解答解析幾何問題的技巧

石曉鵬

解析幾何是高中數(shù)學中的重要知識模塊，也是高考必考的內容.解析幾何問題對同學們的綜合分析以及運算能力有較高的要求，許多同學經(jīng)常一看到解析幾何問題，就心生怯意.其實，解析幾何問題并沒有我們想象中的那么難，只要熟悉常見的題型，掌握一些常用的解題途徑，就能順利破解難題.本文主要介紹三種解答解析幾何問題的技巧，希望對大家能有所幫助.

一、采用定義法

定義法是運用圓錐曲線的定義來解題的方法.該方法主要適用于解答動點的軌跡問題、距離問題、最值問題、離心率問題、曲線的方程等.在運用定義法解答解析幾何問題時，要將“動點與定點之間的距離”與圓錐曲線的定義關聯(lián)起來，建立關系式，從而順利解題.

例1.已知橢圓 x2+ y2= 1（a >b >0）的左右兩焦點分別為 F1， F2，過F2的直線與橢圓相交于 P，Q 兩點，且 PQ ⊥PF1.

（1）若PF1=2+? ，PF2=2-? ，求橢圓的標準方程.

（2）若PF1=|PQ|，求橢圓的離心率 e .

解：（1）由橢圓的定義可知：2a =PF1+PF2=2+ +2- =4 ，

∴a =2 .

設橢圓的半焦距為 c，∴PF2⊥PF1，

可知?PF1F2為直角三角形.

∴2c =F1F2=? =

即 c =? ，∴ b =? =1 .

∴橢圓的標準方程為： +y2= 1.

（2）連接 QF1，由橢圓的定義可知PF1+PF2=2a ，

∴|QF | 1 = 4a - 2|PF | 1 ，|QF | 1 + |QF | 2 = 2a .

由 |PF | 1 = |PQ| 可得 |QF | 1 = 4a - 2|PF | 1 ，

由 PQ ⊥ PF1 ，|PF | 1 = |PQ| 可得 |QF | 1 = 2|PF1| .

∴ 4a - 2|PF | 1 = 2|PF1| ，∴|PF | 1 = 2（2 - 2 ）a ，

∴|PF | 2 = 2a - |PF | 1 = 2a - 2（2 - 2 ）a = 2（ 2 - 1）a .

由 PF2 ⊥ PF1 得 |PF | 1

解答本題，主要運用了橢圓的定義：平面內與兩個定點 F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡，建立關系式 2a = | PF | 1 + | PF | 2 ，再根據(jù)橢圓方程中 a、b、c 之間的關系以及點、線段之間的位置關系求得橢圓的標準方程、離心率.

二、數(shù)形結合

數(shù)形結合是解答解析幾何問題的重要方法，將數(shù)形結合起來，能使抽象的解析幾何問題直觀化.運用數(shù)形結合法解答解析幾何問題，通常需根據(jù)曲線的方程畫出圖形，利用圓錐曲線的幾何意義建立幾何關系，再通過代數(shù)運算求得問題的答案.

例 2.已知橢圓 C 的中心與橢圓上的 3 點恰好構成正方形，則橢圓 C 的離心率為 （ ） .

A. 5 –1 B. 3C. 2D. 6

解：設橢圓的方程 x

繪制如圖 1 的圖形，由正方形的性質可知橢圓長半軸的長等于正方形的對角線長，

則點 （） 為橢圓上的一點，

可得 1

化簡得 a2 = 3b ，則2a2 = 3c，即e = 6

故 D 為正確選項.

根據(jù)已知條件，我們無法快速建立關系式，于是繪制出相應的圖形，采用數(shù)形結合法來解題，通過分析圖形，根據(jù)正方形的特征，便可明確正方形的對角線與橢圓的長半軸之間的聯(lián)系，在橢圓上找到一點，從而建立 a、c 之間的關系，運用離心率公式得出正確的選項.通過數(shù)形結合，可將問題中的數(shù)量關系通過圖形直觀地呈現(xiàn)出來，這樣能有效地提升解題的效率.

三、設而不求

設而不求是指設出相應的參數(shù)，并將其代入題設中進行求解，最后通過消參求得問題的答案.該方法常用于求解一些較為復雜的解析幾何問題，尤其是含參問題、運算繁瑣的問題.在解題時，一般可將與較多變量有關聯(lián)的量用參數(shù)表示出來，然后將其代入題設中，再進行整體代換、消參，使問題得解.

例 3. 已知橢圓的方程為，經(jīng)過原點 O 的直線與橢圓交 P，A 兩點，P 點在第一象限，如圖2，過點 P 作 x 軸的垂線，垂足為 C ，延長 AC 交橢圓于點 B ，若直線 PA 的斜率為 k ，試證：對于任意 k > 0 ，都有 PA ⊥ PB .

解：聯(lián)立直線 PA 的方程：y = kx與橢圓的方程

可得 x = ± 2

1 + 2k2 ，設 μ = 2

則 P（ μ，μk），A（-μ，-μk） ，于是 C（μ，0） ，

故直線 AB 的斜率為 0 + μk ， 其方程為

將其代入橢圓的方程可得：（k ） 2 + 2 x

解得：x = μ（3k ） 2 + 2或 x = -μ（ 舍去 ） ，

所以 B（

則直線 PB 的斜率為 k1 =

可得 k1k = -1 ，故 PA ⊥ PB .

本題較為復雜，題目中涉及的變量、數(shù)量關系較多，于是引入?yún)?shù) μ ，分別設出 P、A 的坐標以及 AB的直線方程，將其代入題設中，通過解方程求得點 B的坐標以及 PB 的斜率，最后運用斜率公式證明PA ⊥ PB .運用設而不求法解題，可將問題變得簡單，回避了繁瑣的運算以及復雜的求解過程.

總之，定義法、數(shù)形結合法比較常用，其適用范圍較廣，而運用設而不求法，能簡化解題的過程.因此在解答解析幾何問題時，同學們要學會靈活運用圓錐曲線的定義，借助圖形，通過引入?yún)?shù)來解題，以提升解題的效率.

（作者單位：甘肅省莊浪縣第二中學）