化繁為簡(jiǎn)勤探求，抽絲剝繭觸本質(zhì)*

?福建省莆田第一中學(xué) 林 敏

1 引言

圓錐曲線問(wèn)題常在壓軸題的位置出現(xiàn)，是學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn).由于其運(yùn)算的復(fù)雜性與轉(zhuǎn)化的靈活性常使考生望而卻步，而且問(wèn)題的轉(zhuǎn)化程度和所要面臨的運(yùn)算通常成反比，即轉(zhuǎn)化程度越低，需要進(jìn)行的計(jì)算就越復(fù)雜.所以在解圓錐曲線的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，不能盲目地進(jìn)行低效的轉(zhuǎn)化從而踏入繁雜的運(yùn)算中后“一根筋”地“硬算”，而是在開(kāi)始進(jìn)行運(yùn)算之前，更應(yīng)當(dāng)仔細(xì)審視條件和結(jié)論之間的關(guān)聯(lián)，探求其內(nèi)在本質(zhì)，注重高效轉(zhuǎn)化，精簡(jiǎn)計(jì)算，避免運(yùn)算的繁復(fù)程度，真正實(shí)現(xiàn)圓錐曲線內(nèi)容考查的價(jià)值和意義.

下面以新高考圓錐曲線壓軸題為例進(jìn)行研究，通過(guò)不斷修正解法，以期達(dá)到精簡(jiǎn)的水平.

2 試題背景

(Ⅰ)求C的方程；

3 問(wèn)題解決

3.1 試題分析

首先，本題的整體設(shè)問(wèn)以雙曲線為背景，是之前在舊高考中很少出現(xiàn)的情形.以往一般在小題中考查雙曲線有關(guān)的內(nèi)容，多以離心率為依托，涉及雙曲線的性質(zhì)和相關(guān)的代數(shù)運(yùn)算，而這道題的出現(xiàn)打破了大題只考橢圓或拋物線的壁壘，讓人眼前一亮.

其次，本題的設(shè)問(wèn)條件是線段之積相等，以往一般只涉及一條相關(guān)弦長(zhǎng)的表示與計(jì)算，該題涉及到四條弦長(zhǎng)，讓人頓感計(jì)算量飆升，但仔細(xì)思考又覺(jué)得別有洞天.

雖然題目的設(shè)置有很多創(chuàng)新之處，但該題依然保持著高考命題的穩(wěn)定性.第一問(wèn)考查較為常規(guī)的根據(jù)定義求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的問(wèn)題，軌跡方程問(wèn)題向來(lái)是備考中練習(xí)得比較充分的題型，學(xué)生完成起來(lái)沒(méi)有壓力，只是此題需要稍微注意下變量的范圍；第二問(wèn)雖然看似是在求值，但實(shí)際上是一種圓錐曲線定值問(wèn)題的證明，根據(jù)條件證明斜率之和為定值，也不會(huì)讓學(xué)生感到陌生，所以是在繼承傳統(tǒng)的基礎(chǔ)上加入了創(chuàng)新元素，做到了新舊高考的完美轉(zhuǎn)換與銜接，逐步體現(xiàn)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)水平.

3.2 解題探索

3.2.1 問(wèn)題初解

初看此題，雖覺(jué)運(yùn)算可能較多，但不至于無(wú)從下手，可以從最常規(guī)的思維路徑中尋找到出路，我們來(lái)看一下常規(guī)思路對(duì)應(yīng)的解決方法.

圖1

設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)，則x1≥1，且x2≥1.

