課堂對話情境下極限概念的研究

曹榮榮　袁璐　顧慶梅

摘 要 極限是微積分的重要概念，關(guān)于極限的大量研究都是學(xué)生學(xué)習(xí)困難研究。本研究是在“交流認(rèn)知模型”理論框架下探討課堂情境下教師和學(xué)生關(guān)于極限概念的對話。結(jié)果表明參與者對話之間存在著不一致的現(xiàn)象，同時指出教師對話對提高課堂交流效果至關(guān)重要。

關(guān)鍵詞 極限 交流認(rèn)知模型 教師對話 學(xué)生對話

中圖分類號：O211.4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2019.06.023

Research on the Concept of Limit in Classroom Dialogue Context

CAO Rongrong， YUAN Lu， GU Qingmei

（School of Mathematics and Statistics， Wingdao University， Qingdao， Shandong 266071）

Abstract Limit is an important concept of calculus. A lot of research on limit is about students' learning difficulties. This study explores the dialogue between teachers and students on the concept of limit under the framework of "communicative cognitive model". The results show that there are inconsistencies between participants' dialogues， and it is also pointed out that teacher's dialogues are very important to improve the effectiveness of classroom communication.

Keywords limit； communication cognitive model； teacher dialogue； student dialogue

0 引言

作為微積分中最基本的概念之一，極限給學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)都帶來了巨大的挑戰(zhàn)。大量研究表明學(xué)生對極限概念的理解大都是基于動態(tài)的運動變化過程，這種認(rèn)知在一定程度上妨礙了學(xué)生對極限概念的形式化理解。在Sfard的“認(rèn)知主義模型”中，[1]她認(rèn)為學(xué)習(xí)就是獲得，學(xué)習(xí)就是在思維表征形式下的信息存儲。她指出理解則是把新知識和舊知識相聯(lián)系，從而達(dá)到完善已有的思維表征模式。這個“認(rèn)知主義模型”強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)的個體化特性。而后來Sfard提出的“對話式模型”則指出學(xué)習(xí)是參與，把學(xué)習(xí)看作是在一個對話共同體中個體對話的改變。

1 理論框架

Sfard的“交流認(rèn)知模型”強(qiáng)調(diào)認(rèn)知和交流之間的密切關(guān)系。[2]她認(rèn)為思維是交流的一種個體化形式，個體的認(rèn)知過程和個體間的交流是同一現(xiàn)象的不同方面，這是兩個互補過程的結(jié)果。理論模型框架中的“對話”這一術(shù)語涉及到不同的類型，而這些類型則是按照對話主體、媒介種類、遵循的規(guī)則來進(jìn)行分類的，它分成“語詞使用”、“可視化媒介”、“常規(guī)慣例”及“命題陳述”?！罢Z詞使用”是指參與者在對話過程中對語詞的使用；“可視媒介”是指所創(chuàng)造以及使用的所有可視對象；“常規(guī)慣例”則是指參與者在對話中反復(fù)使用的模式；而“命題陳述”則是描述對象和對象間關(guān)系的語言陳述。事實上，數(shù)學(xué)學(xué)科本身也可以看作一個具體的對話類型，它也是按照“語詞使用“、“可視媒介”、“常規(guī)慣例”、“命題陳述”來進(jìn)行區(qū)分的。

2 研究過程及分析

研究數(shù)據(jù)主要是來自教師的課堂教學(xué)視頻、學(xué)生的問卷調(diào)查以及學(xué)生訪談。問卷調(diào)查[3]主要是了解學(xué)生在課堂結(jié)束后對極限知識的認(rèn)知。而訪談部分則主要是進(jìn)一步來研究學(xué)生關(guān)于極限的理解，每個學(xué)生的訪談時間大概是一個小時左右。

教師和學(xué)生的對話要從“語詞使用”、“可視媒介”、“慣例規(guī)則”以及“命題陳述”四個角度進(jìn)行分析?！霸~語使用”會依據(jù)參與者的語言劃分為“口語化”、“運算化”和“對象化”三種表達(dá)方式；[4]“可視媒介”則包含書寫、圖形和符號表征；“慣例規(guī)則”則是教師習(xí)慣性的思維模式，比如擅長代數(shù)思維或喜歡作圖等等。而“命題陳述”涉及的則是關(guān)于極限概念的定義、定理以及相關(guān)事實，這里關(guān)注的陳述即極限是個過程還是個數(shù)。

2.1 教師關(guān)于極限的對話分析

教師用了八節(jié)課的時間來講解函數(shù)的極限與連續(xù)，在對視頻分析過程中發(fā)現(xiàn)：教師講解中一共有734句與極限有關(guān)的話，其中13句是口語化，129句是運算性的，592句是對象化的描述。因此，教師80%的話語是把極限看作數(shù)學(xué)對象即極限是一個數(shù)。

在講解極限的非形式化定義和計算極限時，教師則會在“運算化”和“對象化”之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。比如，他說“當(dāng)越來越趨近于零的時候，函數(shù)值是越來越逼近于1的”，教師一般會接著說“因此，極限等于1”。當(dāng)涉及極限的形式化定義和利用定義證明極限時，他的“語詞使用”基本都是對象化的詞匯，只是使用了一些逼近思想的詞語，比如“只要任意的無限接近，函數(shù)值就可以任意逼近”。教師“語詞使用”表明，在非形式化定義和極限計算情境下，他使用兩種不同的“元規(guī)則”即連續(xù)運動觀念和離散對象觀念。而在形式定義和證明情境下，則他只使用離散對象觀念。

