基于Total-FETI法的混凝土損傷分析子區(qū)域剖分研究

邱莉婷 馬福恒 沈心哲

摘要：在整體有限元撕裂對(duì)接法和隱式梯度損傷模型結(jié)合的基礎(chǔ)上，針對(duì)損傷子區(qū)域模擬的高精度要求和混凝土損傷擴(kuò)展路徑的不確定性問題，通過引入基于非局部損傷應(yīng)變的子區(qū)域自適應(yīng)更新方法，結(jié)合子區(qū)域更新誤判修正，實(shí)現(xiàn)了混凝土損傷失效過程非線性子區(qū)域的高精度有限元網(wǎng)格自適應(yīng)更新。同時(shí)，對(duì)L型混凝土試件進(jìn)行不同子區(qū)域剖分?jǐn)?shù)量和子區(qū)域分解形式的數(shù)值試驗(yàn)對(duì)比分析。研究結(jié)果表明：模型不存在子區(qū)域分解敏感性;子區(qū)域剖分?jǐn)?shù)量越多，或者子區(qū)域分解方式與損傷擴(kuò)展路徑相適應(yīng)時(shí)，高精度有限元網(wǎng)格子區(qū)域的自適應(yīng)更新數(shù)量越少，模型計(jì)算規(guī)模減小明顯;此外，子區(qū)域界面節(jié)點(diǎn)的增加對(duì)計(jì)算規(guī)模削減的影響較小，模型整體計(jì)算效率提高明顯。研究結(jié)果可為混凝土損傷分析的并發(fā)多尺度數(shù)值計(jì)算提供參考。

關(guān) 鍵 詞：混凝土損傷; 隱式梯度損傷模型; 整體有限元撕裂對(duì)接法; 子區(qū)域自適應(yīng)更新; 子區(qū)域分解形式; 計(jì)算效率

中圖法分類號(hào)： TU43

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

DOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2022.04.028

0 引 言

混凝土結(jié)構(gòu)服役過程中在結(jié)構(gòu)突變區(qū)域容易出現(xiàn)局部應(yīng)力集中現(xiàn)象，其工程結(jié)構(gòu)的失效往往源于局部構(gòu)件的細(xì)觀缺陷和損傷局部化行為[1-2]。進(jìn)行混凝土結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和強(qiáng)度分析時(shí)不僅要把握結(jié)構(gòu)整體力學(xué)響應(yīng)，同時(shí)也應(yīng)該重視混凝土的損傷萌生、擴(kuò)展和失效過程[3]。損傷力學(xué)作為模擬連續(xù)介質(zhì)逐步劣化過程的有效分析方法，可反映結(jié)構(gòu)從完整連續(xù)介質(zhì)結(jié)構(gòu)體到局部損傷萌生直至整體失效的全過程[4]。隨著損傷的不斷積累，混凝土因其準(zhǔn)脆性特性將出現(xiàn)應(yīng)變局部化和應(yīng)變軟化行為[5]，為保證計(jì)算精度，該區(qū)域有限元網(wǎng)格的精細(xì)化程度也需要不斷提高?；炷磷鳛榈湫偷臏?zhǔn)脆性材料[6]，其細(xì)觀結(jié)構(gòu)由骨料、硬化水泥砂漿和二者間的界面黏結(jié)帶組成[7-8]。混凝土的斷裂破壞是細(xì)觀層次上損傷積累與宏觀尺度上裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展交織發(fā)展的復(fù)雜過程[9]。混凝土結(jié)構(gòu)的損傷擴(kuò)展路徑具有不確定性[10]，數(shù)值計(jì)算過程需要不斷地進(jìn)行網(wǎng)格自適應(yīng)更新，以滿足對(duì)損傷局部化區(qū)域力學(xué)特性的準(zhǔn)確把握。

本文將整體有限元撕裂對(duì)接法和隱式梯度損傷模型相結(jié)合，在損傷子區(qū)域高精度有限元網(wǎng)格自適應(yīng)更新的基礎(chǔ)上，開展混凝土損傷失效過程自適應(yīng)、多尺度區(qū)域分解模擬，并開展子區(qū)域分解影響研究，為模型混凝土損傷區(qū)域的高精度模擬和損傷擴(kuò)展路徑的不確定性問題研究提供解決途徑。

