混凝土圓環(huán)形截面非均勻配筋計(jì)算的解析法

李彬，周東華

(昆明理工大學(xué) 建筑工程學(xué)院，昆明 650500)

工程中的圓環(huán)形截面構(gòu)件有的有明確單一的彎曲方向，例如：邊坡抗滑樁為單向彎曲，高橋墩沿跨度方向?yàn)橹鲝澢ǔ?，這類構(gòu)件截面尺寸大、長(zhǎng)度長(zhǎng)。采用均勻配筋的最大缺點(diǎn)是不能充分利用中性軸附近的鋼筋強(qiáng)度，而能充分發(fā)揮鋼筋強(qiáng)度且經(jīng)濟(jì)性好的配筋方式是非均勻配筋，即將受力鋼筋設(shè)置在離中性軸較遠(yuǎn)的外圍區(qū)域。

環(huán)形截面配筋的計(jì)算具有雙重非線性(材料非線性和截面寬度變化非線性)，因此，計(jì)算較為困難。《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50010—2010)[1](以下簡(jiǎn)稱《規(guī)范》)中雖然給出了相關(guān)的計(jì)算公式，但僅僅是針對(duì)均勻配筋，沒有非均勻配筋的計(jì)算方法或公式。另外，《規(guī)范》給出的公式是超越方程組，須迭代求解，無(wú)法手算。針對(duì)這一問(wèn)題，筆者做了兩方面的工作，一是提供環(huán)形截面非均勻配筋的計(jì)算方法，二是解決雙重非線性不能手算的問(wèn)題。無(wú)需迭代計(jì)算的思路是：由截面應(yīng)變計(jì)算應(yīng)力，進(jìn)而計(jì)算內(nèi)力[2-3]。要實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)的關(guān)鍵是確定截面應(yīng)變，根據(jù)《規(guī)范》給出的混凝土和鋼筋的本構(gòu)關(guān)系確定截面應(yīng)變的極限范圍，將其范圍分成了5個(gè)區(qū)域[4-8]，使每個(gè)區(qū)域均有一側(cè)含有極限應(yīng)變，便可將截面應(yīng)變變?yōu)橐阎俊?/p>

1 截面抗力

1.1 本構(gòu)關(guān)系

《規(guī)范》中給出了完整的混凝土和鋼筋的本構(gòu)關(guān)系數(shù)學(xué)表達(dá)式

(1a)

(1b)

式中：εc和εs分別為混凝土和鋼筋的應(yīng)變(式中應(yīng)變值取千分位)。

1.2 截面應(yīng)變區(qū)域

采用的計(jì)算方法和思路是由截面應(yīng)變通過(guò)本構(gòu)關(guān)系確定應(yīng)力，再由應(yīng)力求內(nèi)力和判斷受力狀態(tài)(軸拉、小偏拉、大偏拉、純彎、小偏壓、大偏壓、軸壓)。如圖1所示，根據(jù)本構(gòu)關(guān)系構(gòu)造可能的截面應(yīng)變范圍[9-10]，并把可能的截面應(yīng)變范圍分成5個(gè)應(yīng)變區(qū)域，各受力狀態(tài)對(duì)應(yīng)的截面應(yīng)變能夠完全在圖1中表示出來(lái)，圖中：r為外圓半徑；r1為內(nèi)圓半徑；h0為截面有效高度；as為鋼筋合力至截面下邊緣的距離。截面上邊緣應(yīng)變范圍從10‰～-3.3‰；截面下邊緣應(yīng)變范圍從10‰～-2.0‰。

圖1 混凝土和鋼筋的應(yīng)變變化區(qū)域Fig.1 Strain variation area of concrete and

在截面應(yīng)變范圍劃分的5個(gè)區(qū)域中，每個(gè)區(qū)域至少有一側(cè)的應(yīng)變是極限應(yīng)變[11]并在這一區(qū)域內(nèi)保持不變(極限應(yīng)變是常量)，以確保截面處于極限狀態(tài)，即區(qū)域①、②截面下側(cè)應(yīng)變?yōu)殇摻畹臉O限應(yīng)變?chǔ)舠=10‰；區(qū)域③、④截面上側(cè)應(yīng)變?yōu)榛炷潦軌簠^(qū)上邊緣的極限應(yīng)變?chǔ)與=-3.3‰；由區(qū)域⑤中截面上下邊緣應(yīng)變的數(shù)值和幾何關(guān)系可得區(qū)域⑤的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)位置為距離截面下邊緣20d/33處εc=-2‰(軸壓時(shí)的極限應(yīng)變)，這樣就可以使平衡方程中未知量的個(gè)數(shù)等于方程個(gè)數(shù)，方便求解截面內(nèi)力[12-14]。5個(gè)區(qū)域的截面應(yīng)變規(guī)律和受力情況如表1所示。

