基于MATLAB 的壓縮感知重構(gòu)漏水信息改進(jìn)算法研究

趙 琦，郭改枝

（內(nèi)蒙古師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022）

我國(guó)是干旱缺水嚴(yán)重的國(guó)家之一，在淡水資源緊缺的當(dāng)下，完善地下供水管道漏水監(jiān)測(cè)方式，可有效降低水資源的浪費(fèi)程度。當(dāng)供水管道發(fā)生破裂，水流通過(guò)時(shí)會(huì)產(chǎn)生一定頻率的聲音信號(hào)，使用傳感器節(jié)點(diǎn)采集該聲音信號(hào)，進(jìn)行信號(hào)處理可及時(shí)發(fā)現(xiàn)漏水位置進(jìn)而監(jiān)測(cè)漏水情況。因此，信號(hào)采集過(guò)程尤為重要，傳統(tǒng)的Shannon-Nyquist 采樣定理指出：采樣頻率高于信號(hào)中最大頻率的2 倍，才能精確完成信號(hào)的重構(gòu)。而實(shí)際應(yīng)用中采樣頻率遠(yuǎn)不止要2 倍，一般是3 到5 倍，這對(duì)傳感器節(jié)點(diǎn)的采樣能力是較大的挑戰(zhàn)。如果數(shù)據(jù)量較大，不僅考驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的存儲(chǔ)容量，而且考驗(yàn)節(jié)點(diǎn)本身的能量消耗，特別是在發(fā)送與接收時(shí)最耗節(jié)點(diǎn)能量。在這些條件限制下，采集到的信號(hào)在傳輸過(guò)程中丟失部分有用信息，未能展現(xiàn)完整管道漏水信息，從而影響漏水監(jiān)測(cè)的準(zhǔn)確性。

1 相關(guān)研究

為解決上述問(wèn)題，由Donoho 與Candes 等［1-2］的壓縮感知（CS）理論給出了解決方法：只要信號(hào)滿足一定條件，就能以低于甚至遠(yuǎn)低于Nyquist 采樣率對(duì)稀疏信號(hào)進(jìn)行采樣，并高概率地重構(gòu)出原始信號(hào)。

壓縮感知作為一種應(yīng)用廣泛的采樣理論，為許多研究提供了新思路和研究途徑［3］。Qin 等［4］將壓縮感知應(yīng)用到無(wú)線通信領(lǐng)域，著重于信號(hào)的稀疏表示。目前，壓縮感知理論多用于圖像信號(hào)恢復(fù)，也用于人和動(dòng)物的語(yǔ)音信號(hào)恢復(fù)。吳亞文等［5］將壓縮感知結(jié)合譜減法用于生豬的聲音信號(hào)，并采用多個(gè)硬件設(shè)備，從采集信號(hào)到重構(gòu)出信號(hào)整個(gè)過(guò)程保證信號(hào)快速準(zhǔn)確傳輸，以便及時(shí)了解到生豬的健康狀況。孫林慧等［6］提出一種自適應(yīng)基追蹤去噪方法，該方法根據(jù)原含噪信號(hào)的信噪比能自適應(yīng)選擇重構(gòu)最佳參數(shù)，在提高信噪比的同時(shí)提高重構(gòu)性能，是較好的“一舉兩得”的去噪方法；Gemmeke 等［7］研究表明，如果幀數(shù)太多可能導(dǎo)致信號(hào)包含較少特征，因此可從含噪的觀測(cè)數(shù)據(jù)中重建干凈的語(yǔ)音。Rani 等［8］回顧了當(dāng)前正在使用CS 理論的主要應(yīng)用領(lǐng)域?；诖?，本文調(diào)整幀數(shù)，使每幀內(nèi)含有特征信息。