1 混凝土損傷分析的Total-FETI法

1.1 基于隱式梯度損傷模型的Total-FETI法

隱式梯度損傷模型屬于特殊的非局部損傷模型[11-12]，其將非局部模型中的權(quán)函數(shù)替換成格林（Green）函數(shù)[13]，該模型結(jié)合了空間相互作用與梯度公式的計(jì)算效率，操作更為簡(jiǎn)單，也稱修正的Helmholtz’s方程：

εeq-clSymbolQC@2εeq=ε（1）

式中：非局部等效應(yīng)變?chǔ)舉q不是由等效局部應(yīng)變?chǔ)藕退膶?dǎo)數(shù)顯式描述的，而是作為包含方程（1）的邊值問題和近似邊界條件的解[14];梯度參數(shù)為內(nèi)部長(zhǎng)度參數(shù)l的函數(shù)。

有限元撕裂對(duì)接法（finite element tearing and interconnecting method，F(xiàn)ETI）屬于采用局部邊界條件的不重疊區(qū)域分解法[15-16]，其并行計(jì)算的收斂速度與子區(qū)域的數(shù)量相互獨(dú)立，可以將原求解問題劃分成更多的子區(qū)域進(jìn)行求解，且可以保證較高的求解效率[17]。整體有限元撕裂對(duì)接法（Total-FETI）在有限元撕裂對(duì)接法基礎(chǔ)上將拉格朗日算子同時(shí)用于子區(qū)域界面連接和狄利克雷邊界條件的施加[18-19]，可簡(jiǎn)化子區(qū)域剛度矩陣的求逆過程。非線性有限元撕裂對(duì)接法的線性方程系統(tǒng)和子區(qū)域Ω（s）間的位移連續(xù)條件可表述為

A（s）kδu（s）k+1+B（s）Tδλk+1=f（s）ext-B（s）Tλk-f（s）int，k（u（s）k）（2）

Nss=1B（s）u（s）k+Nss=1B（s）δu（s）k+1=0（3）

式中：A（s）是切線剛度矩陣;δu（s）和δλ（s）分別為位移增量和拉格朗日乘子增量;布爾矩陣B（s）由子區(qū)域界面的布爾矩陣和狄利克雷邊界條件對(duì)應(yīng)的布爾矩陣按行串連構(gòu)成;f（s）ext為外力向量;f（s）int為內(nèi)力向量;Ns為子區(qū)域數(shù)量。

隱式梯度損傷模型的非局部等效應(yīng)變?chǔ)舉q在Total-FETI中可通過對(duì)給定子區(qū)域界面的拉格朗日算子進(jìn)行修正實(shí)現(xiàn)：

λd=λλεeq（4）

式中：λεeq為非局部等效應(yīng)變對(duì)應(yīng)的自由度。

再通過擴(kuò)展布爾矩陣B（s）將λd裝配到相應(yīng)位置，布爾矩陣Bd （s）由原來Total-FETI的子區(qū)域界面的布爾矩陣B（s）和非局部等效應(yīng)變對(duì)應(yīng)的布爾矩陣B（s）eq按行串連構(gòu)成：

B（s）d=B（s）B（s）eq（5）

1.2 FETI的局部子區(qū)域自適應(yīng)更新

本文混凝土結(jié)構(gòu)的損傷分析采用隱式梯度損傷模型。對(duì)于各個(gè)非線性子區(qū)域的實(shí)時(shí)判別，可以根據(jù)特定加載步的各子區(qū)域的非局部等效應(yīng)變最大值ε（s），maxeq與損傷發(fā)生時(shí)的應(yīng)變閾值k0的相對(duì)關(guān)系進(jìn)行。僅當(dāng)子區(qū)域的非局部等效應(yīng)變最大值ε（s），maxeq大于等于應(yīng)變閾值k0時(shí)，損傷才會(huì)發(fā)生。這里，對(duì)子區(qū)域Ω（s）遍歷其所有節(jié)點(diǎn)n得到其非局部等效應(yīng)變最大值ε（s），maxeq，t和非局部等效應(yīng)變最小值ε（s），mineq，t：

