淺談化歸思想在小學數(shù)學教學的應用

章子揚

(江蘇省昆山市花橋徐公橋小學 江蘇 昆山 215300)

化歸思想，實質(zhì)是把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知問題亦或是把復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題來解決的基本數(shù)學思想。可以說，我們數(shù)學解題的過程就是轉(zhuǎn)化的過程，化歸思想既是一種技巧更是一種能力，它貫穿了我們學習的始終。

匈牙利的著名數(shù)學家P?羅莎曾在她的《無窮的玩藝》中對“化歸法”作過這樣生動的比擬：“假設在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，現(xiàn)在你的任務是燒水，應當怎樣去做？”。只要有一點生活經(jīng)驗的人就會知道正確的回答是：“在水壺中倒上水，點燃煤氣，然后把水壺放上煤氣灶。”重點是羅莎的第二個問題：“那么假設所有的條件都不變，只是水壺中已有了足量的水，這時你應該怎么做？”。對這樣微不足道的變式，人們的回答往往是：“點燃煤氣，然后把壺放到煤氣灶上?！钡橇_莎認為這并不是最佳答案，因為“只有物理學家才這樣做，而數(shù)學家會倒去壺中的水，并且聲稱我已經(jīng)把后一個問題化歸成前面的問題了?！边@回答不免有些夸張，但它卻形象地道出了化歸思想的本質(zhì)特征：比起去追溯一些熟識的結果，我們情愿后退一步，回歸到原本的問題上。相比其他學者，數(shù)學家更擅長用化歸的方法考慮和解決問題[1]。盡管在某些情況下，化歸顯得有些贅余，但是它將新問題化為已知的問題這種方式，顯然更有邏輯性和嚴密性。

1.研究化歸思想是我國數(shù)學課程標準的要求

在《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》中明確提出了“引導學生通過實踐、思考、探索、交流等，獲得數(shù)學的基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗[2]”的“四基”概念。因此在教學中滲透數(shù)學的思想方法，教育學生用數(shù)學思維解決問題也是素質(zhì)教育的重要內(nèi)容。那么研究化歸思想在義務教育學段的應用就不失為發(fā)展教育、優(yōu)化教學的必然要求了。

2.化歸思想的重要作用

化歸思想的滲透有助于完整的知識體系建構?；瘹w思想作為數(shù)學的核心思想之一貫穿于義務教育教材的始終，學生在學習過程中會逐漸認識到新知識與舊知識的聯(lián)系，并且學會用化歸思想整理所學知識，在頭腦中逐漸形成結構嚴謹?shù)闹R體網(wǎng)絡。

3.化歸思想以及相關理論

3.1 笛卡爾坐標系。笛卡爾創(chuàng)建坐標系，創(chuàng)建了解析幾何學科，在代數(shù)和幾何上架起了一座橋梁，它使幾何概念用數(shù)來表示，幾何圖形也可以用代數(shù)形式來表示。用代數(shù)表示幾何本身就是一種化歸方法。這說明化歸思想在歷史上同樣有十分重要，對數(shù)學的發(fā)展以及人類文明的進步有著至關重要的作用。

3.2 學習遷移理論。學習遷移是指一種學習對另一種學習的影響，或習得的經(jīng)驗對完成其他活動的影響。這種遷移作用是雙向的，被廣泛應用于知識、技能、行為規(guī)范等學習過程中。正因為這種遷移作用，學生才能將學到的數(shù)學知識應用到解題中。學習遷移理論最早開始于18世紀中期，從早期到現(xiàn)代遷移理論，有桑代克的“共同要素說”、賈德的“概括化理論”、格式塔心理學的“關系轉(zhuǎn)換說”直到現(xiàn)代遷移理論的“類比遷移理論”等。桑代克的“共同要素說”認為相同要素，即相同的刺激與反應的聯(lián)結，相同聯(lián)結越多，遷移作用越大，反之就越少[3]。后來相同要素被改為共同要素，即認為兩情境中有共同成分時可以產(chǎn)生遷移。因此要求學生在解題過程中廣泛聯(lián)想，將新問題與已知問題相聯(lián)系，而教師應當努力幫助學生建立起這種聯(lián)系。

4.化歸的原則

化歸過程中應遵循以下三條基本原則：

4.1 化歸目標簡單化原則。將復雜問題簡單化處理。

4.2 熟悉化原則。將陌生的、較難的問題轉(zhuǎn)化為認知結構中已知的問題，通過遷移已有知識來解決問題。

4.3 直觀化原則。對于一些抽象的問題，孩子們會一下子找不出其中的數(shù)量關系。但在老師的引導下，學生通過化歸的方法將抽象的問題用直觀的方法表示，轉(zhuǎn)化為具體問題輕松找出解題方法。

