數(shù)列中結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的解法探微

賴周萍

2019年教育部頒布的《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》中明確提出要在“一核，四層，四翼”的基礎(chǔ)上體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性.其中提到要培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，要求設(shè)置合理的情境，設(shè)置新穎的試題呈現(xiàn)方式和設(shè)問(wèn)方式，要求對(duì)學(xué)生在新穎和陌生的情境中主動(dòng)思考，完成開(kāi)放性或探究性任務(wù)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，找到規(guī)律，得出新結(jié)論的水平進(jìn)行評(píng)價(jià).在這樣的要求下，2020年高考數(shù)學(xué)卷中首次出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，由此結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題受到了更為廣泛的關(guān)注.

結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題是相對(duì)于結(jié)構(gòu)良好問(wèn)題而言，其本身并不存在命制上的錯(cuò)誤，而是在條件、結(jié)論、算法上沒(méi)有明確的指向.與結(jié)構(gòu)良好問(wèn)題的解答過(guò)程相比，結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題要求學(xué)生將認(rèn)知、元認(rèn)知、情感和意志相融合，具有更大的育人價(jià)值.學(xué)生需利用已有的經(jīng)驗(yàn)，將知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，在解題的過(guò)程中合理運(yùn)用這些知識(shí)去分析、推理、思考，最終解決問(wèn)題.數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的重要板塊之一，在高考中占有一定的比列，其結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題值得我們進(jìn)一步探究.結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題主要包括：條件開(kāi)放型、結(jié)論開(kāi)放型、條件和結(jié)論都開(kāi)放型問(wèn)題.下面結(jié)合實(shí)例來(lái)探討一下這三類結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的解法.

一、條件開(kāi)放型

例1.在① a1+a3= 6，a5=9，② a1= 1，4Sn =a + 4n -1，③ a1= 2，a2a3= 2a7這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并解答.

問(wèn)題：已知等差數(shù)列an為遞增數(shù)列，其前 n 項(xiàng)和為 Sn，且______.在數(shù)列an的前20項(xiàng)中，是否存在兩項(xiàng) am，at（m，t∈ N*且 m

分析：此題為條件開(kāi)放型的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題.學(xué)生需要在解題之初判斷三個(gè)條件是否都能夠使得已知條件成立.而三個(gè)條件的難易程度有所差別，學(xué)生需要在“存在兩項(xiàng) am ，at（m，t∈ N*且 m

解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，d >0.

此題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)以及前 n 項(xiàng)和公式.由上述分析可知，如果選擇條件③，則結(jié)論是不成立的.這里設(shè)置此選項(xiàng)是為了打破學(xué)生認(rèn)為給出的條件一定都能使得結(jié)論成立的定勢(shì)思維.其次，在判斷命題的正確性的基礎(chǔ)上考查了必要條件、充分條件，這有利于鍛煉學(xué)生綜合應(yīng)用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行分析、推理的能力.

二、結(jié)論開(kāi)放型

例2.已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，a1> 1，若數(shù)列an滿足 an+1 >an ，且10Sn=2an + 1an + 2，n ∈ N*.是否存在 m，n，k ∈N*，且 m

從①3Sn -Sm=Sk，②2am +an=ak這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中，并作答.

解：

若選②：可得滿足條件的正整數(shù)m，n，k 不存在.理由如下：假設(shè)存在 m，n，k ∈N*，且 m

本題中的條件明確，結(jié)論開(kāi)放，一方面學(xué)生需要根據(jù)已知條件和數(shù)列通項(xiàng)an 與前 n 項(xiàng)和Sn 間的關(guān)系進(jìn)行推理，得到初步的結(jié)論;另一方面需假設(shè)存在m，n，k ∈N*，且 m

三、條件與結(jié)論均開(kāi)放型

例3.（2021年全國(guó)甲卷）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記 Sn 為{an}的前 n 項(xiàng)和，從下面①②③中選擇兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.①數(shù)列{an}是等差數(shù)列，②數(shù)列是等差數(shù)列，③a2= 3a1.

