導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)易錯(cuò)題剖析

■河南省許昌市建安區(qū)第一高級(jí)中學(xué) 田吉龍

高考中函數(shù)的零點(diǎn)主要考查零點(diǎn)所在區(qū)間——零點(diǎn)存在性定理,數(shù)形結(jié)合解決根的個(gè)數(shù)問題或求參數(shù)的值。其中常用到函數(shù)的零點(diǎn),方程思想,與圖像交點(diǎn)的轉(zhuǎn)化等知識(shí)。下面就函數(shù)的零點(diǎn)問題總結(jié)同學(xué)們的失分情況,為同學(xué)們的復(fù)習(xí)備考提供幫助。

題型一、判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)

例1設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+,m∈R,討論函數(shù)g(x)=f＇(x)-的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

解析:由題設(shè)得g(x)=f＇(x)-。

令g(x)=0,得m=+x(x＞0)。

設(shè)φ(x)=+x(x＞0),則φ＇(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1)。

當(dāng)x∈(0,1)時(shí),φ＇(x)＞0,φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),φ＇(x)＜0,φ(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減。

所以x=1是φ(x)的唯一極值點(diǎn),且是極大值點(diǎn),因此x=1是φ(x)的最大值點(diǎn),所以φ(x)的最大值為φ(1)=。

作出φ(x)=+x(x＞0)的大致圖像,如圖1所示。

圖1

又φ(0)=0,結(jié)合y=φ(x)的圖像可知:

①當(dāng)m＞時(shí),函數(shù)g(x)無零點(diǎn);

②當(dāng)m=時(shí),函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn);

③當(dāng)0＜m＜時(shí),函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn);

④當(dāng)m≤0時(shí),函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)。

綜上可得,當(dāng)m＞時(shí),函數(shù)g(x)無零點(diǎn);

當(dāng)m=或m≤0時(shí),函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)0＜m＜時(shí),函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)。

易錯(cuò)點(diǎn)分析:(1)函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù),且必須在定義域內(nèi);(2)畫函數(shù)圖像時(shí)要注意最大值或者最小值,圖像是否與x軸有交點(diǎn)等特殊情況。

例2已知函數(shù)f(x)=exsinx(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),f＇(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)。

(1)證明:當(dāng)x∈時(shí),f(x)+(xπ)·f＇(x)≥0;

(2)記g(x)=f(x)-ax,若0＜a＜3,討論g(x)在(0,π)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。（參考數(shù)據(jù)≈4.8）

解析:(1)由題意得f＇(x)=ex(sinx+cosx)=。

當(dāng)x∈時(shí),要證f(x)+(x-π)·f＇(x)≥0,即證sinx-(sinx+cosx)(xπ)≥0。

設(shè)h(x)=sinx-(sinx+cosx)(xπ),x∈,則h＇(x)=cosx-(sinx+cosx)-(sinx-cosx)(x-π)=-sinx-(sinx-cosx)(x-π)＜0。

所以h(x)在區(qū)間上為減函數(shù),故h(x)≥h(π)=0,即原命題得證。

(2)由已知得g(x)=exsinx-ax,則g＇(x)=ex(sinx+cosx)-a。

設(shè)φ(x)=g＇(x),則φ＇(x)=2excosx。

當(dāng)0＜x＜時(shí),φ＇(x)＞0;當(dāng)＜x＜π時(shí),φ＇(x)＜0。

所以g＇(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減。

又g＇(0)=1-a,g＇(π)=-eπ-a＜0。

①若1-a≥0,即0＜a≤1,則g＇(0)≥0,故＞0,所以存在x0∈,使得g＇(x)=0。

當(dāng)0＜x＜x0時(shí),g＇(x)＞0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)x0＜x＜π 時(shí),g＇(x)＜0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減。

所以x=x0是g(x)的極大值點(diǎn)。

由g(0)=0,得g(x0)＞0,又g(π)=-aπ＜0,故由零點(diǎn)的存在性定理得g(x)在(0,π)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)。

②若1＜a＜3,則g＇(0)=1-a＜0。

因?yàn)間＇(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,所以存在,使得g＇(x1)=g＇(x2)=0,且當(dāng)x∈(0,x1)或x∈(x2,π)時(shí),g＇(x)＜0;當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí),g＇(x)＞0。

故g(x)在(0,x1)和(x2,π)上單調(diào)遞減;在(x1,x2)上單調(diào)遞增。

因?yàn)間(0)=0,所以g(x1)＜0。

又g(π)=-aπ＜0,故由零點(diǎn)存在性定理得g(x)在(x1,x2)和(x2,π)上各有一個(gè)零點(diǎn)。

綜上可得,當(dāng)0＜a≤1時(shí),g(x)在(0,π)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)1＜a＜3 時(shí),g(x)在(0,π)上有兩個(gè)零點(diǎn)。

