對(duì)一道與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的數(shù)量積問(wèn)題解法的探究

仲海飛

數(shù)量積問(wèn)題在平面向量中比較常見(jiàn)，此類問(wèn)題重點(diǎn)考查向量的運(yùn)算法則、向量的模的公式、向量的數(shù)量積公式.本文以一道題目為例，對(duì)與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的數(shù)量積問(wèn)題的解法進(jìn)行探究.

例題：在等腰直角ΔABC 中，∠ABC =90°， BA = BC =2，點(diǎn) M，N 為邊 AC 上的2個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中點(diǎn) M，N 均不與端點(diǎn) A，C 重合），且|M N|= ，則 B M?B N 的取值范圍是（）.

A.B.（ 2）

C.D.[ +∞）

本題側(cè)重于考查平面向量的三角形法則、向量的模的公式、向量的數(shù)量積公式.要求得 B M?B N 的取值范圍，需根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的位置求得 B M、B N 的最值，或求 B M?B N 的表達(dá)式，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算求得最值.本題有如下幾種解法.

方法一：坐標(biāo)系法

坐標(biāo)系法是指建立合適的平面直角坐標(biāo)系，通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得問(wèn)題的答案.運(yùn)用坐標(biāo)系法求解與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的數(shù)量積問(wèn)題，需在建立平面直角坐標(biāo)系后，求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得數(shù)量積的表達(dá)式，得出問(wèn)題的答案.

解法一：建立如圖1 所示的

平面直角坐標(biāo)系xBy，

則 B（0，0），C（2，0），A（0，2）.

若點(diǎn) M 與點(diǎn) A 重合，由圖1易知 M（0，2），N（1，1），

所以 B M =（0，2），B N =（1，1），可得 B M?B N =2 .

若點(diǎn) N 與點(diǎn) C 重合，可得 B M?B N =2，可排除選項(xiàng)A、D.

若線段 MN 位于線段 AC 的中間位置（即與兩條線段的中點(diǎn)重合），由圖可知 M（ ， ），N（ ， ），

所以 B M =（ ， ），B N =（ ， ），所以 B M?B N =? ×2+ 2× 2= 2，可排除選項(xiàng)B.

綜上可知，本題應(yīng)選C項(xiàng).

結(jié)合圖形進(jìn)行分析，可知需分三種情況討論 M、 N 的位置，于是采用坐標(biāo)系法，設(shè)出變量，分別求得 M、 N 以及各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，便可通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得 B M、B N，得到 B M?B N 的表達(dá)式，再根據(jù)題目中提供的選項(xiàng)求得問(wèn)題的答案.

由于點(diǎn) M、 N 均在直線 AC 上，而且直線 AC 的方程容易求得，所以可先根據(jù)點(diǎn)在直線上，設(shè)出其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合圖形獲得另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行求解.

解法二：如圖2 所示，過(guò)點(diǎn) M 作 y 軸的平行線，過(guò)點(diǎn) N 作 x 軸的平行線，設(shè)這兩條直線的交于點(diǎn) E，易知ΔMNE 為等腰直角三角形，且直角邊的長(zhǎng)為1.

由 C（2，0），A（0，2）可知，直線 AC 的方程為 y =2 -x，設(shè)N（x，2-x），

由圖2可知 M（x -1，3-x），

所以 B M =（x -1，3-x），B N =（x，2-x），

所以 B M?B N =2（x - ）2+? .

又易知1

即.故選C.

方法二：參數(shù)法

參數(shù)法是解答代數(shù)問(wèn)題的常用方法.運(yùn)用參數(shù)法解題，通常需根據(jù)解題需求設(shè)出相應(yīng)的參數(shù)，將其代入題設(shè)中進(jìn)行求解，最后通過(guò)消參求得問(wèn)題的答案.對(duì)于本題，由于點(diǎn) M、 N 均在邊 AC 上，而直線 AC 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C（2，0），且其傾斜角為135°，所以可考慮利用直線 AC 的參數(shù)方程來(lái)求解.需要先借助參數(shù)求出點(diǎn) M、 N 的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式加以分析.

解法三：由題知可設(shè)直線 AC 的參數(shù)方程為設(shè)點(diǎn) N 的坐標(biāo)為（2-? t，? t），點(diǎn) M 的坐標(biāo)為

于是 B M?B N =（2-? t）（1-? t）+ t（1+? t）=（t - ）2+? .

又0

可得 BM?BN ∈[2，2）.故選C.

解法四：因?yàn)辄c(diǎn) C（2，0），A（0，2），

所以向量 C A =（-2，2），

所以與向量 C A 同向的單位向量 =C（C）A A=? ?

設(shè) C N =t =（- t，? t），

則 C M =（t + ）=（-1-? t，1+? t），

故 N（2-? t，? t），M（1-? t，1+? t）.

可得 B M?B N =（2-? t）（1-? t）+ t（1+? t）=t2-? t +2 =（t - ）2+? .

又因?yàn)?

該解法靈活運(yùn)用了平面向量中的一個(gè)結(jié)論“任何一個(gè)非零向量均可用與之共線的單位向量進(jìn)行線性表示”.由于點(diǎn) M、 N 均在邊 AC 上，所以向量 C N，C M 能夠用與向量 C A 同向的單位向量來(lái)表示，可引入?yún)?shù)，便可順利得出點(diǎn) M、 N 的坐標(biāo)，運(yùn)用參數(shù)法解題.

通過(guò)上述分析可以發(fā)現(xiàn)，解答平面向量的數(shù)量積問(wèn)題，可以從多方面進(jìn)行考慮，最直接的方式是運(yùn)用坐標(biāo)系法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題求解;而運(yùn)用參數(shù)法，可巧妙地將動(dòng)點(diǎn) M、 N 的坐標(biāo)表示出來(lái)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含參的函數(shù)最值問(wèn)題來(lái)求解.在解答平面向量的數(shù)量積問(wèn)題時(shí)，要靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化思想，這樣能有效地提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省江安高級(jí)中學(xué)）