分析：從三個(gè)中選擇兩個(gè)作為條件，則一共有三種選擇，此題看似只需要學(xué)生去選擇兩個(gè)條件來(lái)證明即可，但考場(chǎng)上的時(shí)間有限，實(shí)際上學(xué)生需要事先預(yù)判每種組合情況下大致的算法，以用最少的時(shí)間來(lái)解題.作為開(kāi)放性題目，此題設(shè)置三個(gè)可供選擇的選項(xiàng)，一方面是為了簡(jiǎn)化評(píng)判過(guò)程中可能出現(xiàn)的情況;另一方面也給了學(xué)生自由發(fā)揮的空間，考查了其邏輯推理能力.

解：第一種情況：以①與②為條件，③為結(jié)論.

若{an}等差數(shù)列，可設(shè)an=pn +q，其中 p， q 為實(shí)數(shù)，所以 Sn = na1 + n（n - 1）.令 x =，則 Sn = a1，要使 { Sn } 為等差數(shù)列，則需使 Sn 為一個(gè)完全平方式.當(dāng) x = 2 時(shí)，Sn 為一個(gè)完全平方式，此時(shí) x = da1= 2 ，即 d = 2a1 ，所以 a2 = 3a1 ，則命題得證.

第二種情況：以①與③為條件，②為結(jié)論.

由條件③可以得到 d = 2a1 ，an = a1 +（n - 1）d =（2n - 1）a1 ，由等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和的公式可得 Sn =n（a1 + an）2 = a1n2 ， Sn = a1 n ，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可知，{ Sn } 為等差數(shù)列，則命題得證.

第三種情況：以②與③為條件，①為結(jié)論.

若 { Sn } 為等差數(shù)列，設(shè)其公差為 y ，則 Sn =S1 + （n - 1）y ，可得 S1 = S2 - y ，將 a2 = 3a1 代入可得 a1 + a2 = a1 + 3a1 = a1 + y ，則公差 y = a1 ，所以Sn = n a1 ，Sn = n2a1 ，當(dāng) n =1 時(shí) a1 = S1 成立，當(dāng) n ≥ 2時(shí)，an = Sn - Sn - 1 =（2n - 1）a1 ，則 {an} 為等差數(shù)列.

學(xué)生需要在充分了解數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，靈活運(yùn)用函數(shù)思想，將三個(gè)條件進(jìn)行合理搭配.這三種搭配在難度上略微有些差別.對(duì)于第一種情況，學(xué)生需要結(jié)合分析法，利用函數(shù)思想來(lái)求證;第二、三種情況的計(jì)算量較小.這一類條件目標(biāo)均不開(kāi)放的題目一般難度較大，對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力、在具體情境中解決實(shí)際問(wèn)題的綜合能力要求更高.

數(shù)列中的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題具有較強(qiáng)的開(kāi)放性和探究性.解題的基本思路是（： 1）弄懂題意，判斷條件、結(jié)論是否明確;（2）理清問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)已明確的條件、結(jié)論以及已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行推理、分析.對(duì)于存在性問(wèn)題，需假設(shè)存在，據(jù)此進(jìn)行推理、運(yùn)算;（3）從多維度、多個(gè)角度進(jìn)行分析、探究，尋找解題的思路.有時(shí)可能需要提出不同的方案，對(duì)其進(jìn)行分析、探究，得出結(jié)論.

以學(xué)科素養(yǎng)培養(yǎng)為導(dǎo)向的高考評(píng)價(jià)體系，更加注重對(duì)學(xué)生思維能力的考查，考查學(xué)生的臨場(chǎng)應(yīng)對(duì)能力.這要求我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中，要更深層次地挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生建立知識(shí)之間的聯(lián)系，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系;要合理創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，借助情境性和開(kāi)放性題目培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，以便培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（作者單位：西華師范大學(xué);指導(dǎo)老師：湯強(qiáng)）