“做數(shù)學(xué)”視域下的教學(xué)實踐探究
——以蘇科版八年級下“圖形的旋轉(zhuǎn)”教學(xué)為例*

卞煥清 呂小兵 (江蘇省南菁高級中學(xué)實驗學(xué)校 214400)

王俊蓉 (江蘇省江陰市教師發(fā)展中心 214431)

“做數(shù)學(xué)”起源于上世紀(jì)國外科學(xué)學(xué)科實施的“Hands-on”學(xué)習(xí)計劃，我國于上世紀(jì)90年代在幼兒園和小學(xué)的科學(xué)教育中引入，后被引入中小學(xué)數(shù)學(xué)教育[1].“做數(shù)學(xué)”強調(diào)從實際生活出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生注意觀察周圍環(huán)境中的事物，鼓勵學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題；引導(dǎo)學(xué)生自己設(shè)計操作、親身實驗、實踐等活動，讓學(xué)生經(jīng)歷新的概念或者規(guī)律形成的過程，感悟思維和知識的發(fā)生過程.除了獲得知識結(jié)果以外，還能體會數(shù)學(xué)的基本思想和探究問題的基本路徑.當(dāng)前，“做數(shù)學(xué)”教育理念逐步進入了研究者的視野，成為教育者關(guān)心的熱點議題之一.

“圖形的運動”貫穿于整個義務(wù)教育階段[2]，三個學(xué)段的課程目標(biāo)各不相同：第一學(xué)段讓學(xué)生感受平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱現(xiàn)象；第二學(xué)段讓學(xué)生體驗簡單圖形的運動過程；第三學(xué)段需要學(xué)生能夠探索并理解平面圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱.從“感受”到“體驗”再到“探索、理解”，三個學(xué)段的課程目標(biāo)呈現(xiàn)螺旋上升，而初中階段聚焦探索和理解，需主動、深入、系統(tǒng)地研究三種運動方式的共性和個性問題.圖形的運動具有高度抽象性，難以直觀想象，因此“做數(shù)學(xué)”理念就成了應(yīng)然之選.

1 教材分析與設(shè)計理念

蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級下冊中“圖形的旋轉(zhuǎn)”是繼平移之后學(xué)習(xí)的另一種圖形的基本變換，也是后續(xù)學(xué)習(xí)中心對稱圖形及其變化的基礎(chǔ).然而，對于旋轉(zhuǎn)的基本概念和性質(zhì)的探索，教師一般采用講授式或者利用動畫演示進行處理，學(xué)生很難體會旋轉(zhuǎn)概念的生成，無法明確旋轉(zhuǎn)的研究目標(biāo)，更無法直觀地感受到圖形運動過程中存在著哪些“變與不變”，導(dǎo)致學(xué)生很難用運動的眼光去分析問題、解決問題.為了解決這個矛盾，筆者基于“做數(shù)學(xué)”教學(xué)理念[3]，以數(shù)學(xué)實驗為抓手，讓學(xué)生通過動手操作，親身體會圖形旋轉(zhuǎn)概念和性質(zhì)的生成，建立圖形運動的研究體系.

本節(jié)課的設(shè)計理念：(1)從學(xué)生實際接觸、觀察到的現(xiàn)象出發(fā)，從具體到抽象，從感性到理性，從實際到理論，再用實踐去檢驗理論，循序漸進地引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識生活中的旋轉(zhuǎn)，進而探索其性質(zhì)；(2)旋轉(zhuǎn)概念和性質(zhì)的探究是本節(jié)課的核心環(huán)節(jié)，整個探索過程充分體現(xiàn)“學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”，以探究式的教學(xué)方法為主，讓學(xué)生自主參與知識的生成；(3)作為初中階段研究的三種基本運動方式之一，同時也作為中心對稱圖形的章首課，課堂不應(yīng)僅僅止于旋轉(zhuǎn)知識的探索，也要幫助學(xué)生明確圖形的運動的研究目標(biāo)，更要幫助學(xué)生梳理研究數(shù)學(xué)問題的一般思路，真正提升學(xué)生解決問題的能力.