從教師的對話中，我們可以發(fā)現(xiàn)三種“可視媒介”即書寫、圖形和符號表征。他并沒有把口頭的運算性話語寫下來，而在黑板上書寫的則是對象化的詞匯。當(dāng)教師計算函數(shù)極限或者解釋某個定義、定理時，他會考慮采用畫圖。

總之，教師關(guān)于極限的對話呈現(xiàn)兩種不同的觀點：“極限是一個數(shù)”和“極限是一個過程”。他所使用的對象化的詞語、在黑板上的板書以及運用的符號表征，這些都表明把極限看作數(shù)；而那些運算化的詞語以及計算極限時借助圖形卻表明他把極限看作是一個過程。

2.2 教師對話和學(xué)生對話的比較

2.2.1 學(xué)生問卷調(diào)查結(jié)果分析

學(xué)生問卷分析研究表明，學(xué)生把極限概念理解為一個過程而不是數(shù)。第一個問題包含關(guān)于極限和連續(xù)的六個命題，學(xué)生只需要回答正確與錯誤；第二個問題要求學(xué)生從給定的六個描述中選擇出一個最能描述極限概念的陳述。

從表1看，28位同學(xué)認(rèn)為命題1是正確的，這反映出學(xué)生大都是基于動態(tài)的觀點來理解極限的，且有15位同學(xué)認(rèn)為它是描述極限概念的最好陳述。關(guān)于極限的形式化觀點，32位同學(xué)中有22位認(rèn)為命題3是正確的，但是卻僅僅有1位同學(xué)認(rèn)為這是極限的最好描述。命題3和命題4的回答也充分表明大多學(xué)生認(rèn)為極限是不可達(dá)到的或者是一種近似狀態(tài)，其主要原因在于學(xué)生所關(guān)注的是函數(shù)值“越來越接近”極限值，而不是這個過程的最終結(jié)果。研究結(jié)果表明，即便是在學(xué)完極限和連續(xù)內(nèi)容后，大部分學(xué)生仍然認(rèn)為“極限是一個過程”，并沒有把極限對象化一個具體的數(shù)。

2.2.2 學(xué)生訪談研究結(jié)果分析

根據(jù)問卷結(jié)果，訪談從中選擇了4位同學(xué)來進(jìn)一步研究學(xué)生對極限概念的理解。

教師：你對極限是如何理解的？

學(xué)生甲：它是越來越接近于1。

學(xué)生乙：這其實就是趨于零時函數(shù)的極限，當(dāng)時的值是1。

教師：那么，函數(shù)極限是什么？

學(xué)生乙：它趨近于1，或者說越來越接近于1。

教師：在這種情況下，極限是什么？

學(xué)生丙：是1，但是極限不僅僅是一個數(shù)。

教師：那是什么？

學(xué)生丙：極限描述的是一個過程，它描述的是變化到這個點的所有過程。

教師：那么你能說說函數(shù)極限是多少呢？

學(xué)生丙：它接近1。

教師：為什么？

學(xué)生?。簶O限從右邊是趨近于1，從左邊也是趨近于1，所以極限是1。

從訪談內(nèi)容來看，學(xué)生并沒有認(rèn)為函數(shù)值是逼近極限，而是認(rèn)為極限趨近于一個數(shù)。他們所談?wù)摰臉O限是一個數(shù)，把它看作是運動的變量。教師盡管在“語詞使用”、“常規(guī)慣例”和“命題陳述”之間不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并且教師也能將極限過程和極限值清楚地加以區(qū)分。但研究結(jié)果表明，學(xué)生并非如此，極限的對象化過程對學(xué)生來說是個巨大的挑戰(zhàn)。

（1）針對極限的嚴(yán)格形式化定義，教師的“語詞使用”全部是基于離散的對象化描述，而學(xué)生是基于運動變化的運算化描述。學(xué)生是把極限看作是任意接近一個數(shù)，而不是函數(shù)值任意接近于極限值。

（2）針對“可視媒介”，在整個階段的課堂講解過程中，教師采用的主要媒介是符號，而學(xué)生更多地使用了圖形。在極限計算時，教師會偶爾使用圖形，但還是偏向于代數(shù)方法。

（3）就“元規(guī)則”來說，教師一般會在黑板上板書對象化的概念，而關(guān)于極限的過程化的詞語則是在口頭交流時使用。但是學(xué)生卻把教師口頭性的描述的一些語詞作為極限的定義。

（4）學(xué)生的“命題陳述”一致地關(guān)注了極限是個過程，即便是在個別事例中談及到“極限是個數(shù)”，但是學(xué)生的話語還是基于動態(tài)觀念這樣一個元規(guī)則。

總之，學(xué)生學(xué)習(xí)極限的諸多問題困惑和教師在“語詞使用”、“可視媒介”、“慣例常規(guī)”以及“命題陳述”等四個方面的轉(zhuǎn)化是相一致的。但是，教師似乎并沒有意識到到這種轉(zhuǎn)化對課堂交流的有效性具有重要的意義。因此，教師清晰地轉(zhuǎn)化對提高課堂交流效果至關(guān)重要。

參考文獻(xiàn)

[1] Sfard，A.（2001）.There is more to discourse than meets the ears： Looking at thing as communicating to learn more about mathematical learning. Educational Studies in Mathematics， 46（1/3）：13-57.

[2] Sfard，A.（2008）.Thinking as communicating： Human development， the growth of discourses and mathematizing. New York： Cambridge University Press.

[3] Williams，S.R.（2001）. Predications of the limit concept： An application of repertory grids. Journal for Research in Mathematics Education，32（4）：342-367.

[4] Sfard， A.（1991）.On the dual nature of mathematics conceptions： Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics，22（1）：1-36.