表1 截面應(yīng)變與實(shí)際受力狀態(tài)Table 1 Section strain and actual stress state

上述5個(gè)應(yīng)變分布區(qū)域可適用于各種截面形狀的鋼筋混凝土，推導(dǎo)圓環(huán)形截面的配筋計(jì)算都基于這些應(yīng)變區(qū)域[15]，這5個(gè)應(yīng)變區(qū)域的分布不僅能滿足《規(guī)范》中對(duì)混凝土和鋼筋極限應(yīng)變的規(guī)定，即圖1中區(qū)域，而且還能夠完善混凝土等效矩形應(yīng)力換算引起的區(qū)域②、⑤的應(yīng)變?nèi)笔А?/p>

1.3 截面參數(shù)

根據(jù)區(qū)域中混凝土和鋼筋應(yīng)變規(guī)律，可由圖2計(jì)算出混凝土受壓區(qū)高度，即

(2)

圖2 截面參數(shù)及應(yīng)變Fig.2 Section parameters and strain

根據(jù)圖2的幾何關(guān)系h0=t+z，其中：t為混凝土合力位置與混凝土受壓區(qū)邊緣間的距離；z為混凝土受壓區(qū)合力至鋼筋重心的距離，令kz=z/h0,即kz為內(nèi)力臂系數(shù)；x為混凝土受壓區(qū)高度，令kx=x/h0，即kx為受壓區(qū)高度系數(shù)。

通過(guò)已知的受壓區(qū)高度，截面范圍內(nèi)任意高度u處的應(yīng)變均可求出

(3)

但圓形截面內(nèi)任意高度處的應(yīng)變還不能通過(guò)u求出來(lái)，需要引入一個(gè)參數(shù)弦高fi=r(1-cosφ)，弦高最小時(shí)在圓的頂部，弦高最大時(shí)在圓的底部，可得圓內(nèi)任意高度u的表達(dá)式u=x-fi=x-r(1-cosφ)，其中x和fi為兩個(gè)相互獨(dú)立的變量，當(dāng)截面應(yīng)變已知，也就是x固定時(shí)，弦高就只隨著圓心角的變化而變化，這樣就可以找出任意纖維處的應(yīng)變與圓心角的函數(shù)關(guān)系，即

(4)

將式(4)代入式(1a)可求得任意高度處的應(yīng)力計(jì)算式

(K1+K2cosφ+K3cos2φ)fc

(5)

根據(jù)材料的本構(gòu)關(guān)系，當(dāng)混凝土應(yīng)變?chǔ)與≥-2‰時(shí)，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分布為拋物線；當(dāng)混凝土應(yīng)變-3.3‰≤εc<-2‰時(shí)，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分布為矩形+拋物線。

1.3.1 拋物線階段(εc≥-2‰) 混凝土受壓區(qū)邊緣應(yīng)變?chǔ)與≥-2‰的應(yīng)力分布如圖3所示。

圖3 εc≥-2‰時(shí)的應(yīng)力分布Fig.3 The stress distribution of

(6)

(7)

以上計(jì)算的軸力和彎矩(按混凝土受壓區(qū)每一層纖維對(duì)中性軸的距離計(jì)算的彎矩)都與截面尺寸和混凝土強(qiáng)度相關(guān),為了消除這種相關(guān)性，將軸力和彎矩分別除以πr2fc和πr3fc，其中，弦長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)圓心角的關(guān)系b(φ)=2rsinφ、積分上下限φ0=0、φ1=arccos(r-x)/r，這樣就能計(jì)算出拋物線階段的無(wú)量綱軸力和彎矩，見式(8)和式(9)。

(8)

(9)

1.3.2 矩形+拋物線階段(-3.3‰≤εc<-2‰) 混凝土受壓區(qū)邊緣應(yīng)變-3.3‰≤εc<-2‰的應(yīng)力分布如圖4所示。

圖4 -3.3‰≤εc<-2‰時(shí)的應(yīng)力分布Fig.4 The stress distribution of

(10)

(11)

同樣，將軸力和彎矩分別除以πr2fc和πr3fc，其中積分上下限φ0=0、φ1=arccos[(r-x+a)/r]、φ2=arccos[(r-x)/r]，計(jì)算出矩形+拋物線階段的無(wú)量綱軸力和彎矩，見式(12)和式(13)。

(12)

(13)

如圖5所示，圓形截面與圓環(huán)形截面的區(qū)別僅在于圓環(huán)形截面比圓形截面少了一部分混凝土弓形受壓區(qū)面積，圓形截面減去混凝土弓形受壓區(qū)的應(yīng)力，即可得到圓環(huán)形混凝土受壓區(qū)的內(nèi)力。

圖5 環(huán)形截面受壓區(qū)Fig.5 Compression zone of annulus

2 配筋計(jì)算的諾謨圖

無(wú)量綱化后的彎矩設(shè)計(jì)值為m,受壓區(qū)混凝土無(wú)量綱合力對(duì)受拉鋼筋合力點(diǎn)取矩得m=nz=nkzh0,可知，無(wú)量綱彎矩僅與無(wú)量綱軸力n、內(nèi)力臂系數(shù)kz和截面有效高度h0相關(guān)，其中無(wú)量軸力又與受壓區(qū)高度系數(shù)kx相關(guān)，截面有效高度僅與受拉鋼筋的配筋圓心角α相關(guān)。

鋼筋在其配置區(qū)域內(nèi)離散均勻分布，為了便于解析計(jì)算，對(duì)鋼筋做連續(xù)分布處理，也就是把鋼筋面積均勻分布于配筋圓心角對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)上，即弧長(zhǎng)l=As/(α·rs)，其中：α為配筋圓心角；rs為每根鋼筋的重心所在圓弧的半徑，取rs=r-35 mm。配筋圓心角對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)的重心與混凝土合力間的距離即為內(nèi)力臂長(zhǎng)度。受拉區(qū)配筋圓心角越大，受拉鋼筋重心位置就越高。經(jīng)計(jì)算，配筋圓心角α=90°的截面有效高度h0=1.787r；α=120°的截面有效高度h0=1.717r；α=150°的截面有效高度h0=1.625r。繪制了內(nèi)圓和外圓兩種比例的環(huán)形截面配筋計(jì)算諾謨圖，即r1/r=0.5和r1/r=0.7，按照不同情況查找對(duì)應(yīng)的諾謨圖，該圖為無(wú)量綱圖表，適用于C50及以下混凝土強(qiáng)度及任意半徑的環(huán)形截面。

在圖6中繪出了內(nèi)力臂系數(shù)kz、受壓區(qū)高度系數(shù)kx、配筋圓心角α、混凝土應(yīng)變?chǔ)與和鋼筋應(yīng)變?chǔ)舠與無(wú)量綱彎矩m的關(guān)系曲線。從諾謨圖中可以看出，隨著彎矩的增大，混凝土邊緣應(yīng)變?chǔ)與的絕對(duì)值和混凝土受壓區(qū)高度系數(shù)kx也逐漸增大，而受拉鋼筋的應(yīng)變?chǔ)舠和內(nèi)力臂系數(shù)kz逐漸減小。同時(shí)，圖1中的5個(gè)應(yīng)變區(qū)域在圖6中也有對(duì)應(yīng)的位置，這樣，在《規(guī)范》中沒有包含的區(qū)域②和⑤也可以用圖6來(lái)計(jì)算配筋，避免了《規(guī)范》中應(yīng)變變化不連續(xù)的弊端，更符合混凝土圓環(huán)形截面的實(shí)際受力狀態(tài)。

圖6 環(huán)形截面的計(jì)算諾謨圖Fig.6 The calculation nomograph of circular

該計(jì)算方法不僅限于純彎截面，還適用于截面有軸力的情況，具體方法是先將軸力平移到鋼筋合力的重心位置，如圖7所示，由式Ms=M+P(r-as)計(jì)算所需受拉鋼筋的面積，Ms為截面計(jì)算彎矩，M、P分別為截面彎矩和軸力的設(shè)計(jì)值。其中，軸力P受拉為正，受壓為負(fù)。

圖7 截面上的彎矩和軸力Fig.7 Axial forces and bending moments on the

由平衡關(guān)系即可得出配筋計(jì)算公式

(14)

(15)

(16)

(17)

考慮到偶然荷載的不確定性，為使荷載作用端與構(gòu)件的抵抗端相匹配，根據(jù)構(gòu)件工況和偶然荷載可能的作用方向，可繼續(xù)使用文中的諾謨圖進(jìn)行偶然荷載作用下的配筋計(jì)算。

