求空間幾何體體積的幾種思路

郝云瑞

空間幾何體的體積問(wèn)題側(cè)重于考查簡(jiǎn)單空間幾何體：三棱錐、三棱柱、四棱錐、正方體、長(zhǎng)方體、球、圓錐、圓臺(tái)等的體積公式.對(duì)于簡(jiǎn)單的空間幾何體，我們可以直接運(yùn)用空間幾何體的體積公式來(lái)求解.而對(duì)于一些較為復(fù)雜的空間幾何體，則需要靈活運(yùn)用等體積法或者割補(bǔ)法來(lái)求解.下面，筆者將結(jié)合例題來(lái)詳細(xì)介紹求空間幾何體體積的三種思路.

一、采用公式法

對(duì)于一些規(guī)則的空間幾何體，只需要根據(jù)幾何體的特點(diǎn)，利用線面垂直或面面垂直等性質(zhì)定理求出幾何體的高和底面的面積，然后根據(jù)錐體的體積公式V錐體=? Sh、柱體的體積公式 V柱體 =Sh、臺(tái)體的體積公式 V臺(tái)體= （S′+? +S）h，求出空間幾何體的體積.

例1.如圖1所示，在多面體P-ABCD 中，平面PAD上平面ABCD，ABlDC ，APAD是等邊三角形，已知 BD=2AD=8 ，AB=2DC=45 ，求四棱錐P-ABCD的體積.

解：過(guò)Р作PO上AD于O ，因?yàn)槠矫鍼ADl平面ABCD ，所以POL平面ABCD .由等邊三角形的性質(zhì)可得PO=2、3 .又 ABIIDC ， AB=2DC ，所以四邊形ABCD為梯形.在△ABD中，AD3+BD=AB，故AD 上BD .在 Rt△ADB中，斜邊 AB邊上的高為8./5.則S ARCD="NT+V xo5=24 ，所以 p-ABCD一3

解答本題的關(guān)鍵是確定四棱錐P-ABCD的高.因?yàn)槠矫鍼AD上平面ABCD ，所以考慮在平面PAD內(nèi)作四棱錐的高，再計(jì)算出底面的面積，便可根據(jù)棱錐的體積公式求得問(wèn)題的答案.

二.割補(bǔ)圖形

割補(bǔ)法是指將不規(guī)則的幾何圖形分割或補(bǔ)充為若干個(gè)規(guī)則的幾何體，以便根據(jù)簡(jiǎn)單空間幾何體的體積公式解題.通過(guò)割補(bǔ)圖形，可將不規(guī)則的立體圖形轉(zhuǎn)變?yōu)橐?guī)則的圖形，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的運(yùn)算問(wèn)題.

例2.四面體ABCD的5條棱長(zhǎng)均為3，另外一條棱長(zhǎng)為4，求此四面體的體積.

解：如圖2，設(shè) CD =4，其余棱長(zhǎng)均為3，取 CD 的中點(diǎn) E，連接 AE，BE，作 EF⊥AB，則 CD⊥平面 ABE，因此 VA -BCD = VD -ABE + VC -ABE = S△ABE ?（CE +ED）= CD ? S△ABE，BE=AE =? = ，則 EF =? =? ，從而可得 VA -BCD = 3CD ?S△ABE=3 ×4× 2AB ?EF=? .

我們通過(guò)添加輔助線，將四面體 ABCD 分割為兩個(gè)三棱錐 D -ABE 以及 C -ABE，分別求得這兩個(gè)三棱錐的底面面積和高，即可求得四面體的體積.

三、運(yùn)用等體積法

等體積法通常適用于求三棱錐的體積.由于一個(gè)三棱錐有三個(gè)底面，無(wú)論以哪個(gè)面為底面，求得的體積是一樣的，所以在求三棱錐的體積受阻時(shí)，可轉(zhuǎn)換思路，將三棱錐的底面、高更換，找到更易于求得面積的底面和高，就能順利解題.

例3.如圖3，已知正四棱柱ABCD -A1B1C1D1的體積為36，點(diǎn) E，F(xiàn)分別為棱 B1B，C1C 上的點(diǎn)（異于端點(diǎn)），且 EF//BC，求 A1-AED 的體積.

解：設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為圖3a，高為 h，則 a2h =36，三棱錐 A1-AED 與三棱錐 A1-DEF 的體積相等，所以 VA1-AED = VE -ADA1= VA1-EDF = S△ADA1× a =2 ×? × a × h × a =12.

由于以三角形 AED 為底，A1為頂點(diǎn)，則很難求得三棱錐的體積，于是運(yùn)用等體積法，將三棱錐的底面更換為 ADA1，頂點(diǎn)更換為 E，這樣便能順利求得三棱錐的體積.

求空間幾何體的體積問(wèn)題對(duì)同學(xué)們的直觀想象能力和運(yùn)算能力有較高的要求.在日常學(xué)習(xí)中，同學(xué)們不僅要熟練掌握空間幾何體的體積公式，還要靈活運(yùn)用直觀想象能力對(duì)幾何圖形進(jìn)行割補(bǔ)、轉(zhuǎn)換，這樣才能靈活運(yùn)用公式法、割補(bǔ)法、等體積法解題.

（作者單位：江蘇省鹽城市明達(dá)高級(jí)中學(xué)）