壓縮感知定義為：若信號(hào)x是N維向量（N∈R），且選定能夠讓該信號(hào)稀疏表示的稀疏變換基Ψ，信號(hào)x在Ψ 上表示，可以得到大部分分量為零的稀疏系數(shù)s，則有x=Ψs，其中s中非零項(xiàng)的個(gè)數(shù)為k個(gè)，則信號(hào)x的稀疏度為k。使用壓縮感知理論的前提需要滿足兩個(gè)性質(zhì)：稀疏性和不相關(guān)性。稀疏性指的是信號(hào)的稀疏性，不相關(guān)性指的稀疏基Ψ 與測(cè)量矩陣Φ 之間不相關(guān)。在研究初期，只要求測(cè)量矩陣滿足約束等距性條件（RIP）：，就可完成壓縮采樣。而滿足RIP 條件是復(fù)雜的事情，Baraniuk［9］給出了RIP 的等價(jià)性條件：稀疏基Ψ 與測(cè)量矩陣Φ 不相關(guān)，即測(cè)量矩陣的行不能被稀疏基的列稀疏表示；同理，要求的列也不能被行稀疏表示；測(cè)量矩陣主要是對(duì)信號(hào)的降維投影，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的壓縮。

隨機(jī)高斯測(cè)量矩陣的普適性較強(qiáng)，可以適應(yīng)許多信號(hào)［10］，因此在綜合考慮測(cè)量矩陣需要利于硬件操作以及適合水聲壓縮采樣的情況后以隨機(jī)高斯測(cè)量矩陣為本文選取的測(cè)量矩陣。所以，M×N維的測(cè)量矩陣Φ 與不相關(guān)的稀疏基Ψ 對(duì)信號(hào)x的壓縮觀測(cè)可以表示為y=Φx，其中y是信號(hào)x的線性投影。已知y的長(zhǎng)度為M，測(cè)量矩陣是M×N維，理論是可以求出長(zhǎng)度為N的x，但由于M遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N，方程是一個(gè)欠定方程，方程的個(gè)數(shù)遠(yuǎn)大于解的個(gè)數(shù)，因此將x=Ψs代入y=Φx，可得y=ΦΨs，令ΦΨ=A，則A稱為傳感矩陣，y和A是已知的，只要求解出s，就可以重構(gòu)出信號(hào)x。因?yàn)閥的長(zhǎng)度為M，s的長(zhǎng)度為N，M＜N，所以方程的個(gè)數(shù)小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，方程沒(méi)有確定的解，但稀疏度為k，即s中k個(gè)位置是非零的k＜M＜N，根據(jù)測(cè)量矩陣Φ 滿足的RIP 特性，可以從M個(gè)測(cè)量值中準(zhǔn)確重構(gòu)出k個(gè)值，使信號(hào)重構(gòu)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解最優(yōu)化問(wèn)題。這是一個(gè)零范數(shù)的最小化問(wèn)題，在一定條件下零范數(shù)問(wèn)題和一范數(shù)問(wèn)題等價(jià)，所以通常將零范數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求一范數(shù)的最小化問(wèn)題。一范數(shù)的最小化問(wèn)題是一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題，即可以將求解過(guò)程轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題。

因此，只要信號(hào)在某個(gè)變換域下是稀疏的（可壓縮的），就可以投影到一個(gè)與能使信號(hào)在某個(gè)域中稀疏的稀疏基不相關(guān)的測(cè)量矩陣上，得到低維的觀測(cè)向量，同時(shí)測(cè)量矩陣采樣到觀測(cè)向量維數(shù)的測(cè)量值，實(shí)現(xiàn)采樣的同時(shí)進(jìn)行壓縮，從而能求解一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題，使低維的觀測(cè)向量可高概率的重構(gòu)出高維的原始信號(hào)。在該理論支撐下，可用較低的頻率采集到信號(hào)，同時(shí)壓縮采樣的過(guò)程可有效降低節(jié)點(diǎn)傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量，并有效保留信號(hào)中的信息。