ε（s），maxeq，t=max（εeqi），i=1，2，…，n（6）

ε（s），mineq，t=min（εeqi），i=1，2，…，n（7）

記加載步t和加載步t+1所對(duì)應(yīng)的非局部等效應(yīng)變差值的預(yù)測(cè)值為Δε（s）t，則加載步t+1的非局部等效應(yīng)變最大值ε（s），peq，t+1的實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)值為[20]

Δε（s）t=max（ε（s），maxeq，t-ε（s），mineq，t-1，ε（s），mineq，t-ε（s），maxeq，t-1）（8）

ε（s），peq，t+1=ε（s），maxeq，t+Δε（s）t（9）

引入基于層級(jí)多尺度的子區(qū)域自適應(yīng)更新方法[21]進(jìn)行非線性子區(qū)域?qū)崟r(shí)更新。首先，通過邊值問題求解以獲取被替換子區(qū)域的最近變形;然后，進(jìn)行整體區(qū)域的重新平衡迭代以消除由于子區(qū)域更新導(dǎo)致的殘余應(yīng)力;進(jìn)一步地，采用尺度間的線性多點(diǎn)約束（interscale linear multi-point constraints，ILMPCs）[21-22]進(jìn)行子區(qū)域更新后的非協(xié)調(diào)界面連接，使得不同精細(xì)度有限元網(wǎng)格子區(qū)域可在同一個(gè)有限元計(jì)算模型中共存。

對(duì)于兩個(gè)網(wǎng)格精細(xì)度不一致的子區(qū)域，其尺度間的線性多點(diǎn)約束用矩陣形式可表示如下[23]：

Pu=[P（1） P（2）]u（1）u（2）=0 （10）

式中：u（s）為子區(qū)域Ω（s）的位移向量;矩陣P（s）由線性多點(diǎn)約束組成，建立了子區(qū)域更新后新增界面節(jié)點(diǎn)與鄰接子區(qū)域節(jié)點(diǎn)間的聯(lián)系，即高精度有限單元的節(jié)點(diǎn)自由度通過鄰接子區(qū)域交界面處單元的形函數(shù)插值求得。

這一系列尺度間的線性多點(diǎn)約束施加可以通過在Total-FETI中用拉格朗日乘子添加額外數(shù)量的方程完成。通過定義一個(gè)修正的布爾矩陣B（s）來實(shí)現(xiàn)。修正后布爾矩陣B（s）由B（s）d和約束矩陣P（s）按行串連組成：

B（1）B（2）=B（s）dB（s）dP（1）P（2）（11）

擴(kuò)展后的拉格朗日乘子U包含鄰接子區(qū)域間節(jié)點(diǎn)的界面約束λd以及與更新子區(qū)域新增節(jié)點(diǎn)間的約束η：

U=λdη（12）

基于修正后的布爾矩陣B（s），非線性整體有限元撕裂對(duì)接法方程（2）和方程（3）可以改寫為

A（s）kδu（s）k+1+B（s）TδUk+1=f（s）ext-B（s）TUk-f（s）int，k（u（s）k）（13）

Nss=1B（s）u（s）k+Nss=1B（s）δu（s）k+1=0（14）

1.3 非線性子區(qū)域誤判修正

為防止出現(xiàn)某個(gè)非線性子區(qū)域的誤判，在加載步t+1迭代收斂后，每個(gè)子區(qū)域Ω（s）的非局部等效應(yīng)變預(yù)測(cè)值ε（s），peq和非局部等效應(yīng)變計(jì)算值ε（s），maxeq都將與損傷發(fā)生的非局部等效應(yīng)變閾值k（s）0進(jìn)行對(duì)比分析：

Δε（s），peq，t+1=ε（s），peq-k（s）0（15）

Δε（s）eq，t+1=ε（s），maxeq-k（s）0（16）

一旦出現(xiàn)Δε（s），peq，t+1<0且Δε（s）eq，t+1≥0的情況，則表明子區(qū)域Ω（s）的非線性出現(xiàn)誤判，此時(shí)應(yīng)該將子區(qū)域Ω（s）判定為非線性子區(qū)域，再返回上一個(gè)加載步t進(jìn)行重新迭代計(jì)算，以修正加載步t+1的求解。

