分?jǐn)?shù)階雙穩(wěn)系統(tǒng)隨機(jī)共振現(xiàn)象研究及FPGA實(shí)現(xiàn)

竺 佐， 鄭永軍， 羅 哉

(中國(guó)計(jì)量大學(xué) 計(jì)量測(cè)試工程學(xué)院，浙江 杭州 310018)

1 引 言

在微弱信號(hào)檢測(cè)中，有用信號(hào)往往被噪聲所淹沒(méi)[1～3]。傳統(tǒng)的微弱信號(hào)提取方法是濾除噪聲，即通過(guò)構(gòu)造合適的濾波器讓含噪信號(hào)中的噪聲被濾除而有用信號(hào)得到保留。但在一定條件下，噪聲也能產(chǎn)生促進(jìn)作用，如隨機(jī)共振。

隨機(jī)共振是通過(guò)加入適度的噪聲，令待提取微弱信號(hào)和噪聲在非線性系統(tǒng)中發(fā)生“協(xié)作”效果，從而使得噪聲可以發(fā)揮積極作用，增強(qiáng)系統(tǒng)信噪比[4～6]。迄今，研究者對(duì)隨機(jī)共振現(xiàn)象進(jìn)行了廣泛的研究，但大部分基于整數(shù)階模型。但在一些實(shí)際復(fù)雜系統(tǒng)中，系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)往往與其過(guò)去狀態(tài)息息相關(guān)，具有記憶依賴性。而分?jǐn)?shù)階微積分能夠通過(guò)加權(quán)表示來(lái)累積函數(shù)一段范圍內(nèi)的整體信息[7]。因?yàn)檫@一特性使得分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)對(duì)一些具有記憶依賴性以及空間相關(guān)性的復(fù)雜系統(tǒng)的描述比整數(shù)階系統(tǒng)更精確、簡(jiǎn)明，并且在信噪比增益等方面，分?jǐn)?shù)階隨機(jī)共振系統(tǒng)的優(yōu)勢(shì)盡顯無(wú)疑[8,9]。目前為止，分?jǐn)?shù)階隨機(jī)共振尚處于起步階段，文獻(xiàn)[10]通過(guò)改進(jìn)Oustaloup算法對(duì)分?jǐn)?shù)階郎之萬(wàn)方程求解，并搭建了分?jǐn)?shù)階隨機(jī)共振仿真模型。文獻(xiàn)[11]提出在合適的參數(shù)下，線性過(guò)阻尼Langevin方程可產(chǎn)生隨機(jī)共振現(xiàn)象。然而，上述文獻(xiàn)僅停留在理論推導(dǎo)和仿真階段，對(duì)其在實(shí)際工程中的應(yīng)用鮮有涉及，故開(kāi)發(fā)一種分?jǐn)?shù)階隨機(jī)共振的硬件系統(tǒng)具有十分重要的工程應(yīng)用價(jià)值?，F(xiàn)場(chǎng)可編程陣列(FPGA)具有計(jì)算能力強(qiáng)，并行處理等優(yōu)勢(shì)，非常適合在傳統(tǒng)微處理器不能提供足夠的速度和設(shè)計(jì)靈活性的情況下實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)。分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)硬件實(shí)現(xiàn)的難點(diǎn)在于分?jǐn)?shù)階微積分算子具有內(nèi)存依賴性，需要大量的硬件資源。近年來(lái)，Muresan C I等提出一種基于FPGA的直流電動(dòng)機(jī)分?jǐn)?shù)階控制器的硬件實(shí)現(xiàn)算法[12]，Adams等提出一種利用高階有限沖激響應(yīng)濾波器或一階無(wú)限沖激響應(yīng)之和的方法在FPGA上實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)[13]。然而，上述大多數(shù)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的硬件實(shí)現(xiàn)都針對(duì)特定系統(tǒng)，改變分?jǐn)?shù)階值或離散化步長(zhǎng)都需調(diào)整代碼，且其實(shí)現(xiàn)方法都較為復(fù)雜并未對(duì)硬件資源進(jìn)行優(yōu)化。

