非量測相機(jī)附加參數(shù)光束檢校改進(jìn)算法研究

岳文鵬,吳兆福,方云飛

(合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

0 引 言

隨著近景攝影測量技術(shù)的發(fā)展,非量測相機(jī)因體積小、質(zhì)量輕、使用方便靈活、價格低廉等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于工業(yè)、建筑學(xué)等研究領(lǐng)域,但其光學(xué)畸變較大、不能記錄內(nèi)方位元素的缺陷影響測量精度,從而限制了非量測相機(jī)在實(shí)際生產(chǎn)中的應(yīng)用范圍[1-4]。對非量測相機(jī)進(jìn)行相機(jī)檢校可提高其應(yīng)用的廣泛性,針對非量測相機(jī)的檢校方法已成為近年來的研究熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[5]將直接線性變換(direct linear transformation,DLT)解法應(yīng)用于非量測相機(jī)的相機(jī)檢校,但該方法只能獨(dú)立處理單個模型,模型與模型之間不能整體平差[6];附加約束條件的DLT方法[7]考慮到l系數(shù)之間的相關(guān)性[8],通過附加一定的約束條件,解決內(nèi)方位元素的不確定性問題,但附加的約束條件一般為已知的相機(jī)參數(shù),因此該方法不適用于非量測相機(jī)的檢校工作;文獻(xiàn)[1]研究了基于附加參數(shù)光束法平差法在非量測型數(shù)碼相機(jī)檢校中的應(yīng)用,該方法理論最為成熟、嚴(yán)密,檢校的結(jié)果也最為精確,廣泛應(yīng)用于非量測數(shù)碼相機(jī)的檢校,但平差迭代的次數(shù)和最終平差精度對初始值的依賴性仍然沒有得到較好的改善[6,9]。

針對上述問題,本文將經(jīng)典DLT求解出的內(nèi)、外方位元素作為附加參數(shù)光束法平差法的初始值,克服光束法對初始值依賴性強(qiáng)的缺陷,減少迭代次數(shù),同時對附加參數(shù)光束法的參數(shù)模型進(jìn)行分析和優(yōu)化,在一般參數(shù)模型的基礎(chǔ)上,引入比例尺不一致誤差dS和x、y軸不正交誤差dβ2類參數(shù),并將像片主距f分解成fx、fy2個參數(shù),從而進(jìn)一步有利于數(shù)據(jù)的處理。通過室內(nèi)三維控制場,對本文提出的附加參數(shù)光束檢校改進(jìn)算法和常規(guī)算法進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn),并對檢校參數(shù)和平差結(jié)果進(jìn)行精度評定和可行性分析。

1 DLT解法和附加參數(shù)的光束法

1.1 DLT解法

共線條件方程一般式為:

(1)

由(1)式可演變出DLT一般表達(dá)式為:

(2)

其中:(x,y)為像點(diǎn)坐標(biāo);(X,Y,Z)為相應(yīng)地面點(diǎn)坐標(biāo);(Xs,Ys,Zs)為攝影中心的物方空間坐標(biāo);f為像片主距;ai、bi、ci(i=1,2,3)為3個角元素所生成的旋轉(zhuǎn)矩陣中的方向余弦;li(i=1,2,…,11)為相互獨(dú)立的DLT系數(shù)。若已知6個以上控制點(diǎn)的物方坐標(biāo)[10],則由(2)式可解出l系數(shù),從而可求解內(nèi)方位元素,公式為:

fy=fx/(1+dS)

(3)

其中:(x0,y0)為主點(diǎn)坐標(biāo);fx、fy為x、y軸方向的焦距。

由于非量測相機(jī)鏡頭畸變差相對比較大、像點(diǎn)坐標(biāo)的量測存在一定的誤差等因素,直接處理拍攝的像片,會降低l系數(shù)的解算精度,對內(nèi)、外方位元素及待定點(diǎn)物方空間坐標(biāo)的解算造成不良影響,需要考慮引入誤差參數(shù)。當(dāng)有多余觀測值時,應(yīng)引入像點(diǎn)坐標(biāo)觀測值的改正數(shù)(vx,vy)與像點(diǎn)坐標(biāo)的非線性改正數(shù)(Δx,Δy), 則(2)式調(diào)整為:

(4)

(Δx,Δy)主要是光學(xué)畸變差,其計算公式為:

(5)

根據(jù)(4)式、(5)式可推導(dǎo)出引入誤差參數(shù)后像點(diǎn)坐標(biāo)觀測值的誤差方程式與對應(yīng)的法方程,并解算出l系數(shù)的精確值及畸變參數(shù),進(jìn)而通過(3)式求解出精確的內(nèi)方位元素。上述的平差過程是一個迭代的過程,其初始值可按(2)式、(3)式直接解算,其迭代依據(jù)為2次迭代結(jié)果之差小于閾值0.01 mm[11-12]。

1.2 附加參數(shù)的光束法

附加參數(shù)的光束法是由共線條件方程式演繹而來,其基本關(guān)系式為:

(6)

光束法平差中附加的參數(shù)模型為:

(7)

將控制點(diǎn)坐標(biāo)視為真值,像點(diǎn)坐標(biāo)視為觀測值,畸變參數(shù)和待定點(diǎn)的空間坐標(biāo)視為未知數(shù)時,附加參數(shù)的光束法平差的像點(diǎn)坐標(biāo)誤差方程為:

(8)

(8)式可簡寫為:

(9)

2 附加參數(shù)光束法改進(jìn)算法

非量測型數(shù)碼相機(jī)在進(jìn)行相機(jī)檢校前應(yīng)確認(rèn)相機(jī)框標(biāo)理論坐標(biāo)的準(zhǔn)確性,或者是以足夠高的精度去測定框標(biāo)坐標(biāo)誤差,包括坐標(biāo)軸比例尺不一致誤差dS和坐標(biāo)軸不垂直等因素引起的坐標(biāo)軸不正交誤差dβ[13]。通常像素在x、y方向大小一致,此時x、y方向的主距fx、fy有效值相等,可用f代替fx和fy;而fx和fy的有效值不相等時,f應(yīng)分解成fx和fy,否則將對檢校的精度產(chǎn)生一定的影響。光束法平差構(gòu)建誤差方程時往往采用泰勒級數(shù)展開,它對初始值有很強(qiáng)的依賴性,在近景攝影測量中整體廣義逆求解比較慢[14],初始值的質(zhì)量會影響迭代次數(shù)與最終的平差精度。針對以上問題,本文提出附加參數(shù)光束法改進(jìn)算法,算法流程如圖1所示。

圖1 附加參數(shù)光束法改進(jìn)算法流程圖

DLT無需內(nèi)方位元素值和外方位元素的初始近似值,特別適用于非量測相機(jī)所攝影像的攝影測量處理[13],同時,在控制點(diǎn)精度足夠高時,有可能獲得與自檢校光束法平差同等的精度[14]。因此, DLT可以為附加參數(shù)光束法平差提供高精度的內(nèi)、外方位元素初始值。

當(dāng)像素在x、y方向大小不一致時,fx和fy的有效值不相等,因此附加參數(shù)光束法平差的基本關(guān)系式須改寫為:

(10)

非量測相機(jī)存在誤差dS、dβ,可能對檢校精度產(chǎn)生一定的影響,應(yīng)將其考慮到光束法平差中附加的參數(shù)模型中。將(9)式泰勒級數(shù)線性化后可得到像點(diǎn)坐標(biāo)誤差方程。則有:

(11)

(12)

其中,Lx、Ly分別為x、y軸方向的常數(shù)項(xiàng)。

當(dāng)不考慮控制點(diǎn)坐標(biāo)誤差時,可消去ΔX、ΔY和ΔZ3項(xiàng)。在進(jìn)行光束法相機(jī)檢校解算時,(12)式往往不穩(wěn)定,可對觀測值加以適當(dāng)?shù)臋?quán)進(jìn)行平差,以確保方程解算結(jié)果的穩(wěn)定性[15]。本文在附加參數(shù)光束法平差解法的基礎(chǔ)上,考慮fx、fy的有效值不一致、dS、dβ等因素,對原模型進(jìn)行改進(jìn),改進(jìn)后的附加參數(shù)光束法平差的誤差方程可由(8)式、(10)式、(12)式推導(dǎo),其誤差方程為:

(13)

其中:I1、I2、I3分別為內(nèi)、外方位元素和系統(tǒng)誤差改正數(shù)所對應(yīng)的單位矩陣;Vi、Pi(i=1,2,…,5)分別為控制點(diǎn)像點(diǎn)坐標(biāo),待定點(diǎn)像點(diǎn)坐標(biāo),內(nèi)、外方位元素和系統(tǒng)誤差觀測值所對應(yīng)的改正數(shù)矩陣與權(quán)陣;Ac、Au、Bu、C、Dad為相應(yīng)的系數(shù)矩陣,下標(biāo)c表示控制點(diǎn);L1、L2為常數(shù)項(xiàng)向量。

(13)式向量表達(dá)式為:

V=NX-W,P

(14)

根據(jù)最小二乘原理建立(14)式的法方程為:

X=(NTPN)-1NTPW

(15)

根據(jù)(14)式、(15)式可解算內(nèi)方位元素和相機(jī)畸變參數(shù),為獲取高精度解算結(jié)果,該解算過程需要反復(fù)迭代,初始權(quán)陣為單位陣,迭代時以驗(yàn)后估權(quán)的方式賦值。

3 實(shí)驗(yàn)分析

3.1 實(shí)驗(yàn)相機(jī)

本實(shí)驗(yàn)采用Canon EOS 5D Mark Ⅲ單反數(shù)碼相機(jī),為一款非量測型數(shù)碼相機(jī),其在拍攝時可固定焦距。該相機(jī)CMOS芯片尺寸為36 mm×24 mm,分辨率為5 760像素×3 840像素,像素大小為6.46 μm,焦距為35 mm。

3.2 影像數(shù)據(jù)

本實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是在武漢大學(xué)遙感信息工程學(xué)院的室內(nèi)三維控制場完成的。為確保獲得穩(wěn)定的內(nèi)方位元素值,實(shí)驗(yàn)中將相機(jī)物鏡焦距固定在無窮遠(yuǎn)處[16],采取手動曝光方式。在室內(nèi)三維控制場內(nèi)3個攝站分別拍攝3張影像,如圖2所示,3個攝站的攝影距離基本保持為5 m,其三維示意圖如圖3所示。

圖2 室內(nèi)三維控制場影像

圖3 影像拍攝三維示意圖

3.3 相機(jī)檢校

為了提高檢校精度,將3張影像分別組合成3個立體像對計算,第1個像對由左視圖和正視圖組成,第2個像對由正視圖和右視圖組成,第3個像對由左視圖和右視圖組成。實(shí)驗(yàn)所用的三維坐標(biāo)由三維控制場提供,在量取像點(diǎn)坐標(biāo)后,通過自主開發(fā)的程序分別對3組數(shù)據(jù)進(jìn)行計算,檢查點(diǎn)坐標(biāo)中誤差(以室內(nèi)三維控制場提供的物方坐標(biāo)為真值)從第1組到第3組依次分別為1.390 5、0.662 4、0.648 2 mm,檢校參數(shù)和檢校參數(shù)中誤差分別見表1、表2所列。

表1 檢校參數(shù)

表2 檢校參數(shù)中誤差 單位:μm

從表2可以看出,本次相機(jī)檢校實(shí)驗(yàn)獲得的內(nèi)方位元素中誤差遠(yuǎn)小于檢校精度要求0.01 mm,顯然本次實(shí)驗(yàn)精度良好,同時由于加權(quán),x0、y0、fx及fy的中誤差幾乎一致。若2個攝站與被攝物體的夾角為θ,根據(jù)圖3和上述3組數(shù)據(jù)檢查點(diǎn)坐標(biāo)中誤差可知,3組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的夾角θ是逐漸變大的,而檢查點(diǎn)坐標(biāo)精度也隨之提高,顯然夾角θ與檢校精度成正比例關(guān)系。

3.4 對比分析

為了驗(yàn)證本文算法,取第2組像對,采用3種方法分別解算檢查點(diǎn)三維坐標(biāo),DLT解法、附加參數(shù)光束法平差解法、本文改進(jìn)的附加參數(shù)光束算法解算的檢查點(diǎn)坐標(biāo)中誤差分別為0.801 9、0.723 9、0.648 2 mm。由此可見,本文改進(jìn)算法的檢查點(diǎn)坐標(biāo)中誤差最小,明顯優(yōu)于其他2種方法,相比于DLT解法,其精度提高19.17%。

