聲引入非線性動(dòng)力學(xué)傳播模型，從而使模型更加真實(shí)反應(yīng)現(xiàn)實(shí)情況；其次，對(duì)模型進(jìn)行了數(shù)學(xué)分析，從而以理論推斷輿論傳播方式以及系統(tǒng)在平衡點(diǎn)最終狀態(tài)；最后，運(yùn)用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值模擬。

1 網(wǎng)絡(luò)虛假輿論傳播模型

經(jīng)典的SIR可描述為一個(gè)[11-12]傳染病模型：其中S表示傳播者，即接受輿論并傳播輿論的節(jié)點(diǎn)；I表示無知者，其沒有接觸輿論，也不會(huì)傳播輿論，但可能通過接觸傳播者節(jié)點(diǎn)而成為傳播者；R表示醒悟者，即在接觸輿論后最終決定停止傳播輿論的節(jié)點(diǎn)。輿論在一定范圍內(nèi)的社區(qū)進(jìn)行傳播，令傳播總?cè)藬?shù)為N，則有：

N=S+I+R

(1)

考慮到傳播總?cè)藬?shù)可變，且由于不同類型的個(gè)體之間的接觸，信息經(jīng)傳輸和擴(kuò)散后，接觸個(gè)體的類型也可能發(fā)生變化。在媒體的影響下，本文對(duì)傳統(tǒng)SIR模型進(jìn)行了進(jìn)一步擴(kuò)展，建立了網(wǎng)絡(luò)虛假輿論傳播模型非線性動(dòng)力學(xué)模型，具體描述為：

(2)

其中，Λ為遷移率，即個(gè)體以一定速率進(jìn)入給定社區(qū)；θ為無知者的免疫力，即在政府干預(yù)的影響下，一些無知者θI對(duì)虛假信息有自己的判斷，即對(duì)虛假信息免疫，直接成為醒悟者；β1是無知者與傳播者接觸、接收和傳播輿論的概率，β1IS是指一些無知者選擇相信傳播者的信息并成為傳播者；β2是容易受影響的個(gè)體與傳播者接觸時(shí)，傳播產(chǎn)生最大影響的概率；β2S/m+S表示當(dāng)無知者I接觸傳播者S時(shí)，媒體阻止虛假信息傳播的概率，隨著傳播人數(shù)的增加，媒體相應(yīng)地增加報(bào)道強(qiáng)度，以防止個(gè)人相信和傳播虛假信息；當(dāng)傳播人數(shù)趨于無窮大時(shí)，媒介對(duì)傳播概率的影響最終達(dá)到β2的最大值；m為飽和系數(shù)，用來衡量媒體報(bào)道對(duì)傳播的影響；考慮到媒體報(bào)道可以減緩虛假信息的傳播和擴(kuò)散，但不能完全阻止其傳播，因此假設(shè)β1>β2；μ為醒悟率，表征每組個(gè)體因某種原因成為醒悟者，從而在接觸虛假信息后最終決定停止傳播；λ為傳播者S遇到醒悟者R，且傳播者失去繼續(xù)傳播虛假信息動(dòng)力的概率。

在虛假輿論傳播過程中，相關(guān)媒體會(huì)根據(jù)事件的變化調(diào)整報(bào)道策略。事件本身是一個(gè)隨機(jī)事件，特別是在緊急事件中，官方媒體的報(bào)道可能會(huì)受到政府等外部環(huán)境因素的影響，因此本文在非線性動(dòng)力學(xué)模型(式(2))的基礎(chǔ)上加入隨機(jī)白噪聲，從而使模型更加真實(shí)反應(yīng)現(xiàn)實(shí)情況。加入隨機(jī)白噪聲的非線性動(dòng)力學(xué)傳播模型可描述如下：

(3)