5.化歸思想在學生數(shù)學解題中的運用

5.1 簡單化原則的應用。

計算：0.125×6.25×1.6×0.8

本體原來是一個比較復雜的小數(shù)乘法，按照運算法則死算的話，中間得數(shù)會非常復雜，極易出現(xiàn)計算錯誤。但是注意到這幾個小數(shù)都是特殊值，我們可以通過將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分數(shù)進行計算。將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分數(shù)后不難發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)都能通過約分來消去，最終得數(shù)1。

=1

5.2 熟悉化原則的應用。

例題：求下面兩個多邊形面積。

學生已經(jīng)學習了三角形內(nèi)角和相關知識，接下來便是多邊形的內(nèi)角和求解問題。乍一看多邊形面積似乎無法求解，但是如果在多邊形內(nèi)部添加如圖所示的輔助線，將多邊形通過化歸法將多邊形分成多個三角形，那么問題的答案就顯而易見了。通過這樣的方法，將陌生的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解答過的舊問題，將復雜的求多邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為簡單的求多個三角形的內(nèi)角和。四邊形內(nèi)角和等于兩個三角形的內(nèi)角和，五邊形內(nèi)角和等于三個三角形內(nèi)角和。

5.3 直觀化原則的應用。小寧和小春共有郵票72枚，小春比小寧多12枚。問小春小寧各有郵票多少枚？

分析：學生遇到這類復雜問題一下子很難看出其中的數(shù)量關系，但是通過引導使用畫線段圖的方法則能使數(shù)據(jù)直觀化，題中關系變的清晰起來。利用線段圖可以一目了然的看出，將小春郵票數(shù)減去12就是小寧郵票數(shù)的兩倍，同樣的給小寧加12就是小春郵票數(shù)的兩倍。用這樣的方法先算出其中一人的郵票數(shù)量，另一人的郵票數(shù)量也就迎刃而解。

根據(jù)兩種不同思路，我們有兩種解法。

解法一：72-12=60(枚)

小寧：60÷2=30(枚)

小春：30+12=42(枚)

答：小寧有郵票30枚，小春有郵票42枚。

解法二：72+12=84(枚)

小春：84÷2=42(枚)

小寧：42-12=30(枚)

答：小寧有郵票30枚，小春有郵票42枚。

5.4 化歸思想有利于學生養(yǎng)成良好的思維習慣。數(shù)學是一門思考性極強的學科，在日常數(shù)學教學中，教師應當鼓勵學生積極思考、獨立思考，培養(yǎng)學生獨立思考的良好思維品質(zhì)?；瘹w思想本質(zhì)上是將新問題轉(zhuǎn)化為已知的舊問題，所以在教學中滲透數(shù)學思想有利于學生獨立思考時越過障礙這點毋庸置疑，使學生在解題中應用化歸思想，能使學生更好的適應未來的發(fā)展需要。在化歸思想的作用下，學生的解題能力將會得到進一步的提高。

5.5 化歸思想有利于提高學生解題思路的靈活性。數(shù)學思維的靈活性通常體現(xiàn)在學生的日常學習思維中。無論是教學還是解題，學生總會遇到各式各樣的問題，而化歸思想就是幫助學生調(diào)整原有方法的思考方向一塊方向盤，讓已經(jīng)學習的數(shù)學知識發(fā)生各種各樣的遷移，使學生的思維靈活性更上一層樓。

例題：小明吃早飯時看到時鐘分針和時針有一定夾角，吃完早飯后再看時鐘發(fā)現(xiàn)時針與分針夾角不變。問小明吃早飯最快花了多少時間？

分析：這道題設中是時鐘問題，用從問題想起的通常方法看上去很難解決，但是通過化歸我們可以發(fā)現(xiàn)其實可以把這道題看成追趕問題。要求夾角不變的最短時間實際上就是分針比時針正好多走360°的時間，而時針每分鐘走0.5°，分針每分鐘走6°，那么根據(jù)數(shù)量關系式可以設時間為t分鐘并列出簡易方程：6t-0.5t=360解得時間是72/11分鐘。

5.6 化歸思想在小學數(shù)學教材的解題中的應用。

5.6.1 在“數(shù)與代數(shù)”板塊的體現(xiàn)。在“數(shù)與代數(shù)”模塊中，化歸思想主要有三年級上“分數(shù)的初步認識”、五年級上“小數(shù)加減法”、六年級上“分數(shù)除法”等。小學生在學習新知識時一般從具體的生活經(jīng)驗以及過去已經(jīng)學習的舊知識入手，利用這些知識形成新知識。這是知識的同化，化歸正是其中的核心思想。

