基于觀測器的非脆弱控制研究及其在混沌系統(tǒng)中的應(yīng)用*

張學(xué)勝 吉明明 章 偉

（上海工程技術(shù)大學(xué) 上海 201620）

1 引言

狀態(tài)觀測器又被稱為“軟傳感器”，隨著觀測器理論的發(fā)展，基于觀測器的控制近年來成為了控制領(lǐng)域的研究熱點之一。在傳統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制中，在傳統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制中，通常需要假設(shè)系統(tǒng)的全部狀態(tài)都是可獲得的。然而，受制于經(jīng)濟(jì)與物理上的限制，在實際系統(tǒng)中常常無法量測到全部的系統(tǒng)狀態(tài)。為了解決這一問題，觀測器常被用來估計系統(tǒng)的狀態(tài)值［1～6］。近年來，基于觀測器的控制在許多領(lǐng)域都得到了應(yīng)用。例如，在文獻(xiàn)［7］中觀測器被用在了柔性機(jī)械臂中，在文獻(xiàn)［8］中觀測器被用在了故障診斷中，在文獻(xiàn)［9］中觀測器被用在了輸出反饋控制中，在文獻(xiàn)［10～11］中基于觀測器的控制被用在了機(jī)器人的反饋控制中，在文獻(xiàn)［12～13］中基于觀測器的控制被用在了無人機(jī)的飛行姿態(tài)控制中。

在實際控制中，許多物理系統(tǒng)本質(zhì)上都是非線性的［14～16］。近年來，非線性系統(tǒng)觀測器設(shè)計問題受到了廣泛關(guān)注。例如，在文獻(xiàn)［17～18］中，研究了Lipschitz非線性系統(tǒng)的觀測器設(shè)計問題，作為Lipschitz觀測器的推廣，文獻(xiàn)［19］研究了單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)的觀測器。近年來，遞增二次限制條件被引入到系統(tǒng)的狀態(tài)估計研究之中，該條件包含經(jīng)典的Lipschitz條件，扇形條件，單邊Lipschitz條件等作為特例。文獻(xiàn)［20～21］中研究了一類滿足遞增二次限制條件的非線性系統(tǒng)中的觀測器設(shè)計問題。

另一方面，實際的系統(tǒng)控制中常常面臨著各種不確定因素的干擾，這些干擾會導(dǎo)致系統(tǒng)原本設(shè)計好的控制律出現(xiàn)脆弱性［25］。為了解決這一問題，通常會在基于觀測器的控制器的設(shè)計過程中引入非脆弱控制［22～24］。在文獻(xiàn)［25］中，Keel等論述了非脆弱控制的必要性，他們舉例說明了當(dāng)干擾導(dǎo)致控制率律出現(xiàn)微小波動時，控制結(jié)果可能會出現(xiàn)很大的偏差，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定。在此基礎(chǔ)上，Gao等在文獻(xiàn)［26］中研究了不確定系統(tǒng)中的基于觀測器的非脆弱控制問題。需要指出的是，針對遞增二次限制非線性系統(tǒng)中的基于觀測器的非脆弱控制的研究仍尚未有很好的研究結(jié)果。

本文考慮了遞增二次限制非線性系統(tǒng)中基于觀測器的非脆弱控制問題。首先，結(jié)合遞增二次限制條件，設(shè)計了一類基于觀測器的非脆弱控制器。然后，建立了確保閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的一類線性矩陣不等式型的充分條件。最后，通過一類Lorenz型混沌系統(tǒng)仿真驗證了本文結(jié)論的有效性。

2 系統(tǒng)描述及觀測器設(shè)計

考慮一類不確定非線性系統(tǒng)：

其中x(t)∈?n為系統(tǒng)狀態(tài)，q=Hx(t)，u(t)∈?m為控制輸入，y(t)∈?p為可測輸出，A∈Rn×n，B∈?n×m，C∈?q×n，D∈?q×m，G∈?n×l，H∈?l×n為已知矩陣，f(q)為滿足遞增二次限制條件的非線性向量值函數(shù)，如定義1所示。

定義1（遞增二次限制條件［20］）針對非線性向量值函數(shù)f(q)，若存在某個已知的適當(dāng)維數(shù)的對稱矩陣Mδ，使得對任意的q1，q2，下面的不等式

成立，則稱f(q)滿足遞增二次限制條件，其中對稱矩陣Mδ被稱為遞增乘數(shù)矩陣。

針對非線性系統(tǒng)（1），可設(shè)計如下形式的基于觀測器的非脆弱控制器：

其中∈?n為系統(tǒng)狀態(tài)的估計，∈?p為系統(tǒng)輸出的估計，K∈?m×n為控制器增益，L∈?n×p為觀測器增益，ΔK∈?m×n和ΔL∈?n×p為擾動矩陣。

假設(shè)擾動矩陣ΔK(t)和ΔL(t)滿足：

由式（1）～（3）可得，系統(tǒng)狀態(tài)方程和誤差表達(dá)式為

接下來，需要討論閉環(huán)系統(tǒng)（4）的穩(wěn)定性問題。為此，類似于文獻(xiàn)［37］中的定理1，本文給出了使系統(tǒng)（1）趨于漸近穩(wěn)定的充分條件和求解控制器增益和觀測器增益的方法，如定理1所示。

那么系統(tǒng)（1）在基于觀測器的非脆弱控制器（2）的控制下是漸近穩(wěn)定的。通過求解不等式（5）可得到控制器增益觀測器增益

3 在混沌系統(tǒng)中的仿真

混沌系統(tǒng)是一種典型的非線性系統(tǒng)，近年來在混沌保密通信領(lǐng)域有著許多的應(yīng)用。本節(jié)中將使用文獻(xiàn)［21］中的Lorenz型混沌系統(tǒng)進(jìn)行仿真，該混沌系統(tǒng)的參數(shù)如下：

其中a(t)=cos(3t)，b(t)=1-0.3 sin(2t)，且滿足a(t)≤am，b(t)≤bm。

將上述數(shù)據(jù)代入不等式（5）中，通過Matlab解線性矩陣不等式（6）可得，系統(tǒng)的控制器增益和觀測器增益為

將數(shù)據(jù)代入系統(tǒng)（1）和基于觀測器的控制器（2）中，通過Matlab數(shù)值軟件進(jìn)行仿真，可得到如圖1～圖4的系統(tǒng)狀態(tài)估計與誤差的仿真結(jié)果。

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)x1的真實值與估計值

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)x2的真實值與估計值

圖3 系統(tǒng)狀態(tài)x3的真實值與估計值

圖4 系統(tǒng)狀態(tài)的估計誤差

由圖1-圖4可看出，隨著時間的推移，系統(tǒng)的估計值逐漸趨近于真實值，系統(tǒng)狀態(tài)的估計誤差逐漸趨于零。仿真結(jié)果說明了系統(tǒng)（1）在基于觀測器的非脆弱控制器（2）的控制下能逐漸趨于穩(wěn)定。

4 結(jié)語

本文研究了一類遞增二次限制類非線性系統(tǒng)基于觀測器的非脆弱控制器的設(shè)計方法，并建立了在該控制器下閉環(huán)系統(tǒng)趨于漸近穩(wěn)定的充分條件。最后，通過Matlab仿真將基于觀測器的非脆弱控制器用在了Lorenz型混沌系統(tǒng)中，驗證了本文提出的基于觀測器的非脆弱控制器設(shè)計的有效性。