其中，B1(t)、B2(t)和B3(t)是獨(dú)立的布朗運(yùn)動(dòng)，δ1、δ2和δ3為隨機(jī)白噪聲強(qiáng)度。進(jìn)一步，可定義以下隨機(jī)系統(tǒng)：

dX(t)=F(t,X(t))dt+G(t,X(t))dB(t)

(4)

其中，F(xiàn)(t,X(t))為[t0,+∞)∈Rd中定義的函數(shù)，G(t,X(t))為d×m維矩陣。此外，F(xiàn)(t,X(t))和G(t,X(t))均為具有一個(gè)Lipschitz常數(shù)。B(t)為一個(gè)m維維納過程。進(jìn)一步，令

Sh={x∈Rd:|x|

(5)

其中，|x|為歐幾里德范式。因此，微分算子可在如下定義的函數(shù)上運(yùn)行

V∈C1,2(R+×Sh;R+)

(6)

綜上，有

[GT(t,x)Vx(x,t)G(x,t)]

(7)

dV(t,x(t))=L(t,x(t))dt+Vx(t,x(t))δ(t,x(t))dB(t)

(8)

(9)

(10)

(11)

2 數(shù)學(xué)分析

2.1 正不變集分析

基于微分方程穩(wěn)定性[13]理論，接下來對(duì)模型進(jìn)行了數(shù)學(xué)分析。由于該模型描述的網(wǎng)絡(luò)虛假輿論是以人傳人動(dòng)態(tài)過程中傳播，因此所涉及的參數(shù)均假設(shè)為非負(fù)值。

引理令網(wǎng)絡(luò)虛假輿論非線性動(dòng)力學(xué)傳播模型的閉集為D，其定義如下：

D={(I,S,R3):N≤μ}

(12)

則D為正不變集。

證明考慮到傳播總?cè)藬?shù)定義為N=S+I+R，則有

=Λ-μ(S+I+R)

=Λ-μN(yùn)

(13)

進(jìn)一步，有

(14)

當(dāng)t≥0，有N(0)≤Λ/μ，N(t)≤Λ/μ。在初始條件下，模型的所有解都在閉集D中，因此閉集D是正不變集。

從引理可知，當(dāng)t趨于無窮大時(shí)，N→Λ/μ，為了簡化模型的求解，本文考慮網(wǎng)絡(luò)虛假輿論非線性動(dòng)力學(xué)傳播模型的極限系統(tǒng)情況：

(15)

令系統(tǒng)的右側(cè)為零，可得到

(16)

因此，有

G(S*)=S*g(S*)

=S*(a(S*)2+bS*+c)=0

(17)

a=(β1-β2)(λΛ+μ2)

(18)

b=(mβ1+θ)λΛ-(β1-β2)Λμ+

(mβ1+θ)μ2+μ3

(19)

c=m(-β1Λμ+μ3+θ(λΛ+μ2))

(20)

當(dāng)S*=0時(shí)，有I*=Λ/(θ+μ)，最終狀態(tài)為虛假輿論傳播者S消失，無知者I趨于常數(shù)，則狀態(tài)方程的平衡點(diǎn)為E(0)，則有

(21)

同理，當(dāng)S*≠0時(shí)，則有

(22)

進(jìn)一步，可根據(jù)方程g(S*)=a(S*)2+bS*+c=0計(jì)算S*。因此，最后的狀態(tài)為存在虛假信息傳播者S，無知者I趨于常數(shù)，該狀態(tài)方程的平衡點(diǎn)定義為E*，則有

E*=(I*,S*)

(23)

因此，根據(jù)假設(shè)，有β1>β2，故有a>0。此外，當(dāng)c1≥0，則有-β1Λμ+μ3+θ(λμ+μ2)≥0，令R0為虛假輿論持續(xù)和消失的閾值，則有

(24)

參數(shù)b可計(jì)算如下：

m=(mβ1+θ)λΛ-(β1-β2)λμ+

(mβ1+θ)μ2+μ3

(25)