5.6.2 在數(shù)的運算方面的體現(xiàn)。在學習分數(shù)除法時，有如下例題：量杯中有果汁五分之四升，平均分給兩個小朋友問每人分得多少。

題中當然涉及到學生學習的舊知識中的除法。將五分之四除以二是利用既學知識的常規(guī)解法，書中給出通過每人分得一杯果汁的二分之一也能解決問題。然后在學生解決完第一題后拋出下一個問題：分給三個小朋友喝每人分得多少？這里發(fā)現(xiàn)4÷3除不盡，通過引導學生的計算讓學生發(fā)現(xiàn)除法可以轉(zhuǎn)化為乘除數(shù)的倒數(shù)，將除法計算化歸為乘法計算，將不熟悉的分數(shù)除法化歸為熟悉的分數(shù)乘法的知識，化生為熟，很好的體現(xiàn)了化歸思想的應用。

學生在學習小數(shù)乘法時，同樣也利用了化歸思想。書中利用情境導入提出買3千克0.8元一千克的西瓜要多少元即0.8×3等于幾的問題。利用舊知識學生可以知道既可以用小數(shù)加法求解，也能將元轉(zhuǎn)化為角即8×3來解題。之后便將這兩種知識結合求0.8×3的豎式解法。通過舊知識的遷移，讓學生發(fā)現(xiàn)小數(shù)乘法和整數(shù)乘法的共同點和不同點，讓學生知道小數(shù)乘法比整數(shù)乘法多一個點小數(shù)點的過程。學生在之后進行小數(shù)乘法運算時，同樣也是將小數(shù)乘法先化歸為整數(shù)乘法然后點上小數(shù)點。可見化歸思想是深入到解題的根子里去的。

5.6.3 在“圖形與幾何”中的體現(xiàn)?；瘹w思想同樣體現(xiàn)在圖形與幾何中[4]。在五年級下的“解決問題的策略”、同樣是五年級下的“圓的認識”相關章節(jié)以及“圓柱的側面積表面積和體積”中都有化歸思想的滲透?；瘹w思想在其中主要是起到化繁為簡、降維以及體積的計算等方面。

例題：比較圖形面積大小。

分析：五年級的學生們已經(jīng)學習了數(shù)格子求面積和長方形面積。而圖中的圖形較為復雜，對學生來說較難通過計算和數(shù)方格的方式比較面積。此時通過教師的引導，讓學生發(fā)現(xiàn)可以通過割補將復雜圖形化歸成已經(jīng)學過的長方形，從而輕松求出面積進行比較。最終發(fā)現(xiàn)兩個圖形都能夠轉(zhuǎn)化成同樣大小的長方形。長方形面積與原圖形相等，所以兩圖形面積相等。

在六年級下冊“圓柱的表面積”中對圓柱表面積中也使用了化歸法。

例題：一種圓柱形罐頭的底面直徑是11厘米，高是15厘米。它的側面有一張商標紙，商標值得面積大約是多少平方厘米？

從生活常識入手，通過動手操作的方法讓學生理解到圓柱側面能夠展開成一個長方形那么測面積大小就是這個長方形的面積大小，用化曲為直的方法巧妙地引出圓柱的側面積。在學生的探索之后順理成章的引入圓柱測面積的計算方法，這樣的引入可以說是非常自然得體了。之后學生就會發(fā)現(xiàn)長方形的長就是圓柱的底面周長，長方形的寬就是圓柱的高。通過化歸的思想不僅教會學生圓柱側面積的求法，更教會學生“化曲為直”的化歸方法，讓學生在解題中擁有更多方法[5]，解題能力更上一個新的臺階。

6.結論

在日常的數(shù)學教學中，學生分析問題和解決問題的能力不斷提高，換言之，學生的知識掌握得越來越牢固，更便于教師達成教學目標。想要學生的解題能力得到提高，這當然對教師也提出了更高的要求。教師在教學中應當將掌握知識和滲透化歸思想相結合，將化歸思想的培養(yǎng)整合進教學目標；教師應當深挖教材，思考如何將化歸思想結合進日常教學之中；教師還應當在鼓勵學生解題時深入分析數(shù)量關系，看能怎樣將問題轉(zhuǎn)化得更簡單。我們要努力培養(yǎng)學生在解題中應用化歸思想，讓學生遇到一些難題時將其轉(zhuǎn)化，從問題的另一方面分析問題，將復雜問題化歸為一個或多個簡單的、已知的數(shù)學問題，最終獲得答案。教學中教師應當指明使用的化歸方法，幫助學生理解化歸在其中的作用，以便于學生在以后的解題中運用化歸法。