基于1→2相位協(xié)變克隆之逆的同時量子信息集中

張玉春, 柏明強, 吳 帆, 柳人菊

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

在量子信息理論中,Wootters等[1]已經(jīng)證明一個未知的量子態(tài)不能被精確克隆,那么是否可以近似克隆呢?

1996年，Buzek等[2]首次提出了量子克隆的概念.量子克隆能夠?qū)崿F(xiàn)近似克隆,但其輸入態(tài)和近似輸出態(tài)是糾纏在一起的,這意味著測量其中的一個將影響另外一個.隨后,Murao等[3-4]結(jié)合隱形傳態(tài),將量子克隆進行推廣,提出了量子遠程克隆.量子遠程克隆可以將一個粒子的信息從發(fā)送者分發(fā)到許多遙遠的接收者,實現(xiàn)遠程量子信息的分布.

根據(jù)量子信息論,量子信息可以進行分發(fā)和重構(gòu),量子遠程克隆就是信息分發(fā)過程,而遠程信息集中就是信息的重構(gòu)過程.2001年，Murao等[5]首次提出了遠程量子信息集中,他們選擇了一個4粒子非束縛糾纏態(tài)作為量子信道,然后執(zhí)行局域操作,就完成了將分布于空間分離的3方的量子信息還原回來的任務(wù).

從此,學(xué)者們對遠程量子信息集中進行了廣泛的研究[6-17].例如,Yu等利用GHZ態(tài)[6-7]、W態(tài)[8]和Cluster態(tài)[9]完成了優(yōu)化1→2的通用遠程克隆之逆;Hsu等[10-11]提出了將量子態(tài)推廣到多粒子和高維系統(tǒng)的量子信息集中;Wang等[12-15]提出了基于相位協(xié)變克隆的遠程信息集中;2014年，Peng等[16]提出了優(yōu)化通用1→2的任意2粒子量子信息集中協(xié)議;2016年,Wang等[17-18]提出了添加控制方的量子信息集中方案.在現(xiàn)有的研究成果中,量子信息集中涉及的都是一個信道處理一個克隆態(tài)的情況.

為了提高信道資源的利用效率,試想:一個信道能否同時處理2個及以上克隆態(tài)的信息集中呢?基于以上考慮,選擇2個1→2相位協(xié)變克隆態(tài)和一個7粒子信道,提出同時量子信息集中方案,并在方案中添加了控制者,其中控制者起到單向通信的控制作用,當(dāng)且僅當(dāng)在控制者許可下,信息集中方可完成.

1 量子遠程信息集中

1.1 量子任務(wù)和量子信道假設(shè)有2個未知赤道態(tài)

的信息被分別加載到由粒子(A1,B1)和(A2,B2)構(gòu)成的對稱相位協(xié)變克隆態(tài)

|Ψ〉eiδ1|11〉)A1B1,

(1)

|Ψ〉eiδ2|11〉)A2B2,

(2)

其中,粒子A1(A2)和B1(B2)分別屬于空間分離雙方Alice1(Alice2)和Bob1(Bob2).

現(xiàn)在Alice1和Bob1想讓David1來幫助他們將加載到態(tài)|Ψ〉A(chǔ)1B1中的信息集中回單粒子態(tài)

同時Alice2和Bob2讓David2來幫助他們將加載到態(tài)|Ψ〉A(chǔ)2B2中的信息集中回單粒子態(tài)

并且要求這一任務(wù)必須在第三方Charlie的監(jiān)控下完成,控制者Charlie不需要知道|Ψ〉A(chǔ)1B1和|Ψ〉A(chǔ)2B2的任何信息,但在整個量子任務(wù)中卻起著至關(guān)重要的作用.

當(dāng)然,這個任務(wù)可以通過2個受控量子信息集中協(xié)議來完成,每個協(xié)議需要耗費一個4粒子糾纏態(tài)作為量子信道及一個控制者,總共涉及8比特量子資源和2個獨立的控制者.而本文提出這樣一個協(xié)議,利用一個7粒子量子態(tài)作為信道和一個共有的控制者,就可以同時將|Ψ〉A(chǔ)1B1和|Ψ〉A(chǔ)2B2的信息集中回原始態(tài).

為了實現(xiàn)這一量子任務(wù),考慮7粒子量子態(tài)|H〉(4粒子Cluster態(tài)和一個含4項的3粒子糾纏態(tài)的張量積)作為量子信道,這個3粒子糾纏態(tài)的形式為

|E

i,j∈P={1,2,3,4},i≠j,

(3)

其中

|ω1〉=|000〉, |ω2〉=|001〉,

|ω3〉=|010〉, |ω4〉=|100〉,

根據(jù)GME-concurrence[19]度量可以來刻劃n粒子純態(tài)|Ψ〉的糾纏屬性,定義糾纏度量GME-concurrence如下

CGME|Ψ〉:=

(4)

其中,r={ri}表示糾纏態(tài)|Ψ〉所有的二分類可能{Ai|Bi},i∈{1,2,…,n},ρAri代表關(guān)于Ari的密度矩陣.

對于(3)式中|Eij〉,可能的二分類

r={{1|23},{2|13},{3|12}},

計算

CGME|Eij〉:=min

這表明3粒子|Eij〉是最大糾纏態(tài),具有良好的糾纏性質(zhì).

1.2 同時遠程信息集中不失一般性,取信道

|H〉=|Cluster〉1C2D2?|E34〉=

這里粒子1、3、2、4、C、D1、D2分別屬于Alice1、Bob1、Alice2、Bob2、Charlie、David1和David2,Charlie作為控制方,David1、David2作為量子信息|τ〉D1和|τ〉D2的恢復(fù)方.