3 算例

3.1 算例1

某圓環(huán)形截面混凝土構(gòu)件外圓半徑r=60 cm，內(nèi)圓半徑r1=30 cm，彎矩設(shè)計(jì)值2 400 kN·m，軸力設(shè)計(jì)值P=-700 kN(壓力)，采用混凝土等級(jí)C30，鋼筋HRB400級(jí),根據(jù)要求計(jì)算截面所需鋼筋面積。

1)規(guī)范解法

根據(jù)《規(guī)范》附錄E中的超越方程組E.0.3-1和E.0.3-2，通過(guò)雅克比迭代法求解，最后計(jì)算得到受壓區(qū)混凝土面積與全環(huán)截面比值為0.177 3；全部縱向普通鋼筋截面面積As=14 224 mm2。

2)本文解法

設(shè)配筋圓心角α=120°，得as=0.28r，h0=1.72r，截面內(nèi)外半徑比r1/r=0.5，fc=14.3 N/mm2，fy=360 N/mm2。

Ms=M+P(r-as)=2 097.6 kN·m

查圖6(a)可得

kz=0.92 (εs=10‰,εc=-1.9‰)

按該方法計(jì)算所需(單側(cè))受力鋼筋與規(guī)范結(jié)果之比為5 077/14 224=0.357。

3.2 算例2

某圓環(huán)形截面混凝土構(gòu)件，外圓半徑r=50 cm，內(nèi)圓半徑r1=35 cm，構(gòu)件截面荷載如圖8所示，彎矩設(shè)計(jì)值M1=1 000 kN·m，考慮偶然荷載作用的彎矩設(shè)計(jì)值M2=-900 kN·m，采用混凝土等級(jí)C35，鋼筋HRB400級(jí),根據(jù)要求計(jì)算截面配筋。

圖8 某截面的荷載示意圖Fig.8 Diagram of load on a

1)規(guī)范解法

根據(jù)《規(guī)范》附錄E中的超越方程組E.0.3-1和E.0.3-2，通過(guò)雅克比迭代法求解，最后計(jì)算得受壓區(qū)混凝土面積與全環(huán)截面比值為0.157 7；全部縱向普通鋼筋截面面積As=7 117 mm2。

2)本文解法

根據(jù)M1對(duì)截面下側(cè)進(jìn)行配筋計(jì)算，設(shè)配筋圓心角α1=120°，得as=0.28r，h0=1.72r，截面內(nèi)外半徑比r1/r=0.7，fc=16.7 N/mm2，fy=360 N/mm2。

查圖6(b)可得

kz1=0.94 (εs=10‰,εc=-1.5‰)

=3 443 mm2

根據(jù)M2對(duì)截面上側(cè)進(jìn)行配筋計(jì)算，設(shè)配筋圓心角α2=150°，得as=0.375r，h0=1.625r。

查圖6(b)可得

kz2=0.95 (εs=10‰,εc=-1.5‰)

截面雙側(cè)配筋面積As=As1+As2=6 682 mm2

按該方法計(jì)算所需(雙側(cè))受力鋼筋與規(guī)范結(jié)果之比為6 682/7 117=0.94。

4 結(jié)論

1)通過(guò)混凝土和鋼筋的本構(gòu)關(guān)系，繪制了環(huán)形截面非對(duì)稱配筋計(jì)算的諾謨圖，與中國(guó)現(xiàn)行《規(guī)范》中只給出圓環(huán)形截面的均勻配筋計(jì)算方法相比，該方法不用解超越方程組，計(jì)算簡(jiǎn)便,截面非受拉區(qū)可按構(gòu)造要求配筋，適各種截面半徑(r)的環(huán)形截面。

2)在工程實(shí)際中，如深基坑圍護(hù)結(jié)構(gòu)使用的懸臂灌注樁(主要承受一個(gè)方向的水平力)，或者高大的橋墩(截面上既有軸力，又有彎矩)，這種荷載方向明確的環(huán)形截面構(gòu)件，若采用非對(duì)稱配筋，可充分利用材料強(qiáng)度，提高經(jīng)濟(jì)效益。

3)對(duì)于需要考慮偶然荷載作用的結(jié)構(gòu)構(gòu)件，可根據(jù)偶然的作用大小再次使用該諾謨圖，給偶然荷載作用的方向配筋，以保證荷載作用與結(jié)構(gòu)抗力相匹配。