在該方程判別式為正的情況下由韋達(dá)定理可得

因此，直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

3.2.2 解后反思

該常規(guī)解法把直線的斜率作為主要的運(yùn)算變量，點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為輔助運(yùn)算變量(最終結(jié)果與之無(wú)關(guān))，利用弦長(zhǎng)公式實(shí)現(xiàn)了已知條件的表達(dá).在聯(lián)立消y的過(guò)程之中，若沒(méi)有將直線的縱截距看成一個(gè)整體進(jìn)行運(yùn)算的話(huà)，得到的方程的形式將會(huì)更加繁雜而且寫(xiě)出韋達(dá)定理、代入計(jì)算也是比較復(fù)雜的過(guò)程，運(yùn)算量較大，容易出現(xiàn)一定的錯(cuò)誤，并不是那么容易就得出形式簡(jiǎn)潔的結(jié)果，所以思維含量較低時(shí)就需要借助于較為復(fù)雜的計(jì)算實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決.在該解法中，若不選用弦長(zhǎng)公式，可以選用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)進(jìn)行表達(dá)：

從而得到和上面一樣的結(jié)果.

3.3 解法優(yōu)化

3.3.1 優(yōu)化思路

當(dāng)我們用上面的解法完成這個(gè)題的求解之后，總會(huì)有意猶未盡的感受，所以不應(yīng)該就此結(jié)束對(duì)這道題的思考.如果能夠讓這個(gè)題的解答更漂亮些，就需要我們回頭反思在解題過(guò)程中可以?xún)?yōu)化的地方，不斷地增加思維的探求深度，這樣也更容易觸及問(wèn)題的本質(zhì)，通過(guò)增大思維上的含量，來(lái)降低運(yùn)算的復(fù)雜度.所以有時(shí)我們不應(yīng)只停留在解決一個(gè)題的層面上，更要探求如何有效地解決，以及輻射與之相關(guān)的問(wèn)題.

3.3.2 初步優(yōu)化

3.3.3 二次優(yōu)化

由于T點(diǎn)既不在x軸上也不在y軸上，所以直線的方程較為繁雜，與曲線C聯(lián)立后就更顯復(fù)雜.基于簡(jiǎn)化坐標(biāo)從而簡(jiǎn)化直線方程的視角，從這個(gè)突破口出發(fā)，可以考慮將圖形整體平移，使得T所在的直線與y軸重合，雖然曲線C的方程稍有變化，但是整體運(yùn)算還是會(huì)較為簡(jiǎn)潔的.

圖2

因此，直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

此時(shí)就和一道簡(jiǎn)單的圓錐曲線問(wèn)題無(wú)異了，在不斷的優(yōu)化過(guò)程中找到了更為簡(jiǎn)潔的方法，增加了思維含量，大大降低了運(yùn)算的難度和容量，降低了出錯(cuò)的可能；而從方程類(lèi)型的角度，也可以繼續(xù)進(jìn)行優(yōu)化.

3.3.4 三次優(yōu)化

前面我們從代數(shù)形式和圖形位置的角度對(duì)解法進(jìn)行了優(yōu)化.除此以外，若不改變圖形的整體位置，則可以考慮方程屬性的改變，即普通方程較為繁雜的時(shí)候可以考慮選用參數(shù)方程，而且由線段之積相等非常容易讓人聯(lián)想到利用直線的參數(shù)方程，由參數(shù)的幾何意義表達(dá)線段長(zhǎng)度的積，借助于三角恒等變換獲得直線AB和PQ傾斜角之間的關(guān)系，從而得到斜率之間的關(guān)聯(lián).

點(diǎn)評(píng)：該優(yōu)化方法充分考慮了題目給出的條件特征，將復(fù)雜的線段長(zhǎng)之積利用參數(shù)方程化為參數(shù)的積，建立等量關(guān)系，得到直線傾斜角的互補(bǔ)關(guān)系，進(jìn)而得到了斜率之和為0的結(jié)論，宛若神來(lái)之筆.在新教材中，坐標(biāo)系與參數(shù)方程的相關(guān)內(nèi)容已經(jīng)被刪去了，但是在舊高考模式下選做題之一還是重點(diǎn)考查的，而在本題中使用參數(shù)方程的方法能起到較好的效果，體現(xiàn)了新高考的兼容并包和對(duì)舊高考的致敬，新舊交替的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)完美的過(guò)渡，體現(xiàn)了教育有改革，育人不間斷的特點(diǎn)，所以該題是一道比較有韻味的問(wèn)題，而解決該題更是一種對(duì)美的追求和享受.

4 總結(jié)