綜上所述，本文以廣義郎之萬(wàn)方程為理論基礎(chǔ)結(jié)合分?jǐn)?shù)階微積分定義，將其推廣至雙穩(wěn)態(tài)的分?jǐn)?shù)階郎之萬(wàn)方程，同時(shí)介紹了一種分?jǐn)?shù)階雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)的FPGA實(shí)現(xiàn)方法，并且對(duì)其進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，驗(yàn)證了在適當(dāng)分?jǐn)?shù)階階數(shù)范圍內(nèi)，系統(tǒng)信噪比得到增強(qiáng)，出現(xiàn)了隨機(jī)共振現(xiàn)象。

2 分?jǐn)?shù)階雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)

2.1 隨機(jī)共振基本原理

隨機(jī)共振現(xiàn)象主要描述了在合適的條件下，驅(qū)動(dòng)力(微弱有用信號(hào))、隨機(jī)力和非線性系統(tǒng)可發(fā)生“協(xié)作”效果，致使無(wú)序的噪聲產(chǎn)生有利作用，增強(qiáng)微弱有用信號(hào)的現(xiàn)象[14]。

郎之萬(wàn)方程可用來(lái)表示經(jīng)典的隨機(jī)共振模型：

(1)

式中：x為粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡；A0cos(2 πft+φ)是外界作用到雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的弱周期驅(qū)動(dòng)力，其中A0為信號(hào)幅值，f為調(diào)制信號(hào)頻率；ζ(t)是高斯白噪聲，其滿足自相關(guān)函數(shù)〈ζ(t)ζ(0)〉=2Dδ(t)；U(x)為式(2)所示的雙穩(wěn)態(tài)勢(shì)場(chǎng)函數(shù)：

(2)

式中：a∈R+、b∈R+是雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)，通過(guò)調(diào)整a，b的值，可得到不同形狀的雙穩(wěn)態(tài)勢(shì)阱。

圖1 雙穩(wěn)系統(tǒng)勢(shì)函數(shù)

當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)x>0或x<0時(shí)，布朗粒子最終會(huì)趨于穩(wěn)定于兩個(gè)勢(shì)阱的其中一個(gè)勢(shì)阱，且布朗粒子要離開(kāi)此勢(shì)阱到另一個(gè)勢(shì)阱需要外力觸發(fā)。當(dāng)系統(tǒng)引入外加周期力信號(hào)時(shí)，如圖2所示，系統(tǒng)平衡狀態(tài)被打破，雙穩(wěn)態(tài)勢(shì)阱函數(shù)在外加周期力的影響下會(huì)形成規(guī)律的傾側(cè)現(xiàn)象，其頻率與外加周期力相同。

圖2 勢(shì)函數(shù)周期性側(cè)傾示意圖

2.2 分?jǐn)?shù)階隨機(jī)共振系統(tǒng)

本節(jié)將引入廣義郎之萬(wàn)方程理論依據(jù)結(jié)合分?jǐn)?shù)階算子定義，在過(guò)阻尼的情況下，將其推廣至分?jǐn)?shù)階。

分?jǐn)?shù)階微積分最常用的定義有以下3種：Riemann-Liouville(RL)，Grünwald-Letnikov(GL)和Caputo[15,16]。本文將首先簡(jiǎn)略介紹后兩種定義。

G-L分?jǐn)?shù)階微分定義如式(3)所示：

α>0

(3)

Caputo定義如式(4)所示：

(4)

(5)

(6)

在粘性非均勻介質(zhì)中，粒子在介質(zhì)中的運(yùn)動(dòng)在過(guò)去時(shí)刻上具有記憶性，是經(jīng)典的非馬爾科夫過(guò)程[17]。因此可以將經(jīng)典郎之萬(wàn)方程推廣至廣義郎之萬(wàn)方程，即阻尼核函數(shù)為時(shí)間相關(guān)函數(shù)γ(t)，此時(shí)廣義郎之萬(wàn)方程如下所示：

(7)

式中：ζ(t)為隨機(jī)噪聲項(xiàng)，其與阻尼核函數(shù)γ(t)滿足如下漲落耗散定理：

〈ζ(t)ζ(t′)〉=mkBTγ(t-t′)

(8)