于是整個系統(tǒng)為

|T〉=|Ψ〉A(chǔ)1B1?|H〉12CD234D1?|Ψ〉A(chǔ)2B2.(7)

利用Bell基

(8)

和

{|+〉,|-〉}

基

(9)

系統(tǒng)總態(tài)|T〉可以表示為

(10)

若記

li=(-1)i,i=1,2,…,16,

則(10)式中

|ρ

(11)

其中|ξi〉(i=1,2,…,16)代表Alice1、Bob1、Alice2和Bob2分別對各自的粒子對(A1,1)、(B1,3)、(A2,2)和(B2,4)執(zhí)行Bell測量.Charlie對自己的粒子C執(zhí)行{|+〉,|-〉}基測量后,系統(tǒng)總態(tài)最后所塌縮成的16種量子態(tài).

|ξ〉eiδ2|1〉)D2?

(12)

從上式可以看出,|ξ〉D2D1是粒子D2和D1所處態(tài)的張量積形式.此時,David2對粒子D2執(zhí)行酉操作σI,與此同時David1對粒子D1執(zhí)行酉操作σx,二者就能同時恢復(fù)量子信息

整個過程涉及的酉算子表達式如下:

σI=|0〉〈0|+|1〉〈1|,

σx=|0〉〈1|+|1〉〈0|,

σz=|0〉〈0|-|1〉〈1|,

σy=-i|0〉〈1|+i|1〉〈0|.

其余測量情況下的信息恢復(fù)類似,塌縮態(tài)

|ξ〉i,i=1,2,…,16

與David2、David1所執(zhí)行酉操作見表1.整個方案成功的概率為

表 1 塌縮態(tài)|ξ〉i(i=1,2,…,16)與David2、David1所執(zhí)行酉操作

1.3 概率性同時遠程信息集中雖然最大糾纏態(tài)的良好糾纏性質(zhì)能使得信息集中任務(wù)以最大概率取得成功,但是在真實的通信環(huán)境中,最大糾纏態(tài)不易制備,并且受環(huán)境影響容易轉(zhuǎn)化為非最大糾纏態(tài).因此,考慮非最大糾纏態(tài)為信道,將量子態(tài)|Ψ〉A(chǔ)1B1和|Ψ〉A(chǔ)2B2的信息同時集中回2個單粒子態(tài)|τ〉D1和|τ〉D2.

(3)式中|E13〉和信道|H〉取如下形式:

|H〉=|Clusterα〉

(13)

sin2α+cos2α=1,sin2β+cos2β=1,

其中

α,β∈[0,2π),

sinα,cosα,sinβ,cosβ≠{0,1}.

粒子1、3、2、4、C、D1和D2分別屬于Alice1、Bob1、Alice2、Bob2、Charlie、David1和David2.于是整個系統(tǒng)利用Bell基和{|+〉,|-〉}基可以表示為

|T〉=|Ψ〉A(chǔ)1B1?|H〉1C2D234D1?|Ψ〉A(chǔ)2B2=

(14)

若記

i=1,2,…,16,

則

|λ

(15)

而塌縮態(tài)|φj〉D2D1(j=1,2,…,16)都可以通過一個酉操作(Uj)D2D1將其轉(zhuǎn)化為以下

情況之一:

(16)

其轉(zhuǎn)化過程為

(Uj)D2D1|φj〉

ji=1,2,3,4;j≡ji(mod4).

(17)

具體酉操作(Uj)D2D1見表2.

表 2 (17)式中酉操作(Uj)D2D1, j=1,2,…,16具體情況

|φ〉sinαsinβ|000〉+

(18)

(19)

的情況可按照類似方法進行操作.

(20)

由于系數(shù)未知,因此需要對系數(shù)進行討論,分以下4種情形:

情形1sinα≥cosα,sinβ≥cosβ;

情形2sinα

情形3sinα≥cosα,sinβ

情形4sinα

信息恢復(fù)過程中,4種情形所做的操作類似,不失一般性,選擇情形1來討論.當(dāng)

sinα≥cosα,sinβ≥cosβ

時,為了恢復(fù)原始信息,選擇適當(dāng)?shù)挠献儞Q如下

U

其中

W

θ∈{α,β}.

(22)

(23)

情形2～4采用類似的方法即可恢復(fù)原始信息,與情形1不同之處在于所選擇酉變換不同.為了完成情形2～4信息的恢復(fù),再構(gòu)造2個酉變換如下

U

(24)

其中

P

θ∈{α,β}.

(25)

針對不同情形下酉變換的選擇情況具體見表3.

表 3 情形1～4下引入輔助粒子后選擇的酉變換與成功的概率

通過計算發(fā)現(xiàn),同時恢復(fù)信息|τ〉1和|τ〉2成功的概率與參數(shù)α和β有關(guān)系,并且當(dāng)

sin2α=cos2α=sin2β=

時,成功的概率最大為1.

2 結(jié)論

本文提出了通過一個7粒子量子信道,同時將2個2粒子克隆態(tài)集中回原始態(tài)的信息集中方案.方案中添加了控制者,進一步增加了方案的安全性.在整個量子任務(wù)過程中,4個空間分離的參與者對自己所擁有的粒子做Bell測量,然后他們以經(jīng)典通信的方式將測量結(jié)果告訴給控制者和2個恢復(fù)方.在控制者的許可下,2個恢復(fù)方根據(jù)所接收到的測量信息對自己所擁有的粒子做適當(dāng)?shù)挠喜僮骰蛘咭胼o助粒子進行投影測量,即可恢復(fù)原始態(tài).當(dāng)信道為最大糾纏態(tài)時,方案成功的概率為1;當(dāng)信道為非最大糾纏態(tài)時,方案成功的概率與信道的參數(shù)相關(guān).