然而，壓縮感知通常用于處理圖像等高頻信號(hào)，用于聲音信號(hào)處理較少，特別是對(duì)低頻信號(hào)的處理更少。其原因主要是圖像信號(hào)經(jīng)過(guò)稀疏變換后，低頻部分幅值較高，且有效部分集中在圖像的左上角，更容易滿足稀疏特性，即在部分位置有較高幅值，多數(shù)位置為0 值［11］，但聲音信號(hào)不具備這種特性。地下管道漏水聲信號(hào)較為特殊，它是一種非平穩(wěn)信號(hào)，隨時(shí)間而變化，屬時(shí)變信號(hào)；形成時(shí)變信號(hào)的過(guò)程稱為非平穩(wěn)態(tài)過(guò)程，因此處理時(shí)變信號(hào)很復(fù)雜。但研究發(fā)現(xiàn)，時(shí)變的聲音信號(hào)在短時(shí)間范圍（10～20 ms）內(nèi)，特性基本保持不變，處于相對(duì)穩(wěn)定狀態(tài)，時(shí)變信號(hào)具有短時(shí)平穩(wěn)性。所以，任何聲音信號(hào)的分析和處理都要“短時(shí)”，通過(guò)使用短時(shí)分析技術(shù)來(lái)提取聲音信號(hào)中的特征參數(shù)。短時(shí)分析技術(shù)大多是按幀分析，即通過(guò)分幀加窗的方式處理聲音信號(hào)。將信號(hào)分成幀與幀的形式，對(duì)每一幀進(jìn)行處理，最后得到的整體聲音信號(hào)，是每一幀聲音信號(hào)的特征參數(shù)組成的時(shí)間序列，并且以往的實(shí)驗(yàn)印證了使用分幀加窗的預(yù)處理方法更適宜處理地下供水管道漏水聲信號(hào)，因此本文延續(xù)使用分幀加窗的預(yù)處理方法。

地下供水管道漏水聲信號(hào)兼有聲音信號(hào)“短時(shí)平穩(wěn)”和低頻的特性，所以采集的信號(hào)先經(jīng)過(guò)預(yù)處理，再結(jié)合壓縮感知理論與低通自適應(yīng)的方法，完成對(duì)該信號(hào)全部信息的恢復(fù)重構(gòu)，進(jìn)而應(yīng)用于地下供水管道漏水監(jiān)測(cè)。目前國(guó)內(nèi)外對(duì)該領(lǐng)域的研究較少，本文以期在地下供水管道漏水監(jiān)測(cè)領(lǐng)域中找到適合有效的方法，獲取信號(hào)中攜帶的有用信息，使用壓縮感知與自適應(yīng)方法相結(jié)合，并在重構(gòu)算法上作出改進(jìn)［12］。

2 算法介紹與改進(jìn)

2.1 自適應(yīng)算法

自適應(yīng)濾波的方法可在未知環(huán)境下（如地下環(huán)境）發(fā)揮較好的功能。該方法具有根據(jù)輸入信號(hào)隨時(shí)間變化的特性而進(jìn)行調(diào)整的能力，有利于分析時(shí)變信號(hào)。

雖然自適應(yīng)濾波有多種存在形式，但根本性質(zhì)一致：輸入信號(hào)x與期望輸出的信號(hào)d(n) 之間的差值為誤差e(n)，根據(jù)得到的誤差構(gòu)造計(jì)算最佳權(quán)值的迭代式，并以權(quán)值優(yōu)劣來(lái)體現(xiàn)該自適應(yīng)算法的性能，通過(guò)不斷自適應(yīng)輸入來(lái)更新權(quán)值，從而最小化誤差，并在這個(gè)自適應(yīng)優(yōu)化的過(guò)程不斷更新調(diào)整參數(shù)，使得權(quán)值的迭代式在該參數(shù)下成為最優(yōu)，以此達(dá)到濾波效果，實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)。

