正態(tài)分布的應用研究

張璇

摘 要：在實踐中，我們可以找到大量的滿足正態(tài)分布的例子。由于正態(tài)分布的應用價值及理論重要性，正態(tài)分布得到廣泛的研究。由于一些學生基礎不扎實或課程設置的因素等，不少學生對正態(tài)分布的理解存在偏差。本文回顧了正態(tài)分布的起源及相關定義，闡述了其重要特性并給出了大量的應用例子，包括在現(xiàn)實生活的應用，例如在質(zhì)量管理的應用。本文的研究成果有助于幫助學生更好的理解正態(tài)分布的起源、定義、性質(zhì)及其在具體問題中的靈活應用。

關鍵詞：正態(tài)分布;性質(zhì);應用;概率

1.正態(tài)分布的來源及概念

1.1正態(tài)分布的來源

正態(tài)分布，也稱高斯分布，是由著名的數(shù)學家Moivre首先提出并且被眾所周知的大數(shù)學家高斯首次在天文學研究中使用的。高斯在天文學中使用正態(tài)分布的結果催生了曲線擬合中聞名的最小二乘法。由于高斯在正態(tài)分布發(fā)展史上的重要貢獻，直到今天，德國的10馬克紙幣上仍然印著正態(tài)分布的概率密度曲線還有高斯的頭像。在一開始的時候，該研究成果并沒有受到廣泛關注。直到小樣理論的出現(xiàn)。具體而言，拉普拉斯注意到了高斯關于正態(tài)分布的理論成果，開始思考其與拉普拉斯提出的中心極限定理的聯(lián)系，并猜想該定理應該存在滿足正態(tài)分布的元素。該猜想后來被海根證實并導致了元誤差學說的誕生。

1.2正態(tài)分布的概念

1.2.1正態(tài)分布的定義

定義1：設連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù) （也叫概率密度函數(shù)）

式中x是自變量，表示隨機抽樣的樣本的值，f（x）是概率密度函數(shù)的函數(shù)值。該概率密度函數(shù)中包含兩個參數(shù)。其中，參數(shù) μ表示樣本數(shù)據(jù)的平均值，參數(shù)σ表示樣本數(shù)據(jù)的標準差。給定兩個參數(shù)的值，則式子（1.1）所示的函數(shù)的曲線可以直接繪制出來。

定義2：在 （1.1） 式中，假如兩個參數(shù)滿足μ=0，σ=1， 那么該概率密度函數(shù)對應的分布就是標準正態(tài)分布。將兩個參數(shù)的值代入式子（1.1）中，則概率密度函數(shù)可以化簡為如下函數(shù)：

1.2.2參數(shù)μ和σ的意義

從前面的結果我們知道，正態(tài)分布的概率密度函數(shù)存在兩個參數(shù)，分別是和，并且從圖1中我們知道，對于不同的參數(shù)值，正態(tài)分布的概率密度函數(shù)繪制出來的曲線是不一樣的。換言之，對于給定的一組參數(shù)值，我們可以得到對應的概率密度函數(shù)的曲線圖。因此，這里有必要探討下這兩個參數(shù)對正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的曲線的形狀和位置的影響。研究表明，參數(shù)決定了正態(tài)分布的概率密度函數(shù)曲線的對稱軸的位置，因此，我們稱它是正態(tài)分布概率密度函數(shù)的位置參數(shù)。該參數(shù)的值直接決定了正態(tài)分布概率密度曲線的對稱軸對應的軸的取值。當參數(shù)固定的情況下，如果改變參數(shù)，我們可以發(fā)現(xiàn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的曲線的形狀不改變，呈現(xiàn)一種平移的效果。具體可見圖2。相比之下，參數(shù)則決定了正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的曲線的形狀。具體而言，當位置參數(shù)的取值不變的情況下，如果減小參數(shù)的值，那么正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的曲線會變得更加陡峭或者說高瘦;反之，如果保持位置參數(shù)的取值不變，增大參數(shù)的值，那么正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的曲線會變得更加平緩，或者說矮胖。

實際上，對正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的兩個參數(shù)可以從多個角度進行分析。具體而言，如果從其幾何意義來看，參數(shù)對應的是正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的曲線的極大值所對應的橫坐標的值而參數(shù)則是正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的曲線的拐點對應的橫坐標上的點距離該曲線的對稱軸的大小。換言之，參數(shù)是正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的函數(shù)的凸曲線與凹曲線接連的處的橫坐標值。就該兩個參數(shù)的物理含義而言，參數(shù)表示正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的曲線和軸所包圍起來的平面圖形的重心所對應的橫坐標值。就該兩個參數(shù)的數(shù)理統(tǒng)計意義而言，參數(shù)對應的是樣本的均值，而參數(shù)則對應的是樣本數(shù)據(jù)的標準偏差。就該兩個參數(shù)的計量學意義而言，參數(shù)表示被測量的物理量的真值，而參數(shù)則表示測量值的分散程度的高低。具體而言，如果增大，那么我們得到的觀測值出現(xiàn)在附近的可能性就減小，導致觀測得到的值的分散程度增大嗎，進而使得測量精度降低;反之，如果參數(shù)較小，那么我們得到的觀測值出現(xiàn)在附近的可能性就會增大，導致觀測值的分散程度減弱，也就是更加地集中，進而提高我們的測量精度。綜上所述，正態(tài)分布的概率密度函數(shù)中，參數(shù)體現(xiàn)了觀測所得到的值的集中趨勢，而參數(shù)則體現(xiàn)了觀測所得到的值的分散程度。顯而易見的是，減小可以導致得到的觀測效果更好[1].

2.正態(tài)分布的性質(zhì)

2.1如果X ～N （μ， σ2） 且a與b是實數(shù)，那么aX+b ～N （aμ+b，（aσ2）） 。

2.2給定統(tǒng)計獨立的正態(tài)隨機變量X ～ N （μX，σX2） 與Y ～N （μY，σY2 ），我們有如下結論：

（1）它們的和也滿足正態(tài)分布U =X+Y～N （μX+μY，σY2+ σY2 ）。

（2）它們的差也滿足正態(tài)分布U =X-Y～N （μX-μY，σY2+ σY2 ）。

（3）隨機變量U 和隨機變量V 相互獨立的。

2.3給定獨立標準正態(tài)隨機變量X 1， ， ， X n。則X12+X22+， ， ，+Xn2滿足卡方分布且其自由度n。正態(tài)分布存在一個很好的特性，該特性被稱為中心極限定理。具體而言，當某些要求得到滿足時，許多相互統(tǒng)計獨立的隨機變量的和形成的分布趨向于滿足正態(tài)分布。該定理的有趣的地方，基于其給出的結論，我們可以用正態(tài)分布去逼近其他的分布，從而利用正態(tài)分布的性質(zhì)是簡化問題的求解。

參考文獻

[1]Efficient processing of k nearest neighbor joins using MapReduce. Wei Lu，YanyanShen，SuChen，Beng Chin Ooi. Proceedings of the VLDB Endowment . 2012

[2]劉宗鶴等譯.概率與統(tǒng)計入門.北京：農(nóng)業(yè)出版社，1986

[3] 周富臣等.機械制造計量檢測技術手冊[J].北京：機槭工業(yè)出版社. 2000.10