2 L型混凝土試件損傷分析的數(shù)值試驗(yàn)

2.1 Total-FETI模型及計(jì)算參數(shù)

為分析子區(qū)域分解方式對(duì)模型計(jì)算結(jié)果和計(jì)算效率的影響，對(duì)圖1所示的三維L型混凝土試件采用3種不同的子區(qū)域分解方式進(jìn)行計(jì)算對(duì)比。試件幾何尺寸如圖1所示，邊界條件為在x=100 mm的R面上施加約束，ux=0 mm和uz=0 mm;在y=0 mm的B面上施加約束uy=0 mm和uz=0 mm;在y=100 mm的頂面施加ux=-0.6 mm和uz=-0.6 mm的位移約束。計(jì)算采用隱式梯度損傷模型，其參數(shù)說明如下：采用修正的von Mises模型計(jì)算等效應(yīng)變，其混凝土的壓縮和拉伸強(qiáng)度比值η為10;采用Mazars模型[24]中的損傷演化法則，其控制軟化速率的β取值為50，控制殘余應(yīng)力的α取值為0.999，損傷發(fā)生時(shí)的應(yīng)變閾值k0取值為0.000 5;彈性模量E取值為40 000 MPa，泊松比υ為0.2，梯度參數(shù)c=1 mm2。將各個(gè)子區(qū)域的剛度方程和描述各子區(qū)域界面和邊界條件的布爾矩陣直接組裝成有限元支配方程的整體系數(shù)矩陣。線性方程組系統(tǒng)采用直接求解法進(jìn)行求解，求解器為并行直接求解器Pardiso[25]。同時(shí)，采用1.3節(jié)所述非線性子區(qū)域誤判修正對(duì)每個(gè)加載步非線性判斷進(jìn)行復(fù)核。

多尺度計(jì)算采用粗網(wǎng)格和細(xì)網(wǎng)格兩套有限元模型，其中細(xì)網(wǎng)格模型是在粗網(wǎng)格模型上進(jìn)行細(xì)分得到，如圖2所示，均采用八節(jié)點(diǎn)六面體單元進(jìn)行網(wǎng)格剖分。粗網(wǎng)格模型圖2（a）的節(jié)點(diǎn)總數(shù)為3 000，單元總數(shù)1 536;細(xì)網(wǎng)格模型圖2（b）節(jié)點(diǎn)總數(shù)117 912，單元總數(shù)98 304。

為對(duì)比三維情況下不同子區(qū)域剖分方式對(duì)子區(qū)域自適應(yīng)更新、計(jì)算內(nèi)存和計(jì)算時(shí)間的影響，將L型混凝土試件分別分解為如圖3所示的24個(gè)正方體子區(qū)域試件，48個(gè)長(zhǎng)方體子區(qū)域試件以及192個(gè)正方體子區(qū)域試件。需要指出的是，圖3（b）所示試件缺口兩側(cè)的長(zhǎng)方體子區(qū)域分別采用水平向布置和豎直向布置，這與其他區(qū)域均采用水平布置有所不同。

2.2 試驗(yàn)結(jié)果分析

各試件在其y=100 mm試件頂面位置的荷載-ux曲線如圖4所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，3種不同子區(qū)域分解方式下試件的荷載-ux曲線保持基本一致，子區(qū)域分解數(shù)量增加時(shí)，試件剛度呈現(xiàn)微小幅度地增大。接下來，通過選取曲線上的各試件的第一次子區(qū)域網(wǎng)格自適應(yīng)更新的A點(diǎn)、峰值荷載所對(duì)應(yīng)的B點(diǎn)和試件基本完全破壞所對(duì)應(yīng)的C點(diǎn)的各子區(qū)域網(wǎng)格自適應(yīng)更新情況進(jìn)行對(duì)比分析。

如圖5所示，3個(gè)試件的第一次基于子區(qū)域的自適應(yīng)網(wǎng)格更新數(shù)量不一樣。直觀來看在這個(gè)階段呈現(xiàn)的規(guī)律是子區(qū)域分解數(shù)量越多，則自適應(yīng)更新的網(wǎng)格數(shù)量越少。定量分析表明：其中該階段L-24的網(wǎng)格總數(shù)為13 632，為全局細(xì)觀網(wǎng)格總數(shù)的13.87%，內(nèi)存占用量2 286 MB;L-48的網(wǎng)格總數(shù)為7 584，為全局細(xì)觀網(wǎng)格總數(shù)的7.71%，內(nèi)存占用量1 542 MB;L-192的網(wǎng)格總數(shù)為3 048，為全局細(xì)觀網(wǎng)格總數(shù)的3.10%，內(nèi)存占用量1 785 MB。定量分析結(jié)論和直觀規(guī)律基本一致，但是內(nèi)存占用量反而是L-192較L-48增大了15.8%，可見在此階段大幅增加子區(qū)域分解數(shù)量會(huì)使得界面自由度加大，削減了其減少自適應(yīng)網(wǎng)格更新數(shù)量帶來的效率。