2 問題設(shè)計與教學(xué)實錄

2.1 提出問題，明確目標(biāo)，生成研究問題的知識體系

問題1相信同學(xué)們都聽過著名哲學(xué)家伏爾泰的一句話——“生命在于運動.”我們的生活也因為各種各樣的運動而過得絢麗多彩，你能說出下列生活場景體現(xiàn)出的運動方式嗎？能否給下列運動方式進行分類呢？

圖1 生活中的運動

設(shè)計意圖社會、數(shù)學(xué)知識和學(xué)生對數(shù)學(xué)課程發(fā)展影響的制約不是孤立的[4]，“做數(shù)學(xué)”強調(diào)從學(xué)生的生活經(jīng)驗出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生觀察日常生活中常見的事物，鼓勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題.本問題通過生活場景喚醒學(xué)生對圖形運動的認(rèn)識，能識別幾種運動方式并進行歸類，同時趣味性的開場白能夠活躍課堂氛圍，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

問題2同學(xué)們，圖形的平移是我們學(xué)習(xí)過的內(nèi)容，我們是如何研究圖形的平移的？

設(shè)計意圖若是只將目標(biāo)聚焦于旋轉(zhuǎn)的研究，那么學(xué)生對知識的認(rèn)知是碎片化的，無法對知識結(jié)構(gòu)從整體上認(rèn)識.事實上，平移、旋轉(zhuǎn)和翻折是初中階段研究的三種基本運動方式，研究的基本路徑也保持一致.因此，筆者從課堂整體建構(gòu)理念出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生自主回憶圖形平移的相關(guān)知識，梳理圖形平移的研究路徑，讓學(xué)生在探索圖形的旋轉(zhuǎn)時“有路可循”.

2.2 自主探索，形成概念，體會知識生長的基本過程

問題3類比圖形平移的概念，你能從三個生活情境中說出圖形旋轉(zhuǎn)的基本概念嗎？

問題4讓我們用動手操作來歸納圖形旋轉(zhuǎn)的概念，同時請思考，旋轉(zhuǎn)需要研究哪些要素？

設(shè)計意圖旋轉(zhuǎn)的概念和三要素是本節(jié)課要研究的一個重點，也是圖形旋轉(zhuǎn)研究的起點，無論是課件里的圖片還是精美的動畫都無法讓學(xué)生直觀感受到旋轉(zhuǎn)過程的動態(tài)變化.“做數(shù)學(xué)”理念下教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用材料和工具，設(shè)計實驗操作、實驗、實踐等活動，讓學(xué)生能夠通過具身體驗來獲得數(shù)學(xué)概念和性質(zhì).此環(huán)節(jié)通過細(xì)繩和砝碼設(shè)計了實驗操作，讓學(xué)生上臺演示旋轉(zhuǎn)過程.在歸納出旋轉(zhuǎn)基本概念的同時也能明確旋轉(zhuǎn)需要研究的三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度，三者缺一不可.

問題5同學(xué)們，我們已經(jīng)知道了旋轉(zhuǎn)的概念，下面我們要研究什么？

問題6對于復(fù)雜圖形的旋轉(zhuǎn)，我們很難發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)，那么我們可以如何研究呢？

設(shè)計意圖旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本節(jié)課要研究的核心內(nèi)容，但是教師直觀的展示并不能讓學(xué)生認(rèn)識到為什么要研究以及如何研究“對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等”和“對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心連線所形成的角相等”.問題5、6的拋出引導(dǎo)學(xué)生梳理研究問題的一般路徑，即從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生從研究點的旋轉(zhuǎn)開始，再研究線段和三角形的旋轉(zhuǎn)(圖2).此處利用兩張疊合的半透明硫酸紙讓學(xué)生體驗圖形的旋轉(zhuǎn)(圖3)，通過實踐操作探究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

圖2 圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的研究路徑

圖3 疊合的半透明硫酸紙

問題7請同學(xué)們動手操作，一起探索點的旋轉(zhuǎn)有什么性質(zhì)？

設(shè)計意圖旋轉(zhuǎn)的動態(tài)變化讓學(xué)生無法直觀感受到旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，而講授式的教學(xué)也讓學(xué)生無法體會到旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的自然生成.“做數(shù)學(xué)”理念強調(diào)課堂的架構(gòu)應(yīng)該由淺入深，有序地探索復(fù)雜問題.點的旋轉(zhuǎn)是研究其他復(fù)雜圖形旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)，任何復(fù)雜圖形的旋轉(zhuǎn)都可以轉(zhuǎn)化為點的旋轉(zhuǎn)進行研究.其次旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)研究的就是在旋轉(zhuǎn)這個動態(tài)變化的過程中有哪些量是不變的，即“變中不變”.本環(huán)節(jié)中，點旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)對于學(xué)生來說較易發(fā)現(xiàn)，即對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，如圖4中OA=OA′，且∠AOA′即為旋轉(zhuǎn)角.點的旋轉(zhuǎn)能夠幫助學(xué)生清晰地觀察到旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，為后續(xù)的探究打下基礎(chǔ).