本文的自適應(yīng)算法主要針對(duì)低頻信號(hào)，是基于維納濾波的最小均方算法（LMS）和低通濾波結(jié)合而成。首先通過(guò)低通濾波器找到期望輸出的信號(hào)d(n)，再通過(guò)自適應(yīng)去噪并根據(jù)輸入信號(hào)x的長(zhǎng)度，將相應(yīng)維度的誤差矩陣e(n) 和權(quán)值矩陣W初始化為0，然后進(jìn)行迭代計(jì)算，迭代次數(shù)從濾波器的階數(shù)到輸入信號(hào)的長(zhǎng)度數(shù)持續(xù)進(jìn)行，通過(guò)期望信號(hào)d(n) 與每一次的輸出信號(hào)y進(jìn)行比較得到誤差e(n)，最終根據(jù)誤差計(jì)算濾波器權(quán)值的迭代式W(n)=W(n-1) +2μ·e(n)x，其中μ是收斂步長(zhǎng)，要求大于0 小于x的相關(guān)矩陣最大特征值的倒數(shù)；基于該式，得到最佳權(quán)值并據(jù)此輸出信號(hào)y(n) 為y(n)=W(n) ·x，即根據(jù)期望輸出，通過(guò)自適應(yīng)方法不斷適應(yīng)逼近期望信號(hào)，并調(diào)整參數(shù)來(lái)達(dá)到最佳輸出；CoSaMP 算法在初始化殘差r0后，通過(guò)不斷迭代計(jì)算更新殘差，當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到信號(hào)的稀疏度k后，進(jìn)行重構(gòu)得到原始信號(hào)x。結(jié)合以上兩種算法的特點(diǎn)，提出一種基于自適應(yīng)濾波和CoSaMP 改進(jìn)的算法，即初始化壓縮采樣匹配追蹤（ICoSaMP），它適用于地下水聲等低頻信號(hào)的壓縮感知重構(gòu)。

2.2 改進(jìn)的壓縮感知重構(gòu)算法

求解信號(hào)的重構(gòu)問(wèn)題實(shí)質(zhì)是在求解一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題。通常來(lái)說(shuō)L1 范數(shù)是L0 范數(shù)的最優(yōu)凸近似，尋找最優(yōu)解比較困難；而貪婪算法中的正交匹配追蹤算法（OMP）可看作是近似擬合了一個(gè)帶L0 范數(shù)限制的線性模型，而且OMP 算法是MP 算法的進(jìn)一步提升，計(jì)算得到的殘差與每一個(gè)選擇的原子都正交，結(jié)果能在有限幾步得到收斂；壓縮采樣匹配追蹤算法（CoSaMP）［13］是在OMP 算法上的又一次改進(jìn)，也不同于正則化正交匹配追蹤算法（ROMP）；但無(wú)論是什么重構(gòu)算法，都只有在殘差初值較好的情況下，才能在初始就選擇更好的原子，最終會(huì)得到更好的結(jié)果。本文使用具有普適性的傅里葉變換和隨機(jī)高斯矩陣的基本組合，配以改進(jìn)的CoSaMP 算法恢復(fù)信號(hào)，并應(yīng)用在地下管道漏水聲信號(hào)的處理上。

在CoSaMP 算法中，根據(jù)信號(hào)的維度進(jìn)行排列，得到每一列及列序號(hào)，參與計(jì)算的每一列合成列集合I，每一列的列序號(hào)合成列序號(hào)集合J，首先進(jìn)行初始化，包括初始化列集合、列序號(hào)集合都為空集以及殘差初始化為觀測(cè)后得到的觀測(cè)向量。但初始化后的殘差參與計(jì)算仍然含有噪聲信號(hào)存在，對(duì)于重構(gòu)結(jié)果來(lái)說(shuō)可能存在不確定因素，從而影響結(jié)果。

因此，本文提出在初始化殘差時(shí)，令殘差r0等于自適應(yīng)濾波后的最佳輸出y(n)，可在減少噪聲干擾的同時(shí)保留更多的低頻信號(hào)，利于重構(gòu)的結(jié)果。而且優(yōu)化后的輸出信號(hào)作為初始化的殘差，可在迭代之初就參與到計(jì)算過(guò)程，后續(xù)不斷迭代的過(guò)程也可產(chǎn)生較好結(jié)果。因此，對(duì)CoSaMP 算法的步驟進(jìn)行改進(jìn)：在輸入的內(nèi)容中添加優(yōu)化后的信號(hào)，該信號(hào)是通過(guò)自適應(yīng)濾波后的最佳輸出信號(hào)，輸出的內(nèi)容均不變；在初始化模塊，存放列序號(hào)的集合及列序號(hào)所屬列的集合仍為空集，為之后迭代做準(zhǔn)備；迭代次數(shù)設(shè)置為1，代表第一次迭代；同時(shí)將自適應(yīng)后的最佳輸出信號(hào)賦值給定義的殘差，而未做改進(jìn)的CoSaMP 算法只將定義的殘差賦值為0。

具體算法步驟如下：

輸入：M×N的傳感矩陣A=ΦΨ，N×1 的自適應(yīng)最佳輸出y(n)，信號(hào)的稀疏度k。

輸出：信號(hào)稀疏表示系數(shù)，N×1 維殘差rs=y-。

初始化：r0=y(n)；存放列序號(hào)的集合P及列序號(hào)所屬列的集合Q為空集；迭代次數(shù)t=1。

（1）計(jì)算u=abs[QTrt-1]，選擇其中2k個(gè)最大值，將這些值對(duì)應(yīng)的列序號(hào)構(gòu)成集合P0；

（2）Pt=Pt-1∪P0，Qt=Qt-1∪Qp(?p∈P0)；

（3）求自適應(yīng)最佳輸出的信號(hào)y（n）與當(dāng)前迭代的列集合、列向量的最小二乘解：；

（4）從該最小二乘解中選擇出絕對(duì)值最大的k項(xiàng)，記為；對(duì)應(yīng)列集合Q中的k列，記為Qtk；更新這k列的列序號(hào)集合，記為Ptk；

（6）繼續(xù)迭代，如果迭代次數(shù)≤稀疏度，則返回（1）；反之或者rt=0，則停止迭代進(jìn)行下一步；

（7）重構(gòu)得到^，據(jù)此可得重構(gòu)信號(hào)x=^。綜上，可以看出殘差在整個(gè)計(jì)算過(guò)程中不可或缺，而不同的初始值進(jìn)行迭代計(jì)算將會(huì)得到不同的結(jié)果，所以對(duì)殘差的初始化尤為重要。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證該方法的可行性，通過(guò)IOT-NODE433 節(jié)點(diǎn)（ATmega128A+CC1000）采集到地下供水管道漏水聲信號(hào)，使用MATLAB 進(jìn)行具體代碼編寫(xiě)和仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)過(guò)程結(jié)合壓縮感知理論編寫(xiě)程序。由于研究的水聲信號(hào)屬于非平穩(wěn)的時(shí)變信號(hào)，它攜帶著各種信息，所以研究時(shí)使用分幀技術(shù)達(dá)到短時(shí)平穩(wěn)，對(duì)該信號(hào)進(jìn)行了分析。

