具有非線性項(xiàng)的弱耦合半線性Moore-Gibson-Thompson系統(tǒng)解的全局非存在性

歐陽柏平　肖勝中

摘要：考慮了一類非線性項(xiàng)的弱耦合半線性Moore-Gibson-Thompson（MGT）系統(tǒng)柯西問題解的爆破現(xiàn)象。在次臨界情況下，運(yùn)用泛函分析和迭代方法推出了其解的全局非存在性。另外，證明了其解的生命跨度的上界估計(jì)。

關(guān)鍵詞：非線性項(xiàng);Moore-Gibson-Thompson系統(tǒng);爆破

中圖分類號(hào)：O175.4文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Moore-Gibson-Thompson（MGT）方程在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用[1-3]。物理上，其可描述波在粘性熱松弛流體中的傳播，數(shù)學(xué)模型為

τu+u-cΔu-bΔu=0

式中：u為聲速勢(shì)函數(shù)，u=u（t，x）;c為聲速;b為聲擴(kuò)散率，b=βc;τ為松弛因子，τ∈（0，β]。半群理論指出，當(dāng)τ=β時(shí)，不存在半群指數(shù)穩(wěn)定性。

更多半線性MGT方程解的全局存在和爆破問題等解的性態(tài)的相關(guān)研究，請(qǐng)參考文獻(xiàn)[4-12]。

文獻(xiàn)[13]考慮了如下非線性項(xiàng)的半線性MGT方程解的爆破問題

在次臨界和臨界2種情況下，作者主要利用迭代技巧和測(cè)試函數(shù)方法證明了其柯西問題解的全局非存在性，進(jìn)一步推出了2種情況下其解的生命跨度上界估計(jì)。

一些文獻(xiàn)[14-19]探討了下面具有非線性項(xiàng)的弱耦合半線性波動(dòng)系統(tǒng)解的爆破問題

本文目標(biāo)主要是分析弱耦合半線性MGT系統(tǒng)中非線性項(xiàng)對(duì)解的爆破以及生命跨度的影響。生命跨度（lifespan）指的是保證解存在的時(shí)間區(qū)間最大長(zhǎng)度[20]。與近期的工作[13]相比，本文考慮的是非線性弱耦合系統(tǒng)解的爆破。對(duì)于式（1）滿足β=β且p=q時(shí)，弱耦合問題（1）將一定程度退化為單個(gè)的非線性MGT方程;但是當(dāng)p≠q時(shí)，本文所研究的模型并不是單個(gè)方程的簡(jiǎn)單推廣。由于右端弱耦合現(xiàn)象的出現(xiàn)，使得臨界曲線的非對(duì)稱區(qū)域研究更為復(fù)雜;而對(duì)比經(jīng)典的弱耦合波動(dòng)方程的研究[14-19]，由于關(guān)于時(shí)間的高階導(dǎo)出現(xiàn)，使得無界乘子產(chǎn)生較大作用，同時(shí)也使得經(jīng)典的反射法、迭代法均不適用。因此，本文發(fā)展的在弱耦合非線性MGT方程組中研究解的爆破準(zhǔn)則并不是前人工作的簡(jiǎn)單推廣。

另外，由于無界乘子的引入，導(dǎo)致無法應(yīng)用Kato引理研究其解的爆破情況。因此，本文運(yùn)用近年來學(xué)者提出的處理某些高階雙曲方程解的爆破問題的迭代技巧[21-27]，輔之以測(cè)試函數(shù)和相關(guān)的泛函分析方法進(jìn)行研究。其中，如何選擇適合的測(cè)試函數(shù)進(jìn)行迭代是難點(diǎn)。本文通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)哪芰糠汉约袄梦⒎植坏仁郊记傻玫搅似湎陆缧蛄?，進(jìn)一步迭代，證明了非臨界情況下具有非線性項(xiàng)的弱耦合半線性MGT系統(tǒng)柯西問題解的全局非存在性，以及解的生命跨度的上界估計(jì)。

1 主要結(jié)果

首先定義問題（1）的柯西問題能量解：

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（責(zé)任編輯：周曉南）

Nonexistence of Global Solutions to a Weakly Coupled Semilinear

Moore-Gibson-Thompson System with Nonlinear Terms

OUYANG Baiping XIAO Shengzhong

（1.Guangzhou Huashang College， Guangzhou 511300， China; 2.Guangdong AIB Polytechnic College， Guangzhou 510507， China）Abstract： Blow-up of solutions to the Cauchy problem for a weakly coupled semilinear Moore-Gibson- Thompson（MGT） system with nonlinear terms is considered. Nonexistence of global solutions to the Cauchy problem for the semilinear MGT equation in the subcritical case is derived by applying functional analysis and iteration methods. Additionally， an upper bound estimate of solutions for the lifespan is proved.

Key words： nonlinear term; Moore-Gibson-Thompson system; blow-up