巧構(gòu)造，妙解題

唐卉

構(gòu)造法是根據(jù)題目的條件與特征，構(gòu)造出一種新的數(shù)學(xué)模型，從一種新的角度解題的方法.巧妙運(yùn)用此方法解題，往往可以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，達(dá)到化難為易、化繁為簡的目的.

一、構(gòu)造方程

方程是指含有未知數(shù)的等式.在解題時，我們可根據(jù)問題中所給的數(shù)量關(guān)系和特征，確定一個或幾個未知數(shù)，從而構(gòu)造出一個新的方程，然后通過解方程，或運(yùn)用方程的性質(zhì)來解題.

例 1 . 若x，y ∈ R ，且 x2 + y2 + xy = 3 ，求 x2 + y2 - xy的最值.

解：由 x2 + y2 + xy = 3 及 x2 + y2 - xy = k 可知

可將 x2，y2看作關(guān)于 t 的方程t6 = 0 的兩個根，

則判別式△ ≥ 0 ，即 k2 - 10k + 9 ≤ 0 ，

解得1 ≤ k ≤ 9 ，

故 x2 + y2 - xy的最小值為1，最大值為 9 .

將題中的兩個代數(shù)式進(jìn)行變形可得出 xy2 的表達(dá)式，于是聯(lián)想到一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，于是構(gòu)造方程 t2 - k + 32 t + -6k + 9 + k26 = 0 ，根據(jù)一元二次方程的判別式大于或等于0建立不等式，從而求得問題的答案.

二、構(gòu)造函數(shù)

用函數(shù)可以表示出變量之間的關(guān)系.若某個變量與另一個變量之間存在一定的聯(lián)系，此時我們便可根據(jù)題意構(gòu)造出一個函數(shù)模型，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)來解題.

例 2 .已知 x，y，z ∈ R ，求證：x2 + 4y2 + 9z2 ≥ 4xy+6zx - 12yz .

證明：要證明 x2 + 4y2 + 9z2 ≥ 4xy + 6zx - 12yz ，只要證明 x2 -（4y + 6z）x + 4y2 + 9z2 + 12yz ≥ 0 ，不妨設(shè) f（x）=x2 -（4y + 6z）x + 4y2 + 9z2 + 12yz ，此函數(shù)圖象的開口向上，其判別式△ =（4y + 6z）2 - 4（4y2 + 9z2 + 12yz）=0 ，由其圖象可知，f（x）≥ 0 ，即 12yz ≥ 0 成立，所以 x2 + 4y2+9z2 ≥ 4xy+6zx - 12yz 得證.

此題中的變量較多，并且不等式中的各項(xiàng)都是二次的，難以破解.于是可以確定一個主元，并以其為自變量構(gòu)造一個二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象討論根的分布情況，即可證明不等式成立.

三、構(gòu)造數(shù)列

當(dāng)遇見與自然數(shù) n 相關(guān)的數(shù)學(xué)問題時，可以根據(jù)題意構(gòu)造一個數(shù)列，運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前 n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解.

例 3 .證明：∑k = 1n1k> n （n ≥ 2） .

證明：構(gòu)造數(shù)列{xn}，這里xn =∑k = 1n1k- n ，則

所以xn + 1 >xn，則{xn}是單調(diào)遞增數(shù)列，

從而可得xn + 1 >xn ≥ x2 ，又 x2 =（1 + 12）- 2 = 1 - 22 > 0 ，

所以xn> 0 ，即∑k = 1

欲證含有與自然數(shù) n 有關(guān)的不等式 f （n）> g（n） ，可以構(gòu)造數(shù)列模型xn = f （n）- g（n） ，然后設(shè)法證明數(shù)列是單調(diào)數(shù)列，并且說明xn> 0 ，且 f （n），g（n） 均為正值，即可運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性證明不等式成立.

可見，巧妙運(yùn)用構(gòu)造法解題，能使問題快速獲解.而運(yùn)用構(gòu)造法解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的數(shù)學(xué)模型，從新的角度思考解題的方案.因此在運(yùn)用構(gòu)造法解題時，同學(xué)們要仔細(xì)審題，明確問題的本質(zhì)，展開聯(lián)想，將問題中的未知數(shù)、變量、自然數(shù)與方程、函數(shù)、數(shù)列關(guān)聯(lián)起來，然后構(gòu)造出相應(yīng)的方程、函數(shù)、數(shù)列，靈活運(yùn)用方程、函數(shù)、數(shù)列的性質(zhì)以及相關(guān)的公式來解題.

（作者單位：江蘇省大豐高級中學(xué)）