當(dāng)c<0時(shí)，R0>1時(shí)，無論b是正的還是負(fù)的，g(S*)=0都有唯一的正解。因此，當(dāng)R0<1時(shí)，無論虛假輿論傳播的初始狀態(tài)如何，傳播者最終趨于消亡，虛假信息受到良好的控制。相反，如果R0>1，這三個(gè)組最終趨于一個(gè)穩(wěn)定值，則虛假信息將持續(xù)傳播。

2.2 正解存在唯一性分析

令隨機(jī)白噪聲的非線性動(dòng)力學(xué)模型(式(3))中的I(t)、S(t)和R(t)分別表示t時(shí)刻無知種群、感染種群和醒悟種群的種群密度。在給定初始值條件下，本節(jié)基于李亞普諾夫分析方法對(duì)隨機(jī)白噪聲的非線性動(dòng)力學(xué)傳播模型是否有唯一的全局解進(jìn)行分析。

N,I(t)+S(t)+R(t)=N}

(26)

進(jìn)一步，僅需證明τe=∞，從而說明該解為全局解。本文證明了(I(t),S(t),R(t))在有限時(shí)間內(nèi)不會(huì)爆發(fā)到無窮大。令k0>0足夠大，使得(I(0),s(0),r(0))位于區(qū)間[1/k0,k0]內(nèi)。對(duì)于每個(gè)整數(shù)k>k0，停止時(shí)間τk可定義如下：

τk=inf{t∈[0,τe):I(t)?(1/k,k)orR(t)?(1/k,k)}

(27)

P{τk≤T}≥ε,?k≥k1

(28)

(29)

令X(t)=(I(t),S(t),R(t))，進(jìn)一步通過使用It公式并計(jì)算其期望，可以得到對(duì)于所有k≥k0，有

(30)

其中，L1可計(jì)算如下:

L1

≤Λ+(a1β1-μ)S+a1(θ+μ)+(b1β1+θ-

(31)

令a1=μ/β1，b1=(μ-θ)/β1，則有

(32)

綜上，結(jié)合式(32)和式(30)，有

0≤E(V1(X(TΛτk)))≤V1(X(0))+m0T

(33)

令Ωk={τk≤T}，對(duì)于?k≥k1和P{τk≤T}≥ε，有P{Ωk}≥ε和V1(X(TΛtk))≥0，即

E(V1(X(TΛτk)))=E(1ΩkV1(X(TΛτk)))+

E(1ΩkV1(X(TΛτk)))≥E(1ΩkV1(X(τk)))

(34)

其中，1Ωk是函數(shù)Ωk的特征函數(shù)。對(duì)于?ω≥Ωk，X(τk,ω)=(I(τk,ω),S(τk,ω),R(τk,ω))的某些分量等于1/k或k，因此，有

V1(X(τk,ω))≥A(k)

(35)

其中，

A(k)=min(f(1,k),f(1,1/k),f(μ/β1,1/k),f(μ/β2,k),f(μ/β2,1/k))

(36)

同時(shí)，有f(a1,x)=x-a1-a1log(x/a1)。

結(jié)合式(33)—(35)，有

V1(I(0),S(0))≥E(1ΩkV1(S(TΛτk)),I(TΛτk))≥

A(k)P(Ωk)≥A(k)

(37)

將k擴(kuò)展至∞，有

∞>V1(I(0),S(0),R(0))+m0T=∞

(38)

式(38)矛盾，故必須有τe=∞。因此，可得出結(jié)論I(t)、S(t)和R(t)為正解且為全局解。證畢。

3 數(shù)值模擬分析

為驗(yàn)證所提模型準(zhǔn)確性及有效性，本節(jié)基于MATLAB 2019A對(duì)模型進(jìn)行數(shù)值模擬。設(shè)置兩組試驗(yàn)，分別對(duì)網(wǎng)絡(luò)虛假輿論傳播模型非線性動(dòng)力學(xué)模型(式(2))和隨機(jī)白噪聲非線性動(dòng)力學(xué)傳播模型(式(3))進(jìn)行驗(yàn)證。仿真時(shí)選擇時(shí)間步長Δ=10-3，兩組試驗(yàn)涉及的相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 數(shù)值模型時(shí)相關(guān)參數(shù)Tab.1 Relevant parameters of numerical model