因此，在不同壓縮比和分幀的條件下，對(duì)比CoSaMP 和ICoSaMP 兩種算法，對(duì)每幀信號(hào)都選取256 個(gè)采樣點(diǎn)，展示波形最明顯的第50 幀重構(gòu)效果以及壓縮比0.3～0.5 下的重構(gòu)效果，如圖1-6 所示。壓縮比是觀測(cè)點(diǎn)數(shù)與信號(hào)總點(diǎn)數(shù)的比值，它代表信號(hào)壓縮的程度以及重構(gòu)的難度，觀測(cè)點(diǎn)數(shù)越少重構(gòu)難度越高。用較少的觀測(cè)點(diǎn)數(shù)去重構(gòu)恢復(fù)信號(hào)總點(diǎn)數(shù)，會(huì)存在誤差，但使用不同的重構(gòu)方法會(huì)得到不同的重構(gòu)效果。

圖1 壓縮比為0.3 時(shí)ICoSaMP 的重構(gòu)結(jié)果Fig.1 Reconstruction result of ICoSaMP when the compression ratio is 0.3

圖2 壓縮比為0.3 時(shí)CoSaMP 的重構(gòu)結(jié)果Fig.2 Reconstruction result of CoSaMP when the compression ratio is 0.3

圖3 壓縮比為0.4 時(shí)ICoSaMP 的重構(gòu)結(jié)果Fig.3 Reconstruction result of ICoSaMP when the compression ratio is 0.4

圖4 壓縮比為0.4 時(shí)CoSaMP 的重構(gòu)結(jié)果Fig.4 Reconstruction result of CoSaMP when the compression ratio is 0.4

圖5 壓縮比為0.5 時(shí)ICoSaMP 的重構(gòu)結(jié)果Fig.5 Reconstruction result of ICoSaMP when the compression ratio is 0.5

圖6 壓縮比為0.5 時(shí)CoSaMP 的重構(gòu)結(jié)果Fig.6 Reconstruction result of CoSaMP when the compression ratio is 0.5

從圖1-6 中可直觀看出信號(hào)經(jīng)過(guò)重構(gòu)后的效果，在低壓縮比的情況下，可以看到使用ICoSaMP 算法重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào)的時(shí)域圖像更加吻合，重構(gòu)效果更佳；信號(hào)在頻域的信息，隨著壓縮比的上升，低頻信號(hào)也隨之增多，ICoSaMP 算法比CoSaMP 算法能夠保留更多有用的低頻信號(hào)，說(shuō)明改進(jìn)算法結(jié)合自適應(yīng)去噪后重構(gòu)的效果更好。來(lái)表示，其中x^ 為重構(gòu)信號(hào)，x為原始信號(hào)；其比值越大，原始信號(hào)中有效的信息恢復(fù)越多，重構(gòu)成功率越高；而且信噪比越高，信號(hào)中所含有用信息越多，信號(hào)中噪聲干擾越少。由表1 可知，在不同低壓縮比下，重構(gòu)成功率隨著壓縮比的上升而提高，并且在壓縮比達(dá)到0.5 時(shí)，就可以恢復(fù)到93% 左右，即在觀測(cè)點(diǎn)數(shù)選取接近一半的時(shí)候，就能以較高概率恢復(fù)出原始信號(hào)，而且ICoSaMP 算法相比CoSaMP 算法重構(gòu)成功率提高了14.17%。這也十分利于節(jié)點(diǎn)處理，因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)越少，對(duì)于節(jié)點(diǎn)保存自身的能量與存儲(chǔ)處理能力越有幫助。

表1 不同壓縮比重構(gòu)成功率對(duì)比Tab.1 Comparison of reconstruction power under different compression rations %

表2 不同壓縮比的信噪比對(duì)比Tab.2 Comparison of SNR under different compression rations %

4 結(jié)語(yǔ)

本文使用采集到的漏水聲信號(hào)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果顯示：低圧縮比情況下，在CoSaMP 算法上進(jìn)行改進(jìn)，將自適應(yīng)濾波后的最佳輸出作為參與計(jì)算的殘差初值，能保留更多有用的低頻信號(hào)使得重構(gòu)結(jié)果更佳。因此，該方法對(duì)于地下供水管道漏水聲信號(hào)的重構(gòu)恢復(fù)具有較好的效果。