3.5 附加參數(shù)模型分析

在相機(jī)檢校的過程中,引入過多的參數(shù)會導(dǎo)致最終計算得到的參數(shù)誤差較大[17],為了探究引入?yún)?shù)模型的dS、dβ等參數(shù)是否對其他相機(jī)參數(shù)及待定點(diǎn)物方坐標(biāo)的解算造成影響,通過在模型中附加不同的參數(shù)對正視圖和右視圖組成的像對進(jìn)行以下4組實(shí)驗(yàn):第1組,附加的參數(shù)為k1、k2、p1和p2，焦距為f;第2組,附加的參數(shù)為k1、k2、p1、p2、dS和dβ，焦距為f;第3組,附加的參數(shù)為k1、k2、p1和p2,焦距為fx和fy;第4組,附加的參數(shù)為k1、k2、p1、p2、dS和dβ，焦距為fx和fy。不同參數(shù)模型計算的檢查點(diǎn)物方坐標(biāo)中誤差從第1組到第4組依次分別為0.723 9、0.662 4、0.723 6、0.648 2 mm,相機(jī)檢校參數(shù)見表3所列。

表3 不同參數(shù)模型的相機(jī)檢校參數(shù)

根據(jù)表3,分別對比第1組和第2組、第3組和第4組的檢校參數(shù)與檢查點(diǎn)坐標(biāo)中誤差可以看出,在引入dS、dβ后,內(nèi)方位元素?zé)o明顯變化,光學(xué)畸變參數(shù)變化相對較大,檢查點(diǎn)坐標(biāo)中誤差明顯變小,由此可以判斷，引入dS、dβ不會影響其他相機(jī)參數(shù)的解算,可明顯提升待定點(diǎn)的物方坐標(biāo)精度;分別對比第1組和第3組、第2組和第4組的檢校參數(shù)與檢查點(diǎn)坐標(biāo)中誤差可以看出,將f分解成fx和fy2個參數(shù)后,檢校參數(shù)無明顯變化,檢查點(diǎn)坐標(biāo)中誤差基本不變,f、fx、fy幾乎一致,由此可以判斷,實(shí)驗(yàn)相機(jī)的像素為正方形,將f分解成fx和fy2個參數(shù)后未影響檢校參數(shù)與檢查點(diǎn)坐標(biāo)的解算。

4 結(jié) 論

(1) 在相機(jī)檢校實(shí)驗(yàn)中,本文改進(jìn)的附加參數(shù)光束法檢校精度低于檢校精度要求0.01 mm,因此本文改進(jìn)的附加參數(shù)光束法平差解法用于非量測相機(jī)檢校是切實(shí)可行的。

(2) 隨著2個攝站與被攝物體的夾角θ變大,檢查點(diǎn)坐標(biāo)精度也隨之提高,因此在拍攝影像時應(yīng)盡量保證夾角θ足夠大,避免影響解算精度。

(3) 非量測相機(jī)的比例尺不一致誤差dS和x、y軸不正交誤差dβ相對偏大[14],在后續(xù)的數(shù)據(jù)處理中會對測量結(jié)果造成不利影響,應(yīng)將其引入非量測相機(jī)的檢校參數(shù)中,從而提高量測精度。

(4) 當(dāng)像素為正方形時,將f分解成fx和fy不會降低相機(jī)檢校精度,故分解主距可以增強(qiáng)算法的適用性。

本文改進(jìn)的附加參數(shù)光束法解決了光束法依賴初始值的問題,優(yōu)化了參數(shù)模型,增強(qiáng)了適用性,通過相機(jī)檢校實(shí)驗(yàn)對相機(jī)參數(shù)進(jìn)行精度評定,通過對比分析,驗(yàn)證了該算法用于非量測相機(jī)檢校的可行性,但因?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)有限,在2個攝站與被攝物體的夾角θ與檢查點(diǎn)坐標(biāo)精度的關(guān)系方面有所欠缺,后續(xù)需要進(jìn)一步深入研究。