易錯(cuò)點(diǎn)分析:先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值,根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖像,然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)問題,突出導(dǎo)數(shù)的工具作用,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用。由f(x)=0分離變量得出a=g(x),將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線y=a與函數(shù)y=g(x)的圖像的交點(diǎn)問題。在判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)要注意單調(diào)性與函數(shù)零點(diǎn)之間的聯(lián)系,單調(diào)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)。

題型二、函數(shù)零點(diǎn)偏移問題

例3已知函數(shù)f(x)=-2lnx(a∈R,a≠0)。

(1)求函數(shù)f(x)的極值;

(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1＜x2),且a=4,證明:x1+x2＞4。

解析:(1)由題意知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f＇(x)=。

若a＜0,則f＇(x)＜0,f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),所以f(x)在(0,+∞)上無極值。

若a＞0,當(dāng)x∈(0,)時(shí),f＇(x)＜0,f(x)在(0,)上是減函數(shù);

當(dāng)x∈(,+∞)時(shí),f＇(x)＞0,f(x)在(,+∞)上是增函數(shù)。

故當(dāng)x=時(shí),f(x)在(0,+∞)上的極小值為=1-lna,無極大值。

(2)當(dāng)a=4時(shí),f(x)=-2lnx。

由(1)知,f(x)在(0,2)上是減函數(shù),在(2,+∞)上是增函數(shù),x=2是極值點(diǎn),又x1,x2為函數(shù)f(x)的零點(diǎn),所以0＜x1＜2＜x2,要證x1+x2＞4,只需證x2＞4-x1。

因?yàn)閒(4-x1)=-2ln(4-x1)=-2x1+4-2ln(4-x1),又因?yàn)閒(x1)=-2lnx1=0,所以f(4-x1)=2lnx1-2x1+4-2ln(4-x1)。

令h(x)=2lnx-2x+4-2ln(4-x)(0＜x＜2),則h＇(x)=＞0。

所以h(x)在(0,2)上為增函數(shù),所以h(x)＜h(2)=0,所以f(4-x1)＜0=f(x2),所以4-x1＜x2,即x1+x2＞4,問題得證。

易錯(cuò)點(diǎn)分析:(1)極值是函數(shù)在極值點(diǎn)處的函數(shù)值,注意與極值點(diǎn)的區(qū)分;(2)利用分析法證明零點(diǎn)偏移問題。如本題中,由x1,x2為函數(shù)f(x)的零點(diǎn),可得0＜x1＜2＜x2,要證x1+x2＞4,只需證x2＞4-x1,f(4-x1)=2lnx1-2x1+4-2ln(4-x1),利用代換使得兩個(gè)變量轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量,進(jìn)而得到證明。

題型三、根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)

例4已知函數(shù)f(x)=2lnx-x2+ax(a∈R)。若函數(shù)g(x)=f(x)-ax+m在上有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解析:由題意得g(x)=f(x)-ax+m=2lnx-x2+m,則g＇(x)=-2x。

因?yàn)閤∈,所以由g＇(x)=0,得x=1。

當(dāng)1＜x≤e時(shí),g＇(x)＜0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減。

故當(dāng)x=1 時(shí),函數(shù)g(x)取得極大值g(1)=m-1。

故實(shí)數(shù)m的取值范圍為。

易錯(cuò)點(diǎn)分析:結(jié)合函數(shù)圖像時(shí)要注意區(qū)間端點(diǎn)處的值是否能取到。

例5已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(3x),當(dāng)x∈[1,3)時(shí),f(x)=lnx,若在區(qū)間[1,9)內(nèi),函數(shù)g(x)=f(x)-ax有三個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()。

解析:因?yàn)閒(x)=f(3x),所以f(x)=。當(dāng)x∈[3,9)時(shí),f(x)=,所以f(x)=由g(x)=f(x)-ax有三個(gè)不同的零點(diǎn),可得y=f(x)與y=ax有三個(gè)不同的交點(diǎn),如圖2所示,可知直線y=ax應(yīng)在圖中兩條虛線之間,所以可解得。故選B。

圖2

易錯(cuò)點(diǎn)分析:(1)畫出分段函數(shù)的解析式時(shí)要注意區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值,如本題如何利用f(x)=,已知x∈[1,3)時(shí),f(x)的解析式,求x∈[3,9)時(shí),f(x)的解析式。(2)注意斜率的幾何意義的應(yīng)用。

函數(shù)的零點(diǎn)是近幾年高考的熱點(diǎn)問題之一,其中極值點(diǎn)或者零點(diǎn)偏移問題一般出現(xiàn)在壓軸題的位置,多以參數(shù)代換、函數(shù)單調(diào)性、極值等知識(shí)交匯考查;利用零點(diǎn)解決參數(shù)的問題多出現(xiàn)在選擇題或填空題中,難度以中檔為主,利用函數(shù)圖像(分段函數(shù)居多)解決參數(shù)問題。在備考中要注意特殊點(diǎn)的應(yīng)用,以便更快捷地得到答案。