極值點偏移問題的常見解法
——以2021年高考數(shù)學新高考I卷第22題為例

宗欣妍 (蘇州大學數(shù)學科學學院2019級基地班 215006)

極值點偏移問題以導數(shù)為背景，考查學生運用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想解決問題的能力．此類問題呈現(xiàn)形式往往比較簡潔，涉及函數(shù)的雙零點，是多元函數(shù)問題．

1 極值點偏移的概念

圖1 圖2

圖3 圖4

2 原題再現(xiàn)

此題以基本初等函數(shù)為背景，主要考查了函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)證明不等式，考查了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法，并突出考查了學生分析問題和解決問題的能力．

3 方法剖析

3.1 構(gòu)造極值對稱差函數(shù)

函數(shù)f(x)的極值點為x0，若f(x1)=f(x2)，要證x1+x2>2x0(或x1+x2<2x0)，往往構(gòu)造對稱差函數(shù)F(x)=f(x)-f(2x0-x)(x

點評構(gòu)造對稱差函數(shù)是極值點偏移問題的一種通性解法，主要用來解決兩數(shù)和或者積與極值點相關(guān)的不等式證明問題．本題求證的不等式中含有兩個變量，對于此類問題一般的求解思路是將兩個變量分到不等式的兩側(cè)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，通過兩個變量之間的關(guān)系“減元”，建立新函數(shù)，最終將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性來求解．

事實上，有關(guān)極值點偏移的問題在高中階段大多與指對數(shù)函數(shù)相關(guān)，而雙變量的不等關(guān)系自然也可以捆綁借助對數(shù)平均不等式鏈來解決．

3.2 利用對數(shù)平均不等式

這里要說明的是，對數(shù)不等式在考場上并不能直接使用，用必證之(證明見文[1])．

點評應用對數(shù)平均不等式鏈來證明雙變量不等式，思路簡捷、別具新意、易于理解和掌握，在證明解答題時要“先證后用”．對數(shù)平均不等式的運用是近幾年數(shù)學競賽、高考數(shù)學命題的理論背景，它包含多個不等式，為我們提供了多種巧妙放縮的途徑，我們可以根據(jù)證明的需要合理選取其中一個來達到不等式證明的目的．

3.3 消元構(gòu)造一元函數(shù)

原題的右邊需證明x1+x2

方法1 根據(jù)f(x1)=f(x2)，即x1(1- lnx1)=x2(1-lnx2)，且0x1，故x1+x21)，求導可得h′(x)=1-lnx．當x∈(1,e)時，h′(x)>0；當x∈(e,+∞)時，h′(x)<0．故h(x)在(1,e)上單調(diào)遞增，在(e,+∞)上單調(diào)遞減，所以h(x)≤h(e)=e，即x1+x2

所以φ(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，故t>1時，φ(t)=(t-1)ln(1+t)-tlnt<φ(1)=0，即得證x1+x2

點評上述兩種解答都充分體現(xiàn)了數(shù)學核心素養(yǎng)對解題的思路引領(lǐng)．兩種解法分別建立了對應的數(shù)學模型，通過逐步深入的邏輯推理和數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算簡化問題，最后使問題得以輕松解決．放縮法是證明不等式的常用方法，方法1利用不等式性質(zhì)放縮，方法2利用對數(shù)切線不等式lnx≤x-1進行有目標的放縮，能達到事半功倍的效果．其中利用比(差)值代換是解決極值點偏移的另一種簡單快捷的方法，利用兩數(shù)之比(差)作為變量t，繼而將所求解問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)問題求解，將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，從而實現(xiàn)消元的目的．

極值點偏移問題在全國高考中屬于高頻題型，此類問題由淺入深，對計算難度、思維深度的要求逐步提高，很好地體現(xiàn)了數(shù)學的科學性、應用性和創(chuàng)造性．解決這類問題，本質(zhì)上就是將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，建立相應的數(shù)學模型，通過逐步深入的邏輯推理和數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算簡化問題，最后使問題得以輕松解決．