圖1 試驗(yàn)1中確定模型和白噪聲模型數(shù)值模擬結(jié)果Fig.1 Numerical simulation results of determined model and white noise model in test 1

根據(jù)公式(24)，試驗(yàn)1中R0=0.197 1<1。圖1所示為試驗(yàn)1條件下確定模型(網(wǎng)絡(luò)虛假輿論傳播模型非線性動(dòng)力學(xué)模型(式(2)))和白噪聲模型(隨機(jī)白噪聲非線性動(dòng)力學(xué)傳播模型(式(3)))數(shù)值模擬結(jié)果。其中，橫軸分別表示系統(tǒng)仿真時(shí)間，縱軸分別為為無知者I、傳播者S和醒悟者R的人數(shù)?？梢钥闯觯摷佥浾搨鞑サ囊?guī)模逐漸減小，直到最終趨于消亡(S=0)，這意味著輿論將得到控制。此外，確定模型曲線較為平滑，白噪聲模型波動(dòng)明顯，且確定模型曲線均沿著白噪聲模型曲線波動(dòng)。

圖2 試驗(yàn)2中確定模型和白噪聲模型數(shù)值模擬結(jié)果Fig.2 Numerical simulation results of determined model and white noise model in test 2

同理，根據(jù)公式(24)，試驗(yàn)2中R0=1.75>1。圖2所示為試驗(yàn)2條件下確定模型(網(wǎng)絡(luò)虛假輿論傳播模型非線性動(dòng)力學(xué)模型(式(2)))和白噪聲模型(隨機(jī)白噪聲非線性動(dòng)力學(xué)傳播模型(式(3)))數(shù)值模擬結(jié)果。其中，橫軸分別表示系統(tǒng)仿真時(shí)間，縱軸分別為為無知者I、傳播者S和醒悟者R的人數(shù)?？梢钥闯?，系統(tǒng)最終狀態(tài)為三組人數(shù)總數(shù)趨于一個(gè)恒定的值，并在系統(tǒng)中共存，此時(shí)仍然存在虛假輿論。一旦外部條件發(fā)生變化，系統(tǒng)平衡打破，輿論將繼續(xù)傳播。同理，確定模型曲線較為平滑，白噪聲模型波動(dòng)明顯，且確定模型曲線均沿著白噪聲模型曲線波動(dòng)。

綜上，模型數(shù)值模擬情況與引理(正不變集分析)以及定理(正解存在唯一性分析)理論分析結(jié)果一致。因此，數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了所提模型的有效性。

4 結(jié)論

本文基于SIR傳染病模型對(duì)網(wǎng)絡(luò)虛假輿論傳播進(jìn)行了研究與分析，建立了一種確定型的網(wǎng)絡(luò)虛假輿論傳播模型非線性動(dòng)力學(xué)模型和隨機(jī)的白噪聲非線性動(dòng)力學(xué)傳播模型。基于微分方程穩(wěn)定性理論，分別對(duì)確定型和隨機(jī)性模型進(jìn)行了數(shù)學(xué)分析，從而確定輿論傳播方式以及系統(tǒng)在平衡點(diǎn)最終狀態(tài)。該模型為政府或新聞媒體部門分析網(wǎng)絡(luò)中虛假輿論傳播以及輿論引導(dǎo)提供了一定借鑒作用。

本文研究主要集中與輿論中虛假信息傳播，然而輿論除包含負(fù)面因素，還存在正向輿論信息。未來可對(duì)輿論中正面信息傳播研究，從而積極引導(dǎo)輿論導(dǎo)向。