而在一些實(shí)際現(xiàn)象中，介質(zhì)對(duì)速度往往具有記憶性。其表現(xiàn)為離當(dāng)前間隔越近，其關(guān)聯(lián)程度越強(qiáng)，離當(dāng)前間隔越遠(yuǎn)，其關(guān)聯(lián)程度越差[18]。這種記憶性可以認(rèn)為是冪律記憶性，此時(shí)上述阻尼核函數(shù)γ(t)可如式(9)所示：

(9)

由上式可知阻尼核函數(shù)γ(t)隨著時(shí)間t的冪次衰減，α越大衰減速度越大。將式(9)代入式(7)中，則有：

F(t)+ζ(t)

(10)

而結(jié)合本節(jié)開(kāi)頭所介紹的分?jǐn)?shù)階微積分定義,可得：

(11)

此時(shí)在過(guò)阻尼情況下，可由推導(dǎo)出分?jǐn)?shù)階郎之萬(wàn)方程如式(12)所示：

(12)

3 分?jǐn)?shù)階隨機(jī)共振系統(tǒng)的FPGA實(shí)現(xiàn)

3.1 分?jǐn)?shù)階雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)設(shè)計(jì)

由于分?jǐn)?shù)階隨機(jī)共振系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，眾學(xué)者對(duì)其研究主要停留在數(shù)學(xué)理論研究及仿真研究階段，對(duì)于分?jǐn)?shù)階隨機(jī)共振系統(tǒng)的硬件實(shí)現(xiàn)還處于起步階段。本章將以上述分?jǐn)?shù)階Langevin方程為理論基礎(chǔ)，提出一種分?jǐn)?shù)階雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)的FPGA實(shí)現(xiàn)方法。

令式(12)中的結(jié)構(gòu)勢(shì)函數(shù)為ax-bx3，微弱有用信號(hào)為Acos(2 π ft)，則此時(shí)分?jǐn)?shù)階隨機(jī)共振系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為：

Dαx(t)=ax-bx3+Acos(2 π ft)+ζ(t)

(13)

對(duì)式(13)左右兩邊同時(shí)分?jǐn)?shù)階積分，可以得到：

x=I-α[ax-bx3+Acos(2 π ft)+ζ(t)]

(14)

式(14)可用一個(gè)帶反饋的非線性系統(tǒng)表示，其結(jié)構(gòu)框圖如圖3所示。

圖3 分?jǐn)?shù)階隨機(jī)共振系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

該系統(tǒng)由加法環(huán)節(jié)，分?jǐn)?shù)階積分環(huán)節(jié)、比例放大以及冪運(yùn)算環(huán)節(jié)組成。其基本設(shè)計(jì)思想為，利用FPGA中的乘法器構(gòu)建出式(12)中需要分?jǐn)?shù)階積分的幾項(xiàng)，并通過(guò)加法器進(jìn)行求和，最后輸入分?jǐn)?shù)階積分器進(jìn)行積分，最后將積分結(jié)果輸出。

3.2 分?jǐn)?shù)階積分器設(shè)計(jì)

分?jǐn)?shù)階積分器和微分器的實(shí)現(xiàn)可分為基于連續(xù)時(shí)間或離散時(shí)間近似實(shí)現(xiàn)兩種。在連續(xù)時(shí)間近似中，可通過(guò)采用高階有理系統(tǒng)來(lái)逼近分?jǐn)?shù)階算法實(shí)現(xiàn)，如Oustaloup，Carlson方法迭代等。離散時(shí)間近似的分?jǐn)?shù)階微積分實(shí)現(xiàn)可分為直接法或間接法實(shí)現(xiàn)。間接法通過(guò)獲得一個(gè)連續(xù)時(shí)間近似來(lái)擬合頻域，然后通過(guò)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)、麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)對(duì)其離散化處理來(lái)實(shí)現(xiàn)。本節(jié)將基于Grünwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階定義，采用短記憶原理，實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階積分器的FPGA實(shí)現(xiàn)。

無(wú)限階濾波器在物理上是不可實(shí)現(xiàn)的，為了在FPGA上實(shí)現(xiàn)Grünwald-Letnikov定義算子，在此采用了長(zhǎng)度為L(zhǎng)的近似有限窗口變式，如式(15)所示：

(15)

式中：h是步長(zhǎng)；L是窗口大小。

圖4 輸入與二項(xiàng)式系數(shù)的乘積

按照上述近似有限窗口變式即可將GL定義的分?jǐn)?shù)階微積分近似為有限次數(shù)的乘法和加法運(yùn)算，為下述分?jǐn)?shù)階微積分的硬件實(shí)現(xiàn)提供了理論依據(jù)。

固定窗口法GL算子的硬件實(shí)現(xiàn)如圖5所示。其中寄存器用于存儲(chǔ)輸入信號(hào)數(shù)據(jù)。輸入與輸出信號(hào)均采用32位定點(diǎn)數(shù)，整數(shù)部分是6位，小數(shù)部分是26位。與浮點(diǎn)數(shù)相比，采用定點(diǎn)數(shù)運(yùn)算提高了系統(tǒng)的性能，降低硬件成本。第一個(gè)查找表LUT用于存儲(chǔ)w0到wn-1的二項(xiàng)式系數(shù)，第二個(gè)查找表LUT中d0到dn-1用于存儲(chǔ)x1w1+d1到xnwn-1+dn-1的相加結(jié)果。通過(guò)改變?chǔ)恋闹导纯缮蓪?duì)應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù)，從而調(diào)整分?jǐn)?shù)階積分器的階數(shù)。

圖5 固定窗口法實(shí)現(xiàn)GL算子的硬件架構(gòu)

上述分?jǐn)?shù)階算子的FPGA實(shí)現(xiàn)其具體步驟如下：

(1)將所有輸入信號(hào)都存儲(chǔ)在移位寄存器中，并在每個(gè)周期進(jìn)行移位；

(2)根據(jù)給定的分?jǐn)?shù)階階數(shù)α和窗口大小L生成二項(xiàng)式系數(shù)w0到wn-1，并將其存儲(chǔ)在第一個(gè)查找表中，第二個(gè)查找表d0到dn-1都置0；

(3)將移位寄存器中最后一個(gè)輸入信號(hào)值與第一個(gè)查找表中所儲(chǔ)存的二項(xiàng)式系數(shù)相乘；

(4)將乘法器輸出結(jié)果分別與第二個(gè)查找表中的d0到dn-1相加；將xiw0+d0作為輸出，不存儲(chǔ)在第二個(gè)查找表中，將xiw1+d1到xiwn-1+dn-1的結(jié)果存儲(chǔ)在第二個(gè)查找表d0到dn-2中，其中dn-1為零。

為驗(yàn)證上述算法的有效性，以文獻(xiàn)[19]中的改進(jìn)Oustaloup算法分?jǐn)?shù)階算子進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。設(shè)定分?jǐn)?shù)階階數(shù)α=0.7，窗口大小L=30，輸入信號(hào)為三角波信號(hào)。圖6給出了固定窗口算法分?jǐn)?shù)階積分器FPGA實(shí)現(xiàn)結(jié)果及改進(jìn)Oustaloup算法仿真結(jié)果。

通過(guò)數(shù)據(jù)對(duì)比，固定窗口法分?jǐn)?shù)階積分器的FPGA實(shí)現(xiàn)與改進(jìn)Oustaloup算法仿真結(jié)果具有較好的一致性，驗(yàn)證了上述算法可準(zhǔn)確的用于分?jǐn)?shù)階隨機(jī)共振系統(tǒng)。

4 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

本章將通過(guò)實(shí)驗(yàn)仿真驗(yàn)證上述分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)能否產(chǎn)生隨機(jī)共振現(xiàn)象，提高信號(hào)信噪比。在實(shí)際應(yīng)用現(xiàn)場(chǎng)，一般情況下，待檢測(cè)的周期信號(hào)往往十分微弱且?guī)в幸欢ǖ脑肼?，故要增大有用周期信?hào)的幅值是很難實(shí)現(xiàn)的，而分?jǐn)?shù)階階次可由上述系統(tǒng)調(diào)整。因此，仿真實(shí)驗(yàn)僅討論分?jǐn)?shù)階隨機(jī)共振特有的參數(shù),即分?jǐn)?shù)階階次對(duì)該系統(tǒng)的影響。

微弱周期信號(hào)與高斯白噪聲可由外部信號(hào)發(fā)生器提供，這里設(shè)定噪聲強(qiáng)度D=3,有用信號(hào)幅值A(chǔ)=0.3，頻率為f=0.01 Hz。