如圖6所示為3個(gè)不同子區(qū)域剖分形式試件在峰值荷載階段的自適應(yīng)網(wǎng)格更新數(shù)量。直觀來看仍是隨子區(qū)域分解數(shù)量加大自適應(yīng)更新的網(wǎng)格數(shù)量減少。定量分析表明：該階段L-24的網(wǎng)格總數(shù)為45 888，為全局細(xì)觀網(wǎng)格總數(shù)的46.68%，內(nèi)存占用量7 358 MB;L-48的網(wǎng)格總數(shù)為33 792，為全局細(xì)觀網(wǎng)格總數(shù)的34.38%，內(nèi)存占用量5 728 MB;L-192的網(wǎng)格總數(shù)為20 184，為全局細(xì)觀網(wǎng)格總數(shù)的20.53%，內(nèi)存占用量4 607 MB。定量分析結(jié)論和直觀規(guī)律一致，同時(shí)內(nèi)存占用量也呈現(xiàn)隨子區(qū)域剖分?jǐn)?shù)量增加而遞減的情況，說明子區(qū)域界面自由度增加所導(dǎo)致的計(jì)算效率下降影響在子區(qū)域數(shù)量更新中期已經(jīng)不再明顯。

如圖7所示，3個(gè)不同子區(qū)域分解形式試件在基本完全損傷階段的自適應(yīng)網(wǎng)格更新總數(shù)量與前述階段的規(guī)律一致，即均隨子區(qū)域數(shù)量遞增而減少。定量分析表明：L-24的網(wǎng)格總數(shù)為57 984，為全局細(xì)觀網(wǎng)格總數(shù)的58.98%，內(nèi)存占用量9 271 MB;L-48的網(wǎng)格總數(shù)為43 872，為全局細(xì)觀網(wǎng)格總數(shù)的44.63%，內(nèi)存占用量7 338 MB;L-192的網(wǎng)格總數(shù)為34 800，為全局細(xì)觀網(wǎng)格總數(shù)的35.40%，內(nèi)存占用量7 014 MB。定量分析結(jié)論和直觀規(guī)律一致，子區(qū)域分解數(shù)量的增加可明顯減小計(jì)算網(wǎng)格模型規(guī)模以及內(nèi)存使用量，子區(qū)域界面自由度增加對(duì)計(jì)算效率降低的影響較小。同時(shí)，圖7（b）可解釋為何將L-48試件缺口兩側(cè)子區(qū)域分別設(shè)置為水平向和豎直向布置，因?yàn)楸疚淖赃m應(yīng)網(wǎng)格更新是基于子區(qū)域網(wǎng)格更新進(jìn)行的，根據(jù)損傷可能的擴(kuò)展形式將兩側(cè)子區(qū)域設(shè)置為不同方向可使得損傷影響的子區(qū)域盡量少。再?gòu)挠?jì)算時(shí)間來看，L-24計(jì)算時(shí)間為13.79 h，L-48計(jì)算時(shí)間為10.68 h，L-192計(jì)算時(shí)間為8.72 h?？芍狶-48和L-192的計(jì)算時(shí)間相差較小，進(jìn)一步說明了合理劃分子區(qū)域形式也是提高計(jì)算效率的有效手段。