圖4 點的旋轉(zhuǎn)示意圖

問題8對于線段的旋轉(zhuǎn)，同學(xué)們會探究了嗎？線段的旋轉(zhuǎn)具有哪些性質(zhì)呢？

追問：和點的旋轉(zhuǎn)不同的是，線段的旋轉(zhuǎn)要注意什么呢？

設(shè)計意圖旋轉(zhuǎn)中心位于旋轉(zhuǎn)三要素之首，是研究旋轉(zhuǎn)最先需確定的，但也是最容易忽視的，無序的探究往往也讓學(xué)生難以體會知識的內(nèi)在邏輯.在實際教學(xué)中，學(xué)生能夠自然聯(lián)想到的是旋轉(zhuǎn)中心在線段端點處的情況(圖5①)，這種情況下能夠得到如下發(fā)現(xiàn)：AB=AB′，且∠BAB′即為旋轉(zhuǎn)角.此時應(yīng)及時追問：旋轉(zhuǎn)中心是否只能在線段端點處？在圖5②中不難有如下發(fā)現(xiàn)：AB=A′B′，OA=OA′，OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′(兩角均為旋轉(zhuǎn)角).在圖5③中可以有如下發(fā)現(xiàn)：AB=A′B′，OA=OA′，OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′.在探索的過程當(dāng)中，學(xué)生也能很自然地意識到旋轉(zhuǎn)和平移性質(zhì)之間的聯(lián)系和區(qū)別.

圖5 線段的旋轉(zhuǎn)示意圖

問題9相信同學(xué)們會研究三角形的旋轉(zhuǎn)了，請大家動手操作.

追問：對于更復(fù)雜圖形的旋轉(zhuǎn)，同學(xué)們會探究了嗎？

設(shè)計意圖在系統(tǒng)地研究了線段旋轉(zhuǎn)性質(zhì)后，相對復(fù)雜的三角形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)也躍然紙上，旋轉(zhuǎn)中心分別在三角形邊上(圖6①)、在三角形內(nèi)部(圖6②)和在三角形外部(圖6③).學(xué)生也會聚焦旋轉(zhuǎn)角的相等、對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心連線的長度相等.對于更復(fù)雜圖形的旋轉(zhuǎn)，學(xué)生也會明確其探究路徑和需要探究的性質(zhì)，從而不僅積累了知識經(jīng)驗，還發(fā)展了能力.

圖6 三角形的旋轉(zhuǎn)示意圖

問題10請歸納圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

設(shè)計意圖學(xué)生在整個探究過程中歷經(jīng)了點、線段和三角形的旋轉(zhuǎn)的探究，教師需引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)三者的旋轉(zhuǎn)的共同性質(zhì).特別注意的是在探究過程中需要幫助學(xué)生明確旋轉(zhuǎn)是具有整體性的，即圖形上的每一個點均隨圖形的旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn).

2.3 課堂小結(jié)，梳理框架，實現(xiàn)知識探究的整體架構(gòu)

問題11你能說出本節(jié)課我們經(jīng)歷了怎樣的學(xué)習(xí)過程，是如何來研究圖形的旋轉(zhuǎn)的？

設(shè)計意圖課堂小結(jié)環(huán)節(jié)幫助學(xué)生梳理課堂研究邏輯，但不能局限于課堂知識的呈現(xiàn)和整理，需進一步突出類比思想在研究三種運動方式中的應(yīng)用，幫助學(xué)生梳理研究數(shù)學(xué)新知的一般線路.同時，研究路徑的梳理也能進一步幫助學(xué)生認(rèn)識到初中階段圖形運動相關(guān)知識的整體性，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識是整體關(guān)聯(lián)的，并非碎片化的堆砌.

