解答不等式證明問題的常用方法

張萬瓊

不等式證明題是數學高考試題中的?？碱}型.這類題目的綜合性較強，一般難度較大.在解題時，需靈活運用不等式、函數、方程、向量等知識對不等式進行適當的變形、整合，通過推理、運算證明不等式，因而此類問題對同學們的綜合分析和邏輯推理的能力有較高的要求.下面結合實例談一談解不等式證明題的三種方法：分析法、換元法和放縮法.

一、分析法

分析法是指從所要求證的不等式出發(fā)，通過分析、推理尋求證明不等式成立的充分條件，逐步靠攏已知條件或定理、性質等，從而證明原不等式成立.運用分析法證明不等式需“執(zhí)果索因”，即由“所證不等式”向“已知條件”推理.

例1.已知 a， b 為正數，且 a + b =1，證明：

證明：要證成立，

需證4ab2+4a2+b2-25ab +4≥ 0，

即證4ab2+4a2+b2-25ab +4≥ 0，

則需證4ab2- 18ab +8≥0，

解得 ab≤? 或 ab ≥4，

因為 a +b =1，且 a +b ≥2? ，

所以1≥2? ，

則ab≤ 成立，因此，原不等式得證.

題目中給出的條件較少，需從所要求證的不等式出發(fā)，運用完全平方公式，通過分解因式求得ab 的取值范圍，然后根據基本不等式證明 ab 的取值范圍滿足題意，從而證明不等式成立.當已知條件與結論之間的聯系不夠明顯，或題目中所給的條件較少時，可直接采用分析法來求證.

二、三角換元法

三角換元法也是證明不等式問題的常用方法.運用三角換元法證明不等式，需首先將不等式中的兩個變量用三角函數替換，如設 x =rcosα、 y =r sinα，這樣便將所要求證的不等式轉化為三角函數式，利用三角函數的單調性和有界性即可證明不等式成立.

例2.已知 x2+y2= 1，證明：-? ≤ x +y ≤? .

證明：∵ x2+y2= 1，

∴設 x = cosα， y = sinα，

∴ x +y = cos α+ sinα=? sinè（?）α+? ?（?），∵sinè（?）α+? ?（?）∈-1，1，

∴ x +y ∈- ，，

∴-? ≤ x +y ≤? .

設x = cosα、 y = sinα，通過三角換元將問題轉化為三角函數問題，運用輔助角公式對三角函數式進行化簡，便能直接運用正弦函數的有界性求得最值，從而證明不等式成立.在變形不等式的過程中，通常要運用到三角函數中的基本公式，如誘導公式、輔助角公式等進行三角恒等變換，以便化簡不等式.

三、放縮法

運用放縮法證明不等式，需將所要求證不等式的一側或者兩側式子進行放大或者縮小，再根據不等式的傳遞性證明不等式成立.在放縮代數式時，常見的放縮形式有? -1 <、2? >? +

例3.已知a，b，c不全等于零，證明：? +? +? >a +b +c.

分析：觀察所要求證的不等式可以發(fā)現，不等式左側的三個根號下的式子具有相同的特點，所以只需分析其中一個式子即可.可先將根號下的式子配方，然后利用平方式恒大于或等于0的性質對根號下的式子進行放縮，最后根據不等式的可加性證明結論.

證明：

同理可得：>b +? ，

綜上可得，? +? +? >a + b +c.

相比較而言，分析法和放縮法的適用范圍較廣，但對同學們的推理、分析能有較高的要求;三角換元法較為簡單，但運算量較大.在證明不等式時，有時可根據解題需求同時運用兩種或兩種以上的方法進行求證.

（作者單位：江蘇省沙溪高級中學）