具有輸入時滯特性的列車自適應制動控制

譚暢，李毅清

(1.華東交通大學 電氣與自動化工程學院，江西 南昌 330013；2.江西省先進控制與優(yōu)化重點實驗室，江西 南昌 330013)

隨著高速列車的運行速度逐漸提高，列車安全事故頻繁發(fā)生，因此對列車的安全、平穩(wěn)停車等問題提出了更高的要求，這一系列要求成為了保障列車正常運行的首要條件[1-2]。針對高速列車不同的運行環(huán)境，適時調整其制動力，實現列車安全、舒適等控制目標，是高速鐵路的關鍵技術之一[3]。因此研究高速列車制動過程的建模與控制，對提高列車的制動性能和安全性具有重要的現實意義。目前，高速列車制動過程的建模和控制是主要研究方向。精確的制動模型是列車在制動控制器的作用下實現安全、平穩(wěn)制動的重要保障。MAO等[4]考慮了高速列車的時變系統(tǒng)參數和未建模干擾，提出了對時變參數進行參數化的方法，設計了自適應故障補償器。徐傳芳等[5]提出了新的魯棒自適應算法，分析了列車牽引與制動轉矩產生的動態(tài)過程，考慮輸入飽和約束及系統(tǒng)不確定性，設計魯棒自適應動態(tài)面控制器以達到預期的速度位移跟蹤控制。精確的模型與合適的控制方法是達到預期目標的必要條件。列車制動控制技術由傳統(tǒng)的PID控制到模糊控制、自適應控制等智能控制算法[6]。吳萌嶺等[7]提出了基于自適應參數估計的新型減速度控制模型，提高了制動控制系統(tǒng)對列車運行不確定參數的魯棒性。張夢楠[8]考慮制動減速度難以準確測量以及制動裝置的非線性特性，基于自適應PIQ技術和Back-stepping技術，設計了模型參考自適應停車控制器。羅恒鈺等[9]構建基于增廣誤差的自適應控制系統(tǒng)，實現了制動系統(tǒng)的速度跟蹤控制。TAN等[10]針對線性多變量對象，提出了基于模型參考自適應控制的多模型切換控制方案，設計控制切換機構以達到期望的控制性能。TAN等[11]針對離散多變量系統(tǒng)中由不確定性驅動時滯引起的結構不確定性問題，設計了自適應多模型控制器。國內外學者在高速列車的制動建模及控制器設計方面取得了不少成果，但鮮有考慮制動力產生時的動態(tài)過程，控制器設計方面也在很大程度上依賴參數已知的模型。自適應控制善于解決參數未知系統(tǒng)，因此，針對參數未知的系統(tǒng)采用模型參考自適應控制(MRAC)策略實現高速列車的制動控制是完全可行的。此外，高速列車制動時通過制動控制系統(tǒng)工作，而非直接操控動力執(zhí)行機構，因此執(zhí)行器的響應等過程會引起制動延時，從而影響列車安全運行。當前已有很多學者對時滯系統(tǒng)進行了研究。ZHOU等[12]針對具有未知時滯和輸入飽和的非線性系統(tǒng)的自適應輸出跟蹤控制問題，采用模糊邏輯方法逼近系統(tǒng)的未知函數。XI等[13]研究了具有不匹配非結構非線性和未知時滯的高階嚴格反饋系統(tǒng)的自適應漸近跟蹤控制問題，利用自適應機制和投影算子估計未知時滯。郭紅戈等[14]考慮制動信號指令的傳輸以及執(zhí)行過程存在延時，基于動力學提出了高速動車組制動系統(tǒng)的Hammerstein模型。目前模型參考自適應控制常用于解決制動過程中的延時問題，但多數學者在建模時未考慮執(zhí)行器延時，或者采用Pade逼近及泰勒展開忽略高次項等方法將制動延時近似處理，而忽略了短暫的延時也會給列車制動帶來一定的影響，因此處理高速列車制動延時的速度跟蹤問題十分有必要。本文充分利用自適應控制的優(yōu)勢，分析列車制動動態(tài)特性，考慮系統(tǒng)中含有未知參數和輸入時滯，建立具有延時環(huán)節(jié)的制動模型，設計直接模型參考自適應控制器，實現高速列車對給定速度曲線的漸近跟蹤，確保其安全制動。

1 問題的提出

本文研究的主要問題是含有輸入時滯特性的高速列車制動系統(tǒng)的建模與控制問題。本節(jié)首先通過分析制動系統(tǒng)的原理和動態(tài)特性，建立精確的具有延時環(huán)節(jié)的線性制動數學模型；然后提出具有不確定參數和輸入時滯的系統(tǒng)模型的控制問題和控制目標。

1.1 制動系統(tǒng)原理和動態(tài)特性

高速列車在制動時，首先采用電制動，制動指令并不能直接作用于列車的動力執(zhí)行機構，而是由MBCU微制動控制單元接收列車司機或ATO發(fā)出的制動信號，通過收集此時的載重量m和車速v等，計算出所需制動力并調節(jié)其大小，從而控制列車的運行狀態(tài)。

因此，可將列車制動系統(tǒng)表示為圖1。

圖1 列車制動系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of braking system of train

其中：m為載重量；u(t)為制動力指令；τ為動車組的延時時間，也稱為空走時間；u(t-τ)為延時后的制動力指令；v(t)為列車此時實際速度；a(t)為此時的實際制動減速度。

1.2 列車制動系統(tǒng)模型的建立

根據圖1可知，制動過程可分為以下4個環(huán)節(jié)。

1.2.1 接收制動信號環(huán)節(jié)

列車運行制動過程中首先由司機或ATO發(fā)出制動信號，MBCU微制動控制單元計算出當前制動所需要的制動力u(t)。

1.2.2 延時環(huán)節(jié)

制動系統(tǒng)計算出制動力指令u(t)后，會有一定的延時才能作用于執(zhí)行機構，因此對于純延時環(huán)節(jié)，系統(tǒng)的時域表達式為：

式中：τ為延時時間，u1(t)為延時后的制動力指令。

注釋1.1：實際制動過程中，無論是電氣制動裝置還是空氣制動裝置，系統(tǒng)均存在延時環(huán)節(jié)[8]。

1.2.3 制動力生成環(huán)節(jié)

空走結束之后制動力逐漸增加，產生目標減速度a1(t)，根據文獻[2]，高速列車的目標減速度與制動力的關系可近似為線性關系，用比例系數K表示，可描述為：

根據參考文獻[14]，制動控制裝置通過“反饋”作用實現實際制動減速度a(t)與目標制動減速度a1(t)的跟蹤控制，動態(tài)過程由一階慣性環(huán)節(jié)表示：

其中：T為制動系統(tǒng)時間常數。

注釋1.2：在電制動系統(tǒng)下，所需制動力的計算值隨著發(fā)電機電流以斜坡函數的形式產生。

1.2.4 積分環(huán)節(jié)

高速列車的實際制動減速度a(t)通過積分環(huán)節(jié)得到列車的實際速度v(t)。

由上述分析可得到制動系統(tǒng)模型框圖如圖2。

圖2 高速列車制動系統(tǒng)模型框圖Fig.2 Model diagram of braking system for high-speed train

根據模型框圖并結合公式(1)～(4)可得到高速列車制動系統(tǒng)時域動力學模型為：

定義列車狀態(tài)變量：x=[x1,x2]Τ=[v,a]Τ；則高速列車制動系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：

1.3 控制問題及控制目標

通過對列車制動系統(tǒng)的動態(tài)分析，考慮到高速列車運行環(huán)境復雜多變，制動系統(tǒng)存在大量不確定性，由于列車速度快，系統(tǒng)存在延時對于高速列車來說將會產生較大的影響。因此，鑒于模型參考自適應控制方法的獨特優(yōu)勢，本文針對上述所建立的具有時滯特性的高速動車組制動模型(6)，設計合適的制動控制器，實現高速列車速度跟蹤控制。

本文的控制目標為：通過模型參考自適應控制(MRAC)的方法，設計出基于狀態(tài)反饋狀態(tài)跟蹤的自適應控制律u(t)，保證閉環(huán)系統(tǒng)所有信號有界，利用基于系統(tǒng)性能誤差的自適應律進行參數更新，調整控制器參數，實現系統(tǒng)狀態(tài)信號x(t)漸近跟蹤一個參考模型狀態(tài)信號xm(t)。

本文系統(tǒng)設計結構圖如圖3所示。

圖3 高速列車模型參考自適應控制框圖Fig.3 MRACdiagram of high-speed train

2 自適應制動控制器設計

上述通過分析列車制動系統(tǒng)具體的制動環(huán)節(jié)，建立了具有延時環(huán)節(jié)的制動模型，但系統(tǒng)中存在不確定的參數A和B。與傳統(tǒng)的模型跟蹤控制相比，MRAC有其特有的優(yōu)勢，當系統(tǒng)結構已知而參數未知的時候，它可以適應和調節(jié)外界環(huán)境對系統(tǒng)造成的影響，解決制動過程中的延時問題，確保系統(tǒng)達到或者接近理想狀態(tài)。

基于控制目標，本文的控制器基本設計步驟如下：首先選取穩(wěn)定的參考模型xm(t)；其次根據匹配方程進行系統(tǒng)參數化，基于系統(tǒng)參數化的模型，設計標稱控制器；最后根據標稱控制器形式得到自適應控制器，并設計自適應律更新控制器參數。

2.1 參考模型

為了設計模型參考自適應控制器，根據司機經驗或前人研究給定期望的速度曲線，選擇與系統(tǒng)結構相似并且穩(wěn)定的參考模型：

式中：xm(t)是參考輸出信號，r(t)∈R是有界的外部輸入信號，Bm∈Rn，Am∈Rn×n為穩(wěn)定的矩陣。

注釋2.1：傳統(tǒng)的MRAC選擇參考模型時，通常是任意設定一個外部輸入信號r(t)，再根據式(7)計算得到參考輸出xm(t)。而本文選擇的參考模型，是通過給定xm(t)和參考模型系數(Am,Bm)，再由表達式(7)計算得到r(t)。

2.2 基本的匹配方程

鑒于狀態(tài)反饋狀態(tài)跟蹤自適應控制方法結構簡單且具有良好的瞬態(tài)性能，本節(jié)考慮延時已知的情況，采用上述方法設計控制器，且系統(tǒng)參數滿足下列基本的匹配方程。

命題2.1：存在一個常值向量k*1∈R2和一個常值標量k*2∈R≠0，使得下列匹配方程成立：

當參考模型系數Am，Bm被選定且系統(tǒng)參數A和B已知時，常值矩陣k*1=[k*11,k*12]T和常數k*2可以通過式(8)計算得到。

2.3 系統(tǒng)參數化

為了設計自適應控制器，將列車制動系統(tǒng)進行參數化，未知的系統(tǒng)參數可表示為：

參數化之后系統(tǒng)模型可表示為：

根據式(7)和(10)得到控制器結構為：

2.4 狀態(tài)預測

由式(11)可知控制器中含有狀態(tài)變量x(t+τ)，而延時會影響閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此需要對延時做處理，本文使用狀態(tài)預測的方法，通過對控制輸入在延時區(qū)間上的數值積分，預測系統(tǒng)狀態(tài)變量。

假設已知制動系統(tǒng)初始狀態(tài)x(t)，在控制器u(t)的作用下，預測τs之后的狀態(tài)：

再利用黎曼和積分法進一步將(12)表示為：

因此狀態(tài)預測后控制器結構為：

其中：δi為可調參數。

定理1[15]：考慮連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)x?=Ax+Bu，其狀態(tài)運動規(guī)律為同時作用有初始狀態(tài)和輸入的狀態(tài)方程的解，具體表達式為：

根據式(15)，通過變量替換可求解x(t+τ)。

注釋2.2：黎曼和積分法的核心思想就是通過無限逼近來求解面積，也就是積分值。

2.5 標稱控制器

根據系統(tǒng)參數化和狀態(tài)預測之后的控制器結構(14)，為實現期望的控制目標，此時可設計標稱控制器為：

該標稱控制器使得系統(tǒng)(6)所有的閉環(huán)信號有界，并且可實現期望的控制目標。

定理2[16]：標稱控制器(17)作用于被控系統(tǒng)，則閉環(huán)系統(tǒng)(6)滿足：

定義跟蹤誤差信號：

基于(7)和(19)，有：

由此可知，跟蹤誤差e(t)，狀態(tài)向量x(t)和控制輸入u(t)均有界，可得

2.6 自適應控制器

在實際制動過程中，制動系統(tǒng)的參數A和B未知，θ*1,θ*2,θ*4的值未知，因此標稱控制器(17)不可實現。在此情況下，為了實現高速列車實際速度曲線漸近跟蹤目標速度曲線，根據理想控制器的形式，可設計模型參考自適應控制器結構如下所示：

其中：θ1(t),θ2(t),θ4(t)為參數θ*1,θ*2,θ*4的估計值。通過更新自適應控制器參數，可以實現制動系統(tǒng)的速度跟蹤控制。

2.7 自適應律

為了更新參數估計值θ1(t),θ2(t),θ4(t)，基于跟蹤誤差(19)，設計自適應律為：

其中：Γ1∈Rn×n,Γ4∈Rn×n,γ∈R為自適應增益，滿足：Γ1=ΓT1>0,Γ4=ΓT4>0,γ>0，P∈Rn×n，P=PT>0,Q=QT>0滿足：PAm+ATm P=-Q。

為了分析式(22)中自適應律的性質，定義參數誤 差 ：

故跟蹤誤差方程：

定義正定函數：

其中，Γ1∈Rn×n,Γ4∈Rn×n,γ∈R滿足：

由于θ*1,θ*2,θ*4為常值，可得：

θ4(t-τ)滿足式(22)。

故式(25)變?yōu)椋?/p>

因此，θ1(t-τ),θ2(t-τ),θ4(t-τ)有界，即θ1(t)，θ2(t)，θ4(t)有界，θ1(t)∈L∞，θ2(t)∈L∞，θ4(t)∈L∞。

選擇如式(22)的自適應律更新系統(tǒng)動態(tài)模型參數θ1(t),θ2(t),θ4(t)，可以得到不同時刻對應的控制器u(t)，作用于高速列車制動系統(tǒng)模型中，實現高速列車速度的實時跟蹤控制。

2.8 穩(wěn)定性分析

本文設計的高速列車自適應制動控制閉環(huán)系統(tǒng)具有如下期望的系統(tǒng)性能。

引 理 1[16]： 若?(t)∈L∞，e(t)∈L2， 則

定理3：針對具有不確定性參數和已知時滯的高速列車制動系統(tǒng)(6)，設計自適應制動控制方案，選擇基于自適應律(22)進行參數更新的控制輸入信號(21)，確保整個閉環(huán)系統(tǒng)信號有界，且

證明：信號有界可表述為該信號屬于L∞信號空間，即：若，則z(t)∈R屬于L∞信號空間。

由 式(23)和(26)可 知e(t)，e(t-τ)，e?(t)，e?(t-τ)，θ1(t),θ2(t),θ4(t)有 界 ， 有e(t)∈L∞?L2；根據式(19)可得狀態(tài)信號x(t)也是有界的，因此式(21)中u(t)有界，閉環(huán)系統(tǒng)(6)穩(wěn)定。再由引理1和式(19)可知即實現了列車實際速度對給定速度的跟蹤性能。

綜上所述，考慮存在系統(tǒng)延時的列車制動模型，采用直接MRAC設計控制器，將所設計的制動力u(t)作用于參數未知的列車制動模型，可以確保在所有閉環(huán)信號有界的前提下，其閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，繼而實現高速列車實際速度漸近跟蹤目標速度。并且本文未將制動延時近似處理，而是利用狀態(tài)預測的方法求得延時之后的狀態(tài)，使得所設計的控制器更加精確有效。

3 仿真分析

為了驗證本文建立的含有輸入時滯的系統(tǒng)模型的有效性，以及所設計的自適應控制器的期望性能，本節(jié)選用CRH380AL型高速列車制動系統(tǒng)為研究對象，采集列車制動時360組真實速度數據(濟南―青島)?；谏鲜隼碚摲治?，建立時滯制動模型，設計直接模型參考自適應控制器，利用MATLAB軟件進行仿真驗證和分析。

首先通過對采集的360組真實速度數據進行曲線擬合(單位為km/h)，可得到列車的理想制動速度曲線擬合結果如圖4所示。

圖4 速度擬合結果Fig.4 Velocity fitting result

系統(tǒng)模型動力學方程如式(6)所示，制動系統(tǒng)時間常數T=0.4 s，式(2)中比例系數K=0.9，制動系統(tǒng)輸入時滯τ=0.2 s，因此公式(6)制動模型被描述為：

其次，根據設計要求選擇參考模型(7)中的參數Am,Bm，取：參考模型(7)被描述為：

外部輸入信號r(t)通過式(28)計算得到；

接下來選擇狀態(tài)預測時公式(13)中參數取值：m=10，δi=(i-0.5)(i=1,…,m)。

最后選取合適的狀態(tài)初值：x(0)=[304,0]，xm(0)=[303.8,-0.326 4]；參數估計初值與其真值之間的關系為：θ1(0)=90%θ*1，θ2(0)=89%θ*2，θ4(0)=90%θ*4；自適應增益設計為：Γ1=5I，γ=0.075，Γ4=0.7×10-4I。利用所設計的自適應控制器對制動模型進行速度跟蹤控制，得到如下仿真結果，分別為列車速度和加速度的跟蹤響應和跟蹤誤差，并且進一步仿真了制動位移的跟蹤情況。

通過對仿真圖進行分析，速度、加速度和位移跟蹤誤差均在列車開始制動時最大，圖5中最大速度跟蹤誤差約為0.31 km/h，圖6中最大加速度跟蹤誤差約為0.09 m/s2，圖7中最大位移跟蹤誤差約為1.9 m，各仿真狀態(tài)量的誤差均在允許的最大范圍之內，滿足系統(tǒng)的跟蹤控制要求；隨后在短時間內進行參數調節(jié)，約12 s左右誤差趨近于0并達到穩(wěn)定狀態(tài)，實現了列車速度、加速度以及位移跟蹤控制的目標，系統(tǒng)的控制性能十分理想。并且由圖6可以看出，列車制動時加速度曲線平緩，變化緩慢，保障了列車的安全制動，也提高了列車制動時的平穩(wěn)性。因此本文設計的自適應制動控制策略在系統(tǒng)存在不確定性參數以及輸入時滯的情況下，仍然能保證所有的閉環(huán)信號有界，并且能夠對給定的速度曲線進行漸近跟蹤，達到系統(tǒng)的控制目標，實現安全平穩(wěn)的制動要求。

圖5 列車速度跟蹤及誤差Fig.5 Train speed tracking and error

圖6 列車加速度跟蹤及誤差Fig.6 Train acceleration tracking and error

圖7 列車位移跟蹤及誤差Fig.7 Train displacement tracking and error

為了驗證本文所設計的模型參考自適應控制策略處理參數不確定系統(tǒng)以及時滯問題的獨特優(yōu)勢，以下采用Back-Stepping滑模控制算法、基于自適應PIQ技術和Back-Stepping技術的控制方法、以及基于增廣誤差的自適應控制方法與本文的控制算法進行對比，實驗仿真了具有代表性的各個狀態(tài)向量的跟蹤誤差，圖8是采用Back-Stepping滑?？刂扑惴ǖ姆抡娼Y果，圖9是采用基于PIQ技術和Back-Stepping技術的控制方法的仿真結果，圖10采用基于增廣誤差的自適應控制方法的仿真結果。

圖8 采用Back-Stepping滑?？刂扑惴‵ig.8 Using Back-Stepping sliding mode control algorithm

圖9 采用基于PIQ技術和Back-Stepping技術的控制方法Fig.9 Control method based on PIQand back-stepping

圖10 采用基于增廣誤差的自適應控制方法Fig.10 Adaptive control method based on augmented error

圖8表明，采用Back-Stepping滑?？刂扑惴ㄟM行動車組制動控制時，其速度的最大誤差雖然較小，但收斂之后存在抖動；加速度最大誤差達到了0.25 m/s2，在制動開始時抖動較大；位移最大誤差約為7 m，但其隨著制動減速度的變化而變化，制動系統(tǒng)穩(wěn)定性不夠好。圖9表明采用基于PIQ技術和Back-Stepping技術的控制器時，系統(tǒng)也能夠實現速度的漸近跟蹤控制，但速度和加速度的最大誤差相對本文的控制算法來說較大，且系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差，位移誤差漸近收斂于原點附近的鄰域0.1 m。圖10表明采用基于增廣誤差的自適應控制器在制動調節(jié)時比較平穩(wěn)，同樣能夠實現速度的漸近跟蹤，但各狀態(tài)向量的誤差收斂時間較本文算法更長，約20 s左右誤差趨近于0并達到穩(wěn)定狀態(tài)；最大速度跟蹤誤差約為0.44 km/h，在收斂初期有短時間的輕微抖動；并且其瞬態(tài)響應不夠理想，初始控制誤差較大，初始位移誤差達到了2.4 m。而本文設計的控制算法速度跟蹤時最大誤差小，精度高，加速度變化緩慢，列車制動時平穩(wěn)運行，12 s左右速度誤差和加速度誤差以及位移誤差便趨向于0，達到穩(wěn)定狀態(tài)。因此，本文采用的模型參考自適應制動控制算法不僅可以處理系統(tǒng)參數不確定性和輸入時滯問題，實現對列車制動速度的漸近跟蹤，而且跟蹤精度也更高，列車運行時更加平穩(wěn)，制動性能更優(yōu)越，列車的瞬態(tài)性能得到了改善。

4 結論

1)以高速列車制動過程為研究對象，研究了列車制動系統(tǒng)的動態(tài)建模以及自適應制動控制器的設計問題。

2)考慮系統(tǒng)具有不確定性參數和已知輸入時滯，分析高速列車制動系統(tǒng)的工作流程，充分利用自適應控制的優(yōu)勢，設計了高速動車組自適應制動控制方案，該方案對輸入時滯的處理效果良好。

3)該方案不僅提高了高速列車制動模型的精度，而且優(yōu)化了列車的制動性能，平穩(wěn)性強，實現了列車對理想速度曲線的跟蹤控制，確保高速列車能夠安全可靠平穩(wěn)運行。

4)下一步研究計劃是針對存在未知輸入時滯以及干擾的制動系統(tǒng)設計合適的控制策略。