重型發(fā)動(dòng)機(jī)S型波紋管承壓與變形補(bǔ)償結(jié)構(gòu)參數(shù)敏感特性

趙 劍，譚永華，陳建華，高玉閃

(1. 西安航天動(dòng)力研究所，陜西 西安 710100； 2. 航天推進(jìn)技術(shù)研究院，陜西 西安 710100)

0 引言

我國(guó)500 tf級(jí)重型液氧煤油發(fā)動(dòng)機(jī)(簡(jiǎn)稱發(fā)動(dòng)機(jī))將采用“泵后搖擺”的總體布局，即在渦輪出口與推力室入口之間設(shè)置柔性搖擺環(huán)節(jié)，僅擺動(dòng)推力室控制推力矢量和調(diào)節(jié)火箭飛行姿態(tài)。采用“泵后搖擺”總體布局能有效減輕發(fā)動(dòng)機(jī)質(zhì)量、減小搖擺空間、降低搖擺力矩以及避免質(zhì)心偏斜等，且發(fā)動(dòng)機(jī)更緊湊、火箭構(gòu)型更優(yōu)，但是難點(diǎn)在于研制適用于高溫、高壓、富氧燃?xì)獾娜嵝該u擺組件。

柔性S形波紋管是搖擺組件的核心補(bǔ)償元件，為多層薄壁柔性金屬殼體。工程上對(duì)于金屬波紋管的應(yīng)用和研究多見于U形波紋管。作為柔性補(bǔ)償元件，波紋管的變形補(bǔ)償能力是重要的性能指標(biāo)，其中包括軸向變形、彎曲變形以及扭轉(zhuǎn)變形的補(bǔ)償。對(duì)于同等變形補(bǔ)償要求，采用等厚度的多層波紋管，可以有效降低變形補(bǔ)償時(shí)的應(yīng)力水平和剛度，因而多層波紋管得到廣泛應(yīng)用和研究。在內(nèi)壓和位移共同作用下，波紋管易發(fā)生失穩(wěn)失效，常見的有柱失穩(wěn)和面失穩(wěn)，故應(yīng)針對(duì)使用環(huán)境，結(jié)合不同波紋管抗失穩(wěn)性能合理選擇波紋管結(jié)構(gòu)。由于S形波紋管結(jié)構(gòu)和加工工藝復(fù)雜，受制于應(yīng)用規(guī)模和市場(chǎng)需求，工程上對(duì)S形波紋管的應(yīng)用和研究相對(duì)較少。但是S形波紋管具有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)性能，非常契合泵后擺發(fā)動(dòng)機(jī)的應(yīng)用需求。

本文以一種新型S形波紋管為研究對(duì)象，提出了一種基于正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)理論和非線性有限元方法的結(jié)構(gòu)參數(shù)敏感特性的分析方法。該方法通過參數(shù)化的正交仿真試驗(yàn)，基于相關(guān)性分析、方差分析和單因子響應(yīng)分析等方法，獲得了不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)特性的影響程度和作用模式，研究結(jié)果可供工程應(yīng)用參考。

1 S形波紋管幾何結(jié)構(gòu)

相對(duì)于U形和C形波紋管，S形波紋管波形相對(duì)復(fù)雜，其波形的明確定義較為少見。這里定義S形波形為3段圓弧相切式結(jié)構(gòu)，如圖1所示，為波高，為波距，為波谷半徑，為波峰半徑，為過渡圓弧半徑。

圖1 三段圓弧波形結(jié)構(gòu)Fig.1 The shape of 3 tangential arcs

圖2為S形波紋管結(jié)構(gòu)示意圖，其中為波紋管外徑，為波紋管內(nèi)徑。

圖2 S形波紋管結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic diagram of S-shaped bellows

(1)

幾何參數(shù)、、、、和必須滿足兩個(gè)約束，即數(shù)學(xué)和物理約束，故其中僅有4個(gè)幾何參數(shù)可獨(dú)立取值。由于波峰和波谷半徑差異較小，且假定和相等，可將S形波形幾何參數(shù)簡(jiǎn)化為3個(gè)獨(dú)立影響因子。綜合考慮其結(jié)構(gòu)參數(shù)，得到6個(gè)獨(dú)立的S形波紋管影響因變量，即、、()、、和。

2 研究思路與方法

給定影響因子的分布范圍如表1所示，大量計(jì)算檢驗(yàn)表明，影響因子在表1范圍內(nèi)的任意組合，都可以形成符合數(shù)學(xué)和物理要求的S形波紋管結(jié)構(gòu)，表明在表1范圍內(nèi)影響因子相互獨(dú)立。

表1 影響因子分布Tab.1 The distribution of structural parameters

S形波紋管結(jié)構(gòu)由以上6類影響因子決定，不同影響因子組合形成的波紋管，其結(jié)構(gòu)特性如剛度、強(qiáng)度以及穩(wěn)定性等都有差異。為了合理有效地評(píng)估各影響因子對(duì)波紋管結(jié)構(gòu)特性的影響規(guī)律、識(shí)別出參數(shù)敏感度關(guān)系，需要進(jìn)行大樣本計(jì)算。假定每個(gè)影響因子選擇8種水平，則有8=262 144種組合，若全面分析，將耗費(fèi)大量的計(jì)算和存儲(chǔ)成本；如果選擇任意數(shù)量的組合分析，可能得不到準(zhǔn)確的結(jié)果。因此，引入正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，平衡計(jì)算成本與精度，并基于概率統(tǒng)計(jì)理論對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析和處理。

參數(shù)敏感度分析流程由4個(gè)模塊組成(見圖3)。方案設(shè)計(jì)模塊基于表1中影響因子的均勻分布，設(shè)計(jì)正交試驗(yàn)方案。仿真組織模塊以O(shè)PTIMUS為控制平臺(tái)，通過數(shù)據(jù)通信讀入正交試驗(yàn)方案、調(diào)用仿真軟件分析以及提取目標(biāo)響應(yīng)，使整個(gè)分析流程自動(dòng)化。仿真計(jì)算模塊基于ANSYS參數(shù)化編程語(yǔ)言APDL形成S形波紋管的參數(shù)化仿真程序，將建模、網(wǎng)格處理、加載以及求解等步驟參數(shù)化處理，極大地節(jié)省時(shí)間和精力。數(shù)據(jù)處理模塊基于相關(guān)性分析、主成分分析及方差分析研究影響因子與響應(yīng)之間的參數(shù)敏感度信息，總結(jié)影響規(guī)律。

圖3 參數(shù)敏感度分析流程Fig.3 Flowchart of the sensitivity analysis method

3 非線性有限元分析及驗(yàn)證

3.1 模型軸對(duì)稱等效

對(duì)于承受內(nèi)壓和軸向位移載荷的波紋管，其自身結(jié)構(gòu)、載荷以及變形都呈現(xiàn)軸對(duì)稱特征，因而可采用二維軸對(duì)稱模型進(jìn)行分析。波紋管材料為1Cr18Ni9Ti，彈性模量=2.06×10MPa，泊松比=0.3，屈服強(qiáng)度=205 MPa。

根據(jù)材料的性質(zhì)，采用Mises流動(dòng)理論描述材料進(jìn)入塑性階段的本構(gòu)關(guān)系，在Drucker公設(shè)和Ilyushin假設(shè)前提下，塑性變形滿足正交法則，屈服條件為

(2)

式中：為應(yīng)力張量；()是應(yīng)力張量第二不變量；是強(qiáng)化參數(shù)。引入Mises等效應(yīng)力表征應(yīng)力狀態(tài)，即

(3)

式中為von Mises等效應(yīng)力。

3.2 單元與網(wǎng)格收斂性分析

波紋管變形補(bǔ)償原理與彈簧類似，但對(duì)于多層波紋管而言，由于層間接觸作用，其應(yīng)力和剛度響應(yīng)都呈現(xiàn)非線性，屬于非線性有限元分析范疇。有限元模型選用軸對(duì)稱SHELL209單元，該單元為3節(jié)點(diǎn)非線性殼單元，適合線性、大轉(zhuǎn)動(dòng)和大應(yīng)變非線性分析。

網(wǎng)格密度對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響很大，網(wǎng)格數(shù)較少時(shí)，可能導(dǎo)致分析結(jié)果連續(xù)性差，結(jié)果失真；網(wǎng)格數(shù)目太多，計(jì)算成本太高。為此，分析了內(nèi)壓載荷下，網(wǎng)格尺寸在1～3.5 mm之間均勻分布時(shí)S形波紋管位移隨網(wǎng)格尺寸的變化關(guān)系。如圖4所示，其中最大應(yīng)力和變形變化范圍小于1%，網(wǎng)格尺寸滿足網(wǎng)格收斂性要求。

圖4 最大變形隨網(wǎng)格尺寸變化Fig.4 Variation of maximum deformations to mesh sizes

3.3 算法驗(yàn)證

為了驗(yàn)證模型軸對(duì)稱等效、單元以及網(wǎng)格處理的可行性和有效性，參考文獻(xiàn)[2-3]中內(nèi)徑為508 mm的多層波紋管軸向剛度試驗(yàn)結(jié)果及EJMA標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。驗(yàn)證內(nèi)容為4層U形波紋管的剛度分析，仿真中需要考慮多層波紋管的材料、幾何和接觸非線性特征，仿真得到的剛度值為最小二乘擬合結(jié)果。

從表2可知，3種方法得到的剛度值較為接近，有限元解與試驗(yàn)值的最大偏差為6.63%，有限元解與EJMA解的最大偏差為2.42%，滿足EJMA標(biāo)準(zhǔn)建議的精度要求，證實(shí)了模型和分析方法可行。

表2 軸向剛度分布Tab.2 The distribution of axial stiffness

4 敏感度分析方法

4.1 相關(guān)性分析

相關(guān)性是指多變量數(shù)據(jù)之間存在著某種內(nèi)在關(guān)聯(lián)，主要有正相關(guān)[見圖5(a)]和負(fù)相關(guān)[見圖5(b)]兩類。

圖5 相關(guān)性分布示意圖Fig.5 Schematic diagrams of correlativity distribution

一般采用積距相關(guān)系數(shù)來衡量變量之間相關(guān)性強(qiáng)度，即

(4)

選擇表1中影響因子均勻分布的8種水平，形成正交試驗(yàn)方案。表3表明影響因子的互相關(guān)系數(shù)為0，反映出影響因子之間相互獨(dú)立。

表3 影響因子相關(guān)系數(shù)Tab.3 The correlation coefficients of factors

4.2 主成分分析

主成分分析是在盡量保留數(shù)據(jù)信息的原則下，對(duì)高維變量空間進(jìn)行降維處理，即使用指標(biāo)體系的少數(shù)幾個(gè)線性組合構(gòu)成綜合指標(biāo)，并盡可能多地保留原指標(biāo)信息，這些綜合指標(biāo)就稱為主成分。

設(shè)有個(gè)指標(biāo)=(，，…，)，若用第一主成分來取代原維變量，應(yīng)該取保留數(shù)據(jù)信息量最多的一個(gè)方向，即方差最大的方向(見圖6)。

圖6 主成分分布示意圖Fig.6 Schematic diagrams of principal component analysis

(5)

式中為維正交向量。

若需要考慮第二主成分，即尋找與垂直的方向，依次類推，便可以得到一個(gè)維的主超平面，，…，(≤),它是原維空間所有線性變換空間中保留數(shù)據(jù)信息最大的維子空間，即

(6)

式中=(，，…， )為正交矩陣。

設(shè)的協(xié)方差矩陣為，滿足

(7)

式中,,…，為的特征根。

在實(shí)際應(yīng)用中，中各個(gè)分量的意義不同，量綱也不同，從而影響協(xié)方差陣的特征根與特征向量計(jì)算，為了消除這種不利影響，通常將變量標(biāo)準(zhǔn)化,即

(8)

4.3 主成分分析

方差分析可以判斷影響因子是否對(duì)響應(yīng)有顯著影響，從而得到各影響因子敏感度的量化指標(biāo)。方差分析中，所關(guān)心的試驗(yàn)結(jié)果稱為指標(biāo)，對(duì)指標(biāo)產(chǎn)生影響的因素稱為因子，因子所處的狀態(tài)稱為水平。

設(shè)某個(gè)試驗(yàn)指標(biāo)分別受和兩個(gè)因子影響，其中因子有個(gè)水平，，…，，因子有個(gè)水平，，…，，這樣共有·個(gè)不同水平的組合。引入下列符號(hào)

0：==…==0

(10)

同樣，分析的不同水平對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)是否有顯著影響，相當(dāng)于檢驗(yàn)如下假設(shè)

0：==…==0

(11)

從而建立方差分析模型

(12)

引入下述各變差平方和

(13)

式中：為變差平方和；和分別反映因子和對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響；×主要反映隨機(jī)誤差的波動(dòng)。通過比較和的大小，得到和的影響程度高低。

5 結(jié)果與分析

5.1 內(nèi)壓載荷響應(yīng)敏感度分析

S形波紋管兩端固支，在內(nèi)壁面均勻施加0.5 MPa內(nèi)壓，考慮von Mises應(yīng)力極值、周向應(yīng)力極值、子午向應(yīng)力極值以及總位移極值共4類響應(yīng)指標(biāo)，其中某一種參數(shù)組合波形應(yīng)力云圖如圖7所示。

圖7 一種參數(shù)組合波形應(yīng)力云圖Fig.7 The von Mises stress of one combined bellows

5.1.1 相關(guān)性分析

從表4中可以發(fā)現(xiàn)，各響應(yīng)之間的秩相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值大于0.94，表明各響應(yīng)指標(biāo)之間相關(guān)程度很高，可以用少量的響應(yīng)指標(biāo)表征所有響應(yīng)指標(biāo)的效應(yīng)。該結(jié)論符合有限元計(jì)算的基本原理，即應(yīng)力指標(biāo)通過變形演化而來，求解得到了位移場(chǎng)，也就知道了應(yīng)力場(chǎng)。

表4 內(nèi)壓載荷響應(yīng)相關(guān)系數(shù)Tab.4 The correlation coefficients of pressure responses

5.1.2 主成分分析

將各響應(yīng)數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，并進(jìn)行主成分分析，得到各特征值如表5所示。

表5 內(nèi)壓響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)化協(xié)方差矩陣特征值Tab.5 The eigenvalues of normalized covariance matrix of pressure responses

從表5可知，特征值的貢獻(xiàn)率為98.3%，故可以用第1主成分表征整體響應(yīng)的綜合效應(yīng)。

5.1.3 方差分析

對(duì)于顯著水平=0.05，比較表6中列數(shù)據(jù)與臨界值(7，21)=2.49可得：在多層波紋管總厚度一定時(shí)，對(duì)于內(nèi)壓載荷響應(yīng)，S形波紋管影響因子的影響程度從高到低為層數(shù)>波高>單層厚度>波數(shù)>半徑>波距，其中，層數(shù)影響最顯著，半徑和波距的影響可以忽略。

表6 載荷方差分析Tab.6 Load analysis of vaniance

5.1.4 單因子響應(yīng)分析

選定表1中各影響因子取值范圍的中間值作為基準(zhǔn)波形，單獨(dú)研究各影響因子在其取值范圍內(nèi)在內(nèi)壓載荷下von Mises應(yīng)力極值的影響規(guī)律。為了便于比較，將各影響因子和von Mises應(yīng)力分別無量綱化處理，獲得圖8所示的單因子影響關(guān)系。

圖8 無量綱影響因子對(duì)無量綱von Mises應(yīng)力的影響Fig.8 The distributions of normalized von Mises stress to different normalized parameters

對(duì)于內(nèi)壓載荷，管壁厚度是最重要的承壓性能指標(biāo)，故增加層數(shù)和單層厚度，能有效增大承壓能力，降低應(yīng)力水平。波高越大，波峰波谷過渡圓弧長(zhǎng)度越大，內(nèi)壓沿過渡圓弧長(zhǎng)度產(chǎn)生的壓力變形和應(yīng)力就越大。波數(shù)、半徑以及波距增大，應(yīng)力略有下降，從圖8中可以發(fā)現(xiàn)，這三者的影響程度遠(yuǎn)不如其他參數(shù)重要。

5.2 軸向位移響應(yīng)敏感度分析

S形波紋管一端固支，另一端施加10 mm軸向位移，考慮von Mises應(yīng)力極值、周向應(yīng)力極值、子午向應(yīng)力極值和軸向剛度共4類響應(yīng)指標(biāo)，并分別處理應(yīng)力指標(biāo)與軸向剛度指標(biāo)數(shù)據(jù)，其中某一種參數(shù)組合波形von Mises應(yīng)力云圖如圖9所示。

圖9 一種組合波形von Mises應(yīng)力云圖Fig.9 The von Mises stress of one combined bellows

5.2.1 相關(guān)性分析

表7反映出在軸向位移載荷作用下，各應(yīng)力響應(yīng)之間的相關(guān)程度大于0.87，因此，可以用較少的響應(yīng)指標(biāo)反映所有響應(yīng)的影響規(guī)律。

表7 應(yīng)力響應(yīng)相關(guān)系數(shù)Tab.7 The correlation coefficients of stress

5.2.2 主成分分析

將應(yīng)力響應(yīng)指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化，并進(jìn)行主成分分析，得到各特征值如表8所示。

表8 應(yīng)力響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)化協(xié)方差矩陣特征值Tab.8 The eigenvalues of normalized covariance stress

特征值的貢獻(xiàn)率為98.03%，故可以用第1主成分表征整體響應(yīng)的綜合效應(yīng)。

5.2.3 位移應(yīng)力響應(yīng)方差分析

對(duì)于顯著水平=0.05，比較表9中列數(shù)據(jù)與(7，21)=2.49可得：對(duì)于軸向位移應(yīng)力響應(yīng)，S形波紋管影響因子的影響程度關(guān)系由高到低依次為波數(shù)>層數(shù)>半徑>波高>單層厚度>波距，其中波數(shù)和層數(shù)影響最大，波距的影響可以忽略。

表9 應(yīng)力方差分析Tab.9 Stress analysis of vaniance

同理，比較表10中列數(shù)據(jù)與(7，21)=2.49的關(guān)系可得：對(duì)于軸向位移剛度響應(yīng)，S形波紋管6個(gè)影響因子的影響程度關(guān)系從高到低依次為層數(shù)>波數(shù)>半徑>單層厚度>波距>波高，其中波數(shù)與層數(shù)影響最大，單層厚度、波距和波高的影響可以忽略。

表10 軸向剛度方差分析Tab.10 Axial stiffness analysis of vaniance

5.2.4 單因子響應(yīng)分析

選定表1中各影響因子取值范圍的中間值作為基準(zhǔn)波形，單獨(dú)研究各影響因子在其取值范圍內(nèi)對(duì)位移載荷下von Mises應(yīng)力極值和剛度的影響規(guī)律。為了便于比較，將各影響因子和載荷響應(yīng)分別無量綱化，獲得圖10和圖11所示的單因子影響關(guān)系。

圖10 無量綱影響因子對(duì)無量綱von Mises應(yīng)力的影響Fig.10 The distribution of normalized von Mises stress to normalized parameters

圖11 無量綱影響因子對(duì)無量綱軸向剛度的影響Fig.11 The distribution of normalized axial stiffness to normalized parameters

從圖10和圖11中可知，波數(shù)增加，波紋管長(zhǎng)度增大，在同等位移作用下，單個(gè)波紋的變形減小，故應(yīng)力水平和剛度降低，應(yīng)力極值、剛度與波數(shù)呈現(xiàn)雙曲函數(shù)關(guān)系。單層厚度和層數(shù)增加使得總壁厚增大，波形最小曲率減小，波紋管軸向截面積增大，應(yīng)力極值與剛度都增大。波高增加，過渡圓弧長(zhǎng)度增大，剛度減小，應(yīng)力也減小。波距增大時(shí)，應(yīng)力極值先減小后增大，存在應(yīng)力極小值點(diǎn)，半徑對(duì)應(yīng)力極值和剛度的影響最小。

6 結(jié)論

為了獲得重型發(fā)動(dòng)機(jī)泵后搖擺S型波紋管組件的結(jié)構(gòu)敏感特性，為工程設(shè)計(jì)與應(yīng)用提供支持,本文針對(duì)新型S形金屬波紋管，定義了3段圓弧相切的S形波形，將其結(jié)構(gòu)參數(shù)簡(jiǎn)化為6個(gè)影響因子，提出了一種基于正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)、非線性有限元方法以及數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論的結(jié)構(gòu)參數(shù)敏感特性研究方法，并研究獲得了其參數(shù)敏感特性，主要結(jié)論如下：

1)對(duì)于承壓特性，在多層波紋管總厚度一定時(shí)，波紋管承壓能力對(duì)影響因子的敏感度關(guān)系為：層數(shù)>波高>單層厚度>波數(shù)>半徑>波距，其中單層厚度和層數(shù)決定了波紋管的總壁厚，因此影響顯著，波距和波高的影響可以忽略。

2) 對(duì)于位移補(bǔ)償特性，影響因子對(duì)波紋管軸向位移應(yīng)力響應(yīng)敏感度關(guān)系為：波數(shù)>層數(shù)>半徑>波高>單層厚度>波距，而影響因子對(duì)波紋管軸向剛度的敏感度關(guān)系為：層數(shù)>波數(shù)>半徑>單層厚度>波距>波高。波數(shù)與層數(shù)的影響最為顯著，其中波數(shù)增加，波紋管長(zhǎng)度增大，在同等位移作用下變形減小，剛度與應(yīng)力極值呈現(xiàn)雙曲函數(shù)減??；層數(shù)增加，剛度顯著增大，應(yīng)力極值增大。波距和波高的影響較小。