靈活運(yùn)用柯西不等式,快速求解最值問(wèn)題

于欣琪 韓腸

柯西不等式是一個(gè)非常重要的不等式，它在證明命題、求函數(shù)最值等方面有著廣泛的應(yīng)用.尤其在求解最值問(wèn)題時(shí)，巧妙地運(yùn)用柯西不等式及其變形式，能夠快速、準(zhǔn)確地獲得問(wèn)題的答案.本文重點(diǎn)談一談柯西不等式在求函數(shù)最值問(wèn)題中的應(yīng)用.

設(shè) a1，a2，a3， …，an ，b1，b2，b3， …，bn? 是實(shí)數(shù)，則（a12+ a22+ …+an2）（b12+b22+ …bn2）≥ （a1b 1+a2b2+ …anbn）2，當(dāng)且僅當(dāng) bi=0（i =1，2， …，n）或存在一個(gè)數(shù) k ，使得 ai=kbi （ k 為常數(shù)，i =1，2， …，n）時(shí)，等號(hào)成立.該不等式稱為一般形式的柯西不等式.

若 a，b，c，d 都是實(shí)數(shù)，則（a2+b2）（c2+d2）≥ （ac + bd）2，當(dāng)且僅當(dāng) ad =bc時(shí)，等號(hào)成立.上述不等式稱為二維形式的柯西不等式.運(yùn)用柯西不等式求最值的關(guān)鍵是觀察、分析所給式子的特點(diǎn)，使之轉(zhuǎn)化為可以應(yīng)用柯西不等式的形式.

例1.已知不等式|x +a|<b 的解集為{x|2<x <4}.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值;

（Ⅱ）求? +? 的最大值.

解：（Ⅰ） ，（過(guò)程略）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得? +? =? + ，將其變形可得?? +1 ?，

根據(jù)柯西不等式得（ ?? +1 ? ）2≤ [（）2+12]? （ ）2+ 2 =4× 4= 16，

當(dāng)且僅當(dāng)? =???? 即 t =1 時(shí)等號(hào)成立，此時(shí) +? 的最大值為4.

本題主要考查柯西不等式的應(yīng)用.將目標(biāo)式? +? 構(gòu)造成“ a ?b+c? d ”的形式，并保證 “ b2+d2”為常數(shù)，構(gòu)造出與柯西不等式相符的形式，便能快速求得最值.

例2.已知 a >0，b >0，c >0，函數(shù) f（x）=|x +a|+ |x -b|+c 的最小值為4.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù) a +b +c 的值;

（Ⅱ）求 a2+? b2+c2的最小值.

解：（Ⅰ）a +b +c =4.（過(guò)程略）

（Ⅱ）根據(jù)柯西不等式得（ a2+? b2+c2）×（4+9+ 1）≥ （ ×2 +? ×3 +c ×1）2=（a +b +c）2，

由（Ⅰ）知 a +b +c =4，

則（ a2+? b2+c2）×（4+9+ 1）≥ 16，

即 a2+? b2+c2≥? ，

當(dāng)且僅當(dāng)2a =3b =c，即 a =? ，b =? ，c =? 時(shí)，等號(hào)成立，

所以 a2+ b2+c2的最小值為? .

要求得最值，需從問(wèn)題（Ⅰ）中所得結(jié)論和目標(biāo)式兩個(gè)方面進(jìn)行分析.在解題時(shí)要把握兩點(diǎn)：（1）a +b+c為常數(shù)，（2） a2+ b2+c2的結(jié)構(gòu)特征，由目標(biāo)式是3個(gè)平方項(xiàng)之和，構(gòu)造出與柯西不等式相符的形式，從而求得最值.

例3.設(shè)x，y，z∈ R，且 x +y +z =1 .

（Ⅰ）求（x -1）2+（y +1）2+（z +1）2的最小值;

（Ⅱ）若（x -2）2+（y -1）2+（z -a）2≥? ，證明：a ≤-3或 a ≥-1.

（Ⅰ）解：根據(jù)柯西不等式得（12+ 12+ 12）[（x -1）2+ （y +1）2+（z +1）2]≥（x -1 +y +1 +z +1）2=4，

整理得（x -1）2+（y +1）2+（z +1）2≥? ，

當(dāng)且僅當(dāng) x -1 =y+1 =z+1，

即 x =? ，y =-? ，z =- 時(shí)，等號(hào)成立，

所以（x -1）2+（y +1）2+（z +1）2的最小值為? .

（Ⅱ）證明：根據(jù)柯西不等得

（12+ 12+ 12）[（x -2）2+（y -1）2+（z -a）2]

≥（x -2 +y -1 +z -a）2=（2+a）2，

整理得（x -2）2+（y -1）2+（z -a）2≥ 3 ，

當(dāng)且僅當(dāng) x -2 =y -1 =z -a，

即 x =? ，y =? ，z =? 時(shí)，等號(hào)成立，

所以（x -2）2+（y -1）2+（z -a）2的最小值為（2+a）2

由題設(shè)知（2+a）2≥ 1

解得 a ≤-3或a ≥-1，故得證.

本題考查了運(yùn)用柯西不等式求最值的方法以及運(yùn)用柯西不等式證明不等式的方法.合理構(gòu)造柯西不等式是解題的關(guān)鍵.在解題時(shí)，還需巧妙地利用“任何數(shù)乘1都得任何數(shù)”這一性質(zhì).

可見(jiàn)，若能合理地運(yùn)用柯西不等式，一些比較復(fù)雜的最值問(wèn)題就能迎刃而解.在運(yùn)用柯西不等式求最值時(shí)，要學(xué)會(huì)運(yùn)用一些輔助技巧，如配湊系數(shù)、“1”的代換、添減項(xiàng)等，構(gòu)造出與柯西不等式相符的式子.在求得最值后，要注意檢驗(yàn)柯西不等式中等號(hào)成立的條件，即當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，目標(biāo)式才能取得最大值或最小值.

（作者單位：齊齊哈爾大學(xué)理學(xué)院）