綜上可知，不同子區(qū)域分解方式的損傷擴(kuò)展模式以及荷載-ux曲線均保持良好的一致性，子區(qū)域的不同形式以及不同數(shù)量的分解對(duì)計(jì)算結(jié)果影響不大，模型不存在子區(qū)域分解敏感性。對(duì)比分析不同子區(qū)域分解數(shù)量的網(wǎng)格更新結(jié)果和計(jì)算內(nèi)存需求可知，子區(qū)域網(wǎng)格分解數(shù)量越多所需要的計(jì)算網(wǎng)格數(shù)量越小，計(jì)算所需內(nèi)存也呈現(xiàn)同樣規(guī)律，且此優(yōu)勢(shì)在子區(qū)域自適應(yīng)更新的中后期更為明顯。因?yàn)閺木W(wǎng)格增長(zhǎng)速率來看，L-24和L-48網(wǎng)格在后期增長(zhǎng)較慢，說明自適應(yīng)更新中期精細(xì)網(wǎng)格已經(jīng)基本上被替換，整體計(jì)算效率要自然比L-192網(wǎng)格更新隨損傷發(fā)展均勻替換要低。

3 結(jié) 論

本文采用隱式梯度損傷模型作為混凝土損傷分析的本構(gòu)模型，并采用Total-FETI方法進(jìn)行混凝土損傷失效過程的自適應(yīng)并發(fā)多尺度區(qū)域分解模擬。針對(duì)混凝土損傷子區(qū)域的高精度模擬要求和損傷擴(kuò)展路徑的不確定性問題，通過L型混凝土試件數(shù)值試驗(yàn)開展了子區(qū)域分解對(duì)模型規(guī)模及計(jì)算效率的影響研究，主要得出以下結(jié)論。

（1） 對(duì)混凝土試件采用不同的子區(qū)域分解形式和分解數(shù)量進(jìn)行對(duì)比分析，計(jì)算所得損傷模式一致，可知模型無區(qū)域分解敏感性。

（2） 由于模型各子區(qū)域均采用粗網(wǎng)格，僅局部非線性子區(qū)域進(jìn)行高精度細(xì)觀網(wǎng)格替換，界面節(jié)點(diǎn)數(shù)量增加對(duì)計(jì)算規(guī)模和計(jì)算效率影響較小。

（3） 子區(qū)域數(shù)量分解越多，自適應(yīng)更新的高精度子區(qū)域越少，有限元模型網(wǎng)格數(shù)量減少，從而計(jì)算效率提高。

（4） 子區(qū)域分解方式與損傷可能擴(kuò)展路徑相適應(yīng)，損傷區(qū)域涉及的高精度子區(qū)域越少，模型耗費(fèi)計(jì)算資源削減，計(jì)算效率改進(jìn)。

綜上可知，子區(qū)域分解方式和子區(qū)域分解數(shù)量對(duì)自適應(yīng)網(wǎng)格更新總數(shù)及計(jì)算所需內(nèi)存影響顯著，合理的子區(qū)域剖分方式和適當(dāng)?shù)淖訁^(qū)域分解數(shù)量可以有效降低計(jì)算規(guī)模和計(jì)算內(nèi)存需求。

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（編輯：鄭 毅）

Research on sub-domain meshing of concrete damage analysis based on Total-FETI method

QIU Liting，MA Fuheng，SHEN Xinzhe

（Nanjing Hydraulic Research Institute，Nanjing 210029，China）

Abstract：

Based on combination of total finite element tearing-interconnecting method and gradient-enhanced continuum damage model，aiming at the high-precision requirements of the damage sub-domain simulation and the uncertainty of concrete damage propagation path，through introducing the sub-domain adaptive updating method based on non-local equivalent strain，and incorporating the sub-domain update misjudgment correction，the high-precision finite element mesh adaptive update of nonlinear sub-domain during concrete damage and failure process simulation were realized.Moreover，numerical tests having different domain meshing numbers and domain meshing forms were carried out on L-shaped concrete specimen.The results show that there was no sub-domain meshing sensitivity for the model.When the number of sub-domain subdivision increased or the meshing mode of sub-regions was adapted to the damage propagation path，the number of adaptive updating of the sub-domain with high-precision finite element mesh decreased，and the calculation scale of the model was significantly reduced.In addition，the increment of sub-regional interface nodes had little effect on the reduction of calculation scale，and the overall calculation efficiency of the model was significantly improved.This study can provide reference for concurrent multi-scale numerical calculation of concrete damage analysis.

Key words：

concrete damage;gradient-enhanced continuum damage model;total finite element tearing-interconnecting method;sub-domain adaptive updating;sub-domain decomposition pattern;computational efficiency