基于理解性學習視角下高中生態(tài)課堂構建
——以“雙曲線的概念”教學為例

?江蘇省常熟市滸浦高級中學 蘇 燕

1 引言

理解性學習是以“理解數(shù)學”為目標指向，引領學生遷移和運用先前知識和學習經驗，在新的課堂情境中對所學內容進行有效加工，并不斷獲得相關知識本質的深刻理解和核心素養(yǎng)發(fā)展的過程[1].相比其他教學理論，理解性學習更加注重師生以及外在環(huán)境間的有機整合.而生態(tài)課堂的構建是以實現(xiàn)理解性學習為內涵的學習過程[2]，而且，高中某一具體數(shù)學知識都有一個結構，而這個結構能夠提供相關知識潛在的簡約性，從而達到理解相關本質的目的.因此，在高中生態(tài)課堂構建中，如果將學生經驗性的理解逐漸上升為形式化理解，最終達到結構化理解的程度，則就能實現(xiàn)對這個具體知識所在內在意義的真正理解.

2 立足經驗性理解，重溫舊理解圖式

經驗性理解通常發(fā)生在學習的初始階段，主要包括學習經驗和生活經驗，其中前者主要是指學生已有的數(shù)學思想、數(shù)學方法以及數(shù)學知識等等，后者主要是指學生自己對日常生活、客觀對象的認知與感悟.在以理解性學習為內涵的生態(tài)課堂構建中，教師應根據(jù)學生原有的知識狀況和舊理解圖式，不斷引導學生分析“自身經驗”，有效展現(xiàn)與此相關知識的起始性理解.

以“雙曲線的概念”教學為例，在向學生呈現(xiàn)雙曲線“自然”的定義教學之前，分析學生的“自身經驗”，再根據(jù)歷屆學生易出現(xiàn)的問題障礙點設計了如下問題串進行引導和啟發(fā).

(1)教材上是如何引導學生繪制橢圓圖象的？

設計意圖：明晰橢圓是應用橢圓的幾何性質繪制出來的，進而為雙曲線圖象的繪制提供可以借鑒的途徑.

(2)圓錐曲線有哪幾種，橢圓是如何定義的？

設計意圖：通過回顧切割圓錐模型的場景，引發(fā)學生對橢圓、雙曲線等“同源性”的思考，并通過回顧橢圓的定義過程，引導學生將橢圓學習過程中的經驗自然遷移到雙曲線概念學習過程之中.

(3)橢圓的定義中涉及到了哪些幾何元素？

設計意圖：通過分析橢圓定義中的幾何要素，進而類比橢圓的定義方式，有效解決沒有能力直接繪制雙曲線的問題.

(4)橢圓就是平面內到兩定點距離之和等于定長(大于兩定點間的距離)的點的軌跡，能否對其進行改造？

設計意圖：由“和”猜想出“差”是比較自然的思維過程，在此前提下進行幾何畫板展示和動手操作，則能進一步引導學生發(fā)現(xiàn)雙曲線概念的本質，進而獲得雙曲線的定義.

值得說明的是，經驗化理解是最為低層的理解，往往具有易錯、模糊、不確定的特點，并且，還常常包含有較多的個人經驗成分.例如，由“和”聯(lián)想到“差”肯定有著一定的運氣成分.所以，在高中生態(tài)課堂構建中，教師還需要將經驗化理解上升到形式化理解，逐步引導學生發(fā)現(xiàn)雙曲線概念的本質.

3 注重形式化理解，構建知識獲得路徑

形式化理解實質上是要求學生重新整理、組織、概括和表征自身知識經驗，從而達到深刻認識形式化語言和符號的目的.在以理解性學習為內涵的生態(tài)課堂構建中，教師應以生為本，充分發(fā)揮學生的主觀能動性，鼓勵學生通過數(shù)學實驗等方式發(fā)現(xiàn)未知的事物及其規(guī)律，并用數(shù)學語言表述自己的再創(chuàng)造性思維，有效深化形式化理解的層次.

以雙曲線的概念教學為例，在形式化理解環(huán)節(jié)，教師應創(chuàng)設如下類似實驗，要求學生以小組的形式再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造.

實驗1：如圖1所示，在一張正方形的白紙上畫一個圓F1,并在圓F1上任取一點P1，在圓F1之外任取一個定點F2，然后對折紙片使得F2與P1重合，獲得一條折痕，再選取圓F1之上的其他點P2,使得點F2與P2重合，從而獲得另一條折痕，重復上述操作直至獲得較多的折痕，最后連接這些折痕，如圖2所示，并觀察所形成的圖形.

圖1

圖2

圖3 旦德林雙球模型

實驗2：描述旦德林雙球模型，如圖3所示，并通過實驗演示的方式引導學生得出旦德林雙球模型中PF′-PF=PM-PQ=QM,其中QM為定值.

設計意圖：折紙游戲的實踐，以及旦德林雙球模型的呈現(xiàn)，不僅激發(fā)了學生學習的興趣，也深化了學生對雙曲線定義的形式化理解，有效將抽象的知識具體化，進而幫助學生獲得對圓錐曲線定義的統(tǒng)一認知.

值得一提的是，盡管形式化理解在理解層次上有了很大進步，但無法精準地揭示出該定義的外延，并在其相關知識本質理解的精細化、關聯(lián)性以及豐富性等方面仍有不足.因此，在生態(tài)課堂構建中，教師還應將形式化的理解進一步轉化為結構化理解，以實現(xiàn)相關知識所在內在意義的真正理解.

4 聚焦結構化理解，揭示外延結構體系

結構化理解意味著要在一種知識的關系脈絡中有效把握相關知識的本質與內涵，在一定程度上可以認為是一種結構關聯(lián)性理解，但這種理解往往需要學生自己去賦予相關的意義.因此，在以理解性學習為內涵的生態(tài)課堂構建中，教師應通過變式訓練，進一步揭示具體知識所蘊含的豐富的外延體系結構[3]，最后自然生成新的理解，并在新舊理解之間構建實質性的聯(lián)系.

以雙曲線的概念教學為例，在學習該概念之前，學生就已經認知到了反比例函數(shù)的圖象也是雙曲線，但對于該雙曲線與本節(jié)課程所要學習到的圓錐曲線所對應的雙曲線兩者之間是否存在聯(lián)系，許多學生不能準確地給出相應的答案.因此，教師可以以該問題為契機，引導學生從雙曲線標準方程的結構中進行解答.

同時，為了進一步深化學生對雙曲線概念的認識，促使學生經歷從形式到結構的飛躍，教師還應按照差異性、層次性、多元化的原則，呈現(xiàn)如下函數(shù)，要求判斷該函數(shù)圖象是否是雙曲線，若是雙曲線，則要求說出它的漸近線，并試著描繪出相應的圖象.

(3)x2+xy-2y2+3y-4=0.

5 結論

總之，基于理解性學習視角下的高中生態(tài)課堂構建并不是以高層次的思維代替低層次的思維，而是要求以較低層次的思維作為高層次思維發(fā)展的前提和基礎，也就是說在具體教學實踐中教師要不斷促進和帶動低層次思維向高層次發(fā)展，有效將學生的經驗性理解上升為結構化理解[4].因此，基于理解性學習視角下的高中生態(tài)課堂構建是自我完善、自我發(fā)展、自我建構的過程，這也正是理解性學習理論的核心所在.