圖7 圖形的運動研究路徑

3 “做數(shù)學(xué)”理念下的教學(xué)反思

3.1 聚焦情境性和具身性，讓知識在動手操作中生長

“做數(shù)學(xué)”強調(diào)課堂教學(xué)應(yīng)該從學(xué)生熟悉的生活實際出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生善于觀察，引發(fā)學(xué)生的共鳴，讓學(xué)生產(chǎn)生探索新知的內(nèi)在需求，進而主動參與到課堂探索中去.本節(jié)課從常見的生活場景出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生觀察生活中存在的運動方式，并依據(jù)運動方式的類型進行歸納，引發(fā)學(xué)生思考：生活中常見的旋轉(zhuǎn)運動到底具有怎樣的性質(zhì)？由此激發(fā)學(xué)生探求問題的興趣.

具身體驗也是“做數(shù)學(xué)”的聚焦點，課堂教學(xué)中學(xué)生圍繞某個問題開展系列的動手操作、實驗、歸納等實踐活動，化動態(tài)為靜態(tài)、化抽象為具體，感悟數(shù)學(xué)的基本思想.本節(jié)課中利用砝碼和細(xì)繩探索旋轉(zhuǎn)的基本概念和旋轉(zhuǎn)的三要素，利用半透明硫酸紙進行旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的探索環(huán)節(jié)的設(shè)計和實踐.實驗材料的易獲取性使得學(xué)生能夠在課堂有限的時間后，利用課后時間進一步設(shè)計實驗方案并探索，培養(yǎng)學(xué)生通過實驗的設(shè)計和操作發(fā)展解決問題的能力.

3.2 緊扣主體性和交互性，讓學(xué)生在主動學(xué)習(xí)中探索

“做數(shù)學(xué)”理念下課堂的主體是學(xué)生，知識、技能和能力的獲得最終都需要學(xué)生自我內(nèi)化.因此，整個課堂教學(xué)緊密圍繞學(xué)生的實踐活動展開，無論是旋轉(zhuǎn)的概念還是旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的歸納，都需要學(xué)生動手操作，在進一步的發(fā)現(xiàn)、歸納中獲得知識.整個課堂中教師起到主導(dǎo)作用，并確保學(xué)生的主體性，引導(dǎo)學(xué)生探究旋轉(zhuǎn)的研究路線和確定實驗方法；修正或改進學(xué)生提出的方案.在旋轉(zhuǎn)性質(zhì)探究過程中，線段旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)中心的確定就需要教師不斷引導(dǎo)學(xué)生思考，探究旋轉(zhuǎn)中心位置的幾種可能性，不斷完善旋轉(zhuǎn)性質(zhì)探究的實驗方案.

3.3 著眼開放性和育人性，讓素養(yǎng)在數(shù)學(xué)研究中發(fā)展

“做數(shù)學(xué)”視域下的課堂預(yù)設(shè)是多元的，允許學(xué)生各抒己見，也容許學(xué)生“犯錯”.學(xué)生不同想法的大膽表達往往能夠激發(fā)大家思考，進而發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維，學(xué)生在交流過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì).在本節(jié)課中，探究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的過程中應(yīng)設(shè)置多種預(yù)設(shè)，滿足學(xué)生開放性探索的需求，特別是在探究三角形旋轉(zhuǎn)時，旋轉(zhuǎn)的過程中到底有哪些變化的量、哪些不變的量，都需要學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)和歸納.

課堂教學(xué)不僅僅是為了幫助學(xué)生獲取數(shù)學(xué)原理和知識，更應(yīng)關(guān)注學(xué)生關(guān)鍵能力的提升和認(rèn)識世界的一般方法的掌握，這正是育人性的體現(xiàn).本節(jié)課不僅關(guān)注旋轉(zhuǎn)概念和性質(zhì)的探究，還通過實驗活動引導(dǎo)學(xué)生梳理研究圖形運動的一般路徑，把握知識的整體脈絡(luò)，體會數(shù)學(xué)研究的一般方法.整個課堂需緊密圍繞學(xué)生自主設(shè)計實驗方案并動手實踐，達成知識體系的建構(gòu)和能力的提升，實現(xiàn)課堂角色的“翻轉(zhuǎn)”，實現(xiàn)數(shù)學(xué)價值和學(xué)生思維的發(fā)展，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng).