基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的磁浮列車懸浮系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)

宋一鋒，佟來生，倪菲，林國(guó)斌，梁濤

(1.同濟(jì)大學(xué) 國(guó)家道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201804；2.中車株洲電力機(jī)車有限公司，湖南 株洲 412001；3.同濟(jì)大學(xué) 磁浮交通工程技術(shù)研究中心，上海 201804；4.中國(guó)鐵建電氣化局集團(tuán) 第四工程有限公司，湖南 長(zhǎng)沙 410007)

磁浮列車作為新興的軌道交通運(yùn)輸方式，其最大的特點(diǎn)在于輪軌間無接觸，利用車體的懸浮電磁鐵與軌道表面電磁感應(yīng)而產(chǎn)生的垂向懸浮力提供支撐[1]。由于列車運(yùn)行過程中面臨載重、不平順等干擾，磁浮列車的懸浮間隙需要被實(shí)時(shí)控制在穩(wěn)定范圍內(nèi)。其中懸浮系統(tǒng)起著間隙控制作用，通常在系統(tǒng)非線性模型基礎(chǔ)上引入控制算法來調(diào)節(jié)輸出電流，從而調(diào)節(jié)系統(tǒng)懸浮狀態(tài)，因此系統(tǒng)模型作為懸浮控制的基礎(chǔ)，其精確度影響著整個(gè)懸浮控制過程。常用的建模方法可分為基于模型的建模方法和基于數(shù)據(jù)的建模方法，如基于模型的有限元法通過對(duì)真實(shí)物理系統(tǒng)進(jìn)行模擬，得到精確模型，但結(jié)果形式復(fù)雜，不便于應(yīng)用在實(shí)際工程中。而基于數(shù)據(jù)的建模方法實(shí)現(xiàn)過程較為便捷，可分為2類：一類是應(yīng)用智能算法對(duì)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系進(jìn)行辨識(shí)，根據(jù)系統(tǒng)變量歷史數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)變量之間的邏輯關(guān)聯(lián)，常見的有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、貝葉斯算法或模糊關(guān)系等，由于該建模過程未涉及系統(tǒng)自身的物理特征，因而所建立的模型可解釋性較低；另一類是應(yīng)用算法對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，在多數(shù)情況下，系統(tǒng)的物理機(jī)理明確，但由于外部干擾等不確定因素，難以建立精確的數(shù)學(xué)模型，于是結(jié)合系統(tǒng)運(yùn)行過程數(shù)據(jù)對(duì)物理參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，通過挖掘數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)特征來估計(jì)參數(shù)值，經(jīng)典方法為最小二乘法，隨后根據(jù)優(yōu)化原理發(fā)展的算法有遺傳算法、粒子群算法等[2-3]。磁浮列車懸浮系統(tǒng)模型具有本征非線性，為便于分析，常用做法是對(duì)非線性控制系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處進(jìn)行泰勒展開，得到線性模型。但是線性化處理會(huì)丟失非線性特征，產(chǎn)生系統(tǒng)偏差[4]。利用線性模型設(shè)計(jì)的懸浮控制算法，僅能使系統(tǒng)在微小干擾下保持平衡，當(dāng)系統(tǒng)輸出出現(xiàn)較大誤差時(shí)，控制算法難以及時(shí)調(diào)節(jié)而發(fā)生運(yùn)行故障[5-6]。因此，很多學(xué)者關(guān)注如何建立非線性模型及參數(shù)辨識(shí)，以便提高系統(tǒng)控制性能。CHEN等[7]采用Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)懸浮系統(tǒng)非線性項(xiàng)進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，并結(jié)合徑向基函數(shù)設(shè)計(jì)控制律，提高了控制精度。劉恒坤等[8]通過對(duì)懸浮系統(tǒng)的電流環(huán)進(jìn)行降階處理，采用最小二乘法對(duì)系統(tǒng)三階模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。孫友剛等[9]通過建立懸浮系統(tǒng)非線性模型，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)滑模控制律，利用整車試驗(yàn)驗(yàn)證算法有效性。CHEN等[10]建立磁浮列車?軌道非線性耦合模型，并根據(jù)RBF網(wǎng)絡(luò)逼近原理來設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器，以提高控制的魯棒性。胡國(guó)良等[11]結(jié)合粒子群算法和最小二乘法對(duì)磁流變阻尼器的Bouc-Wen非線性模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，并驗(yàn)證了辨識(shí)結(jié)果的準(zhǔn)確性。為對(duì)懸浮系統(tǒng)建立準(zhǔn)確的非線性模型，本文采用一類生物優(yōu)化算法——基于線性遞減慣性權(quán)重的粒子群算法對(duì)系統(tǒng)的懸浮物質(zhì)量、磁極面積和線圈匝數(shù)等參數(shù)進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，結(jié)合勵(lì)磁電流、懸浮間隙和垂向加速度等系統(tǒng)變量的閉環(huán)過程數(shù)據(jù)，以實(shí)測(cè)值與計(jì)算值的均方誤差為目標(biāo)函數(shù)，通過粒子尋優(yōu)得到使誤差最小的全局最優(yōu)解。并與非線性最小二乘法相比，該方法的參數(shù)辨識(shí)誤差更小。

1 磁浮列車懸浮系統(tǒng)模型

懸浮控制系統(tǒng)作為磁浮交通系統(tǒng)的關(guān)鍵子系統(tǒng)，決定列車運(yùn)行的安全性與平穩(wěn)性。如圖1所示為磁浮列車運(yùn)行示意圖。磁浮交通系統(tǒng)由磁浮列車、軌道與橋梁3部分構(gòu)成，其中懸浮系統(tǒng)作用于車體與軌道之間，通過車體中懸浮架上的電磁鐵與軌道表面發(fā)生電磁感應(yīng)作用，能夠?qū)圀w產(chǎn)生向上的懸浮力[10]。懸浮控制器根據(jù)實(shí)際運(yùn)行狀態(tài)實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)懸浮力的大小，從而實(shí)現(xiàn)列車的平穩(wěn)運(yùn)行。

圖1 磁浮列車運(yùn)行示意圖Fig.1 Schematic diagram of maglev train

磁浮列車由若干個(gè)懸浮架支撐，每個(gè)懸浮架由4個(gè)懸浮點(diǎn)組成，車的兩側(cè)各為2個(gè)。根據(jù)懸浮架的解耦分析，磁浮列車懸浮控制系統(tǒng)可視為多個(gè)獨(dú)立的單點(diǎn)懸浮控制系統(tǒng)。單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)模型如圖2所示，圖中，m為車體質(zhì)量，ze為期望間隙，z為當(dāng)前懸浮間隙，z?為間隙變化加速度，i為勵(lì)磁電流，A為單電磁鐵磁極面積，N為線圈匝數(shù)，F(xiàn)l為垂向懸浮力，μ0為真空磁導(dǎo)率。

圖2 單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)模型Fig.2 Model of single-point levitation system

電磁鐵采用電流勵(lì)磁方式，與軌道梁的金屬表面構(gòu)成磁力線回路，假設(shè)磁路在氣隙中未發(fā)生漏磁，磁場(chǎng)均勻分布，且磁路的磁極面積始終為定值，電磁懸浮力可以表示為：

向上的懸浮力作用于車體與電磁鐵連通的懸浮架上，根據(jù)牛頓定律，單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)2階數(shù)學(xué)模型可以表示為：

由式(2)可知，懸浮力與電流i，間隙z存在非線性關(guān)系。當(dāng)懸浮間隙z越大，所產(chǎn)生的懸浮力越小，當(dāng)懸浮力小到無以支撐車體的重量時(shí)，會(huì)發(fā)生懸浮失穩(wěn)或砸軌現(xiàn)象，由此可得，懸浮系統(tǒng)本身為開環(huán)非自穩(wěn)系統(tǒng)，需要反饋控制環(huán)節(jié)來動(dòng)態(tài)調(diào)整懸浮間隙，使其穩(wěn)定于期望值附近。

圖2中，懸浮控制器起著反饋控制作用，通過間隙傳感器獲取當(dāng)前懸浮間隙與間隙變化加速度，結(jié)合反饋控制律，得到合適的勵(lì)磁電流，從而實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)懸浮力的大小，使懸浮間隙處于期望范圍內(nèi)。

2 基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的懸浮系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)方法

在系統(tǒng)辨識(shí)和參數(shù)估計(jì)領(lǐng)域中，最小二乘法作為一種最基本的估計(jì)方法應(yīng)用極為廣泛。由式(2)可知，懸浮系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型是非線性的，可測(cè)變量為懸浮間隙z，間隙變化加速度z?和勵(lì)磁電流i，待辨識(shí)參數(shù)有線圈匝數(shù)N，磁極面積A和懸浮物質(zhì)量m。為展開最小二乘估計(jì)，將非線性模型式(2)轉(zhuǎn)化為線性回歸方程結(jié)構(gòu)：

其中：

由式(5)可知，當(dāng)HTn H n可逆時(shí)才有解，因此最小二乘估計(jì)結(jié)果易出現(xiàn)奇異解，應(yīng)用于多階非線性系統(tǒng)時(shí)具有局限性。

與這類求特定解的確定性算法相比，一類生物優(yōu)化算法通過模仿自然現(xiàn)象來搜索解空間。其中粒子群算法通過模擬鳥群覓食行為來尋優(yōu)，基于多智能體之間的信息傳遞迭代搜索全局最優(yōu)解，因此收斂速度較快。并且算法本身結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，需要調(diào)節(jié)的參數(shù)較少，廣泛應(yīng)用于工程實(shí)踐。

粒子群算法流程圖如圖3所示。首先進(jìn)行參數(shù)初始化，設(shè)定最大迭代次數(shù)Gen和種群規(guī)模Size，并產(chǎn)生一組隨機(jī)解，以基于均方根誤差的目標(biāo)函數(shù)來評(píng)判個(gè)體適應(yīng)值，當(dāng)均方根誤差達(dá)到最小時(shí)，得到初始的全局最優(yōu)值。目標(biāo)函數(shù)可以表示為：

圖3 粒子群算法流程圖Fig.3 Flow chart of particle swarm optimization

式中：n代表數(shù)據(jù)觀測(cè)長(zhǎng)度；Xk代表第k個(gè)實(shí)測(cè)值；代表相應(yīng)的估計(jì)值。為對(duì)懸浮控制系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，考慮Xk代表系統(tǒng)輸出間隙zk，其相應(yīng)估計(jì)量可以計(jì)算為：

式中：ik，分別為電流和間隙加速度的第k次實(shí)測(cè)值，μ0N2A/m為待辨識(shí)參數(shù)，p di(i=1,2,…,Size，d=1,2,…,Gen)為某個(gè)粒子個(gè)體，代表一組可能的參數(shù)解。

在粒子群算法中，引入局部自適應(yīng)變異算子來更新粒子p di的位置，即通過學(xué)習(xí)自身與個(gè)體最優(yōu)解、局部最優(yōu)解的差異來調(diào)整速度與位置：

式中：V d i為第d次迭代的速度；V d+1i為第d+1次迭代的速度；ω為慣性權(quán)重；T d i為第d次迭代第i個(gè)粒子的個(gè)體最優(yōu)解；BestSd為第d次迭代的全局最優(yōu)解；p d+1i為更新后的粒子；b1為局部學(xué)習(xí)因子；b2為全局學(xué)習(xí)因子；r1和r2為(0,1)之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

多次迭代過程中，在繼承個(gè)體最優(yōu)解與全局最優(yōu)解的基礎(chǔ)上進(jìn)行變異與粒子的更新來達(dá)到尋優(yōu)的目的，當(dāng)滿足迭代終止條件時(shí)得到全局最優(yōu)解。但基本的粒子群算法容易陷入局部最優(yōu)解，為避免這一現(xiàn)象，采用線性遞減慣性權(quán)重來調(diào)整速度更新步長(zhǎng)：

式中：ωmax和ωmin分別為慣性權(quán)重的上下限，ωd為每次迭代的權(quán)值，由式(9)可知，算法在初始時(shí)具有良好的全局搜索能力，逐步逼近全局最優(yōu)解的區(qū)域，后期隨著搜索步長(zhǎng)減小局部搜索性能提高。

3 數(shù)值仿真及實(shí)驗(yàn)

3.1 數(shù)據(jù)采集

為獲取懸浮系統(tǒng)電流、懸浮間隙和間隙變化加速度等時(shí)變數(shù)據(jù)，建立實(shí)時(shí)仿真系統(tǒng)DSPACE與單點(diǎn)懸浮試驗(yàn)臺(tái)的半實(shí)物聯(lián)合仿真系統(tǒng)，如圖4所示，該系統(tǒng)由懸浮試驗(yàn)臺(tái)、懸浮控制器、接口變換板和DSPACE等關(guān)鍵設(shè)備組成。其中懸浮控制器與式(2)所示的開環(huán)非自穩(wěn)系統(tǒng)構(gòu)成閉環(huán)回路，本文選用經(jīng)典的PID控制律對(duì)系統(tǒng)展開反饋控制：

圖4 DSPACE與單點(diǎn)懸浮試驗(yàn)臺(tái)的半實(shí)物聯(lián)合仿真系統(tǒng)Fig.4 Hardware-in-the-loop simulation system based on DSPACEand single-point levitation test-bed

式中：kp，ki和kd為反饋控制參數(shù)；i0(t)為系統(tǒng)動(dòng)態(tài)平衡過程的控制電流。

在系統(tǒng)運(yùn)作中，懸浮試驗(yàn)臺(tái)的輸入電流值保持在26.5 A左右，實(shí)施辨識(shí)試驗(yàn)時(shí)，在懸浮控制器輸出的控制電流基礎(chǔ)上施加正弦激勵(lì)信號(hào)，由DSPACE數(shù)據(jù)采集設(shè)備監(jiān)測(cè)懸浮試驗(yàn)臺(tái)的輸入電流，圖5分別展示了正常情況下和正弦激勵(lì)時(shí)的控制電流。取圖5(b)中10~40 s持續(xù)且穩(wěn)定的懸浮過程數(shù)據(jù)為試驗(yàn)數(shù)據(jù)。采樣頻率設(shè)為1 000。

圖5 懸浮試驗(yàn)臺(tái)的控制電流Fig.5 Control current of levitation test-bed

3.2 參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

所采集的電流I，懸浮間隙z和垂向加速度z?的閉環(huán)過程數(shù)據(jù)分別構(gòu)成長(zhǎng)度為3 000的一維數(shù)組，將其代入式(4)中，并采用式(5)計(jì)算結(jié)果為：θ?=[9.882 8×10-42.887 3×10-32.887 3×10-3]，則最小二乘法的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果為：μ0N2A/m=3.906 8×10-6。

為與該辨識(shí)算法形成對(duì)比，應(yīng)用粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。設(shè)置種群規(guī)模為20，迭代次數(shù)為100，局部學(xué)習(xí)因子與全局學(xué)習(xí)因子均為2.05，慣性權(quán)重在(0.1,0.9)之間線性遞減。根據(jù)圖3所示的粒子群算法流程，在Matlab平臺(tái)迭代計(jì)算得到的辨識(shí)結(jié)果為：μ0N2A/m=5.855 2×10-6。目標(biāo)函數(shù)J的優(yōu)化過程如圖6所示，最終的辨識(shí)誤差指標(biāo)為0.162。

圖6 目標(biāo)函數(shù)J的優(yōu)化過程Fig.6 Optimization process of objective function J

4 辨識(shí)參數(shù)的驗(yàn)證

為驗(yàn)證參數(shù)辨識(shí)結(jié)果的有效性，根據(jù)辨識(shí)的物理參數(shù)值，結(jié)合式(4)和式(10)在Simulink平臺(tái)建立非線性懸浮系統(tǒng)的反饋控制仿真模型，通過仿真模型模擬真實(shí)的懸浮試驗(yàn)臺(tái)，并將模型輸出序列與實(shí)測(cè)序列作對(duì)比來進(jìn)行辨識(shí)參數(shù)的驗(yàn)證。反饋控制框圖如圖7所示，圖中，控制算法及控制參數(shù)與懸浮試驗(yàn)臺(tái)(圖4所示)所使用的一致，其中反饋控制參數(shù)kp=25 000，ki=100，kd=800。正弦激勵(lì)信號(hào)仍為圖5(b)中試驗(yàn)臺(tái)的控制電流，目標(biāo)間隙值為0.01 mm。

圖7 反饋控制框圖Fig.7 Feedback control block diagram

分別將最小二乘法和粒子群算法得到的辨識(shí)結(jié)果代入仿真模型，得到相應(yīng)的輸出結(jié)果，其與懸浮試驗(yàn)臺(tái)輸出間隙實(shí)測(cè)值的對(duì)比如圖8所示。

圖8 間隙實(shí)測(cè)值與仿真結(jié)果Fig.8 Measured and simulation resultsof gap

由圖8可知，粒子群算法對(duì)應(yīng)的輸出間隙的穩(wěn)態(tài)誤差相較于最小二乘法對(duì)應(yīng)的誤差更小，其與實(shí)測(cè)序列均圍繞0.01 mm的水平線振動(dòng)，說明粒子群算法的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果更貼近真實(shí)值，驗(yàn)證了辨識(shí)結(jié)果μ0N2A/m=5.855 2×10-6的準(zhǔn)確性。但其振動(dòng)幅值比實(shí)測(cè)序列的小很多，可視為仿真模型忽略試驗(yàn)臺(tái)的彈簧系統(tǒng)而引起的振動(dòng)偏差。

5 結(jié)論

1)以中低速單點(diǎn)懸浮試驗(yàn)臺(tái)為研究對(duì)象，結(jié)合DSPACE動(dòng)態(tài)仿真系統(tǒng)搭建半實(shí)物聯(lián)合仿真平臺(tái)，監(jiān)測(cè)得到關(guān)于懸浮間隙、垂向加速度和勵(lì)磁電流的閉環(huán)過程數(shù)據(jù)。

2)以實(shí)測(cè)值與估計(jì)值的均方根誤差為優(yōu)化目標(biāo)，采用粒子群優(yōu)化算法對(duì)試驗(yàn)臺(tái)懸浮物質(zhì)量、線圈匝數(shù)和磁極面積等參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，通過尋優(yōu)迭代得到全局最優(yōu)解為μ0N2A/m=5.855 2×10-6，此時(shí)辨識(shí)誤差指標(biāo)為0.162。此外，采用最小二乘法對(duì)該非線性系統(tǒng)辨識(shí)，得到的辨識(shí)結(jié)果為μ0N2A/m=3.906 8×10-6。

3)為驗(yàn)證辨識(shí)結(jié)果的有效性，分別引入2種算法的辨識(shí)結(jié)果，搭建懸浮系統(tǒng)仿真平臺(tái)，并采用與懸浮試驗(yàn)臺(tái)相同的控制算法及控制參數(shù)，達(dá)到模擬試驗(yàn)臺(tái)控制過程的效果。

4)通過對(duì)比，采用粒子群算法所得辨識(shí)結(jié)果的系統(tǒng)輸出間隙更貼近實(shí)測(cè)間隙序列的特征，說明粒子群算法所得結(jié)果更為準(zhǔn)確。該結(jié)果也為懸浮系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析提供可靠的理論基礎(chǔ)，并且基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的粒子群優(yōu)化辨識(shí)方案對(duì)于修正非線性模型具有現(xiàn)實(shí)意義。