圖7是噪聲與有用信號(hào)混合時(shí)的時(shí)域圖及功率譜圖。

圖7 輸入信號(hào)時(shí)域圖及功率譜圖

從圖7結(jié)果顯示，未經(jīng)處理的周期信號(hào)完全被噪聲所污染，并且在頻譜中微弱周期信號(hào)的頻率分量也非常小，很難提取出有用信號(hào)。接下來(lái)將該信號(hào)輸入上述分?jǐn)?shù)階雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)，設(shè)定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)a=1，b=1，同時(shí)令分?jǐn)?shù)階階數(shù)α以步長(zhǎng)為0.05從0.05遞增到1，并計(jì)算得到其頻譜。圖8分別為分?jǐn)?shù)階階次為0.3和0.55時(shí)經(jīng)系統(tǒng)處理后的時(shí)域圖與頻譜圖。

圖8 分?jǐn)?shù)階階次0.3、0.55時(shí)系統(tǒng)輸出時(shí)域圖與頻譜圖

從圖8(a)和圖8(b)可以看到，當(dāng)分?jǐn)?shù)階階次是0.3時(shí)，系統(tǒng)處于欠共振狀態(tài)，此時(shí)頻率為 0.01 Hz 對(duì)應(yīng)的頻譜值為0.212 4，微弱信號(hào)快要被噪聲所淹沒(méi)。當(dāng)分?jǐn)?shù)階階次增加到0.55時(shí)，粒子在兩穩(wěn)態(tài)間周期性躍遷，且其頻率與微弱周期信號(hào)一致，系統(tǒng)進(jìn)入隨機(jī)共振狀態(tài)，此時(shí)頻率為0.01 Hz對(duì)應(yīng)的頻譜值為0.526 0，可以看到檢測(cè)效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于階次為0.3時(shí)。

隨后進(jìn)一步分析可以得到分?jǐn)?shù)階階次與頻譜值的關(guān)系，如圖9所示。圖9中可以發(fā)現(xiàn)，隨著分?jǐn)?shù)階階次的增加，頻譜值也隨之增大至一個(gè)極大值點(diǎn)，此極大值點(diǎn)為最優(yōu)分?jǐn)?shù)階階次。繼續(xù)增加階次，系統(tǒng)勢(shì)壘高度增加，粒子逐漸難以跨過(guò)勢(shì)壘，抑制了隨機(jī)共振現(xiàn)象的發(fā)生，此時(shí)其頻譜值反而減小。

圖9 頻譜值與分?jǐn)?shù)階階次關(guān)系圖

從上述仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該分?jǐn)?shù)階雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)可以有效提高微弱周期信號(hào)的信噪比，并且存在一個(gè)最優(yōu)分?jǐn)?shù)階階次，使得系統(tǒng)輸出信噪比增益最大。

5 結(jié) 論

本文將傳統(tǒng)隨機(jī)共振理論推廣至分?jǐn)?shù)階，提出一種現(xiàn)場(chǎng)可調(diào)整參數(shù)的分?jǐn)?shù)階雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)的FPGA實(shí)現(xiàn)方法，并通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該系統(tǒng)有效性。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：

(1)通過(guò)調(diào)節(jié)至合適的分?jǐn)?shù)階階數(shù)，該系統(tǒng)可以產(chǎn)生隨機(jī)共振現(xiàn)象。

(2)隨著分?jǐn)?shù)階階次增大，系統(tǒng)輸出增益增大至極大值，繼續(xù)增大分?jǐn)?shù)階階次則隨機(jī)共振現(xiàn)象被抑制，即存在一個(gè)最優(yōu)分?jǐn)?shù)階階次，使系統(tǒng)輸出增益最大。

綜上所述，該分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)能有效從被噪聲干擾的信號(hào)中提取出微弱有用信號(hào)，具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

但是，對(duì)于不同的信號(hào)，其產(chǎn)生隨機(jī)共振現(xiàn)象的參數(shù)不同，現(xiàn)場(chǎng)人工試湊尋找最優(yōu)參數(shù)較為困難，這限制了其應(yīng)用前景。下一步，主要研究可集中于根據(jù)輸入信號(hào)實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階隨機(jī)共振系統(tǒng)的自適應(yīng